1、5.3 平面向量的数量积与平面 向量的应用,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0. (2)几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,8,|a|b|cos ,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为向量a,b的夹角. (1)数量积:ab=|a|b
2、|cos = .,8,x1x2+y1y2,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,(5)已知两非零向量a与b,abab=0 ;abab=|a|b|. (6)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立),即,8,x1x2+y1y2=0,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,3.平面向量数量积的运算律 (1)ab=ba(交换律). (2)ab=(ab)=a(b)(结合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,8,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,4.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(ab)
3、2=a22ab+b2.,8,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,8,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,6.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.,8,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,7.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.,8,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,8,8.向量在物理中的应用 物理学中
4、的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积, 即W= (为F与s的夹角).,|F|s|cos ,2,-11-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负. ( ) (2)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角. ( ) (3)若ab=0,则必有ab. ( ) (4)(ab)c=a(bc). ( ) (5)若ab=ac(a0),则b=c. ( ),答案,-12-,知识梳理,双基
5、自测,2,3,4,1,5,A.30 B.45 C.60 D.120,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m= .,答案,解析,-14-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .,答案,解析,-15-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-16-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.因为|a|b|cos 和|b|cos 都是数量,所以ab和b在a方向上的投影都是一个数量,而不是向量. 2.对于两个非零向量
6、a与b,因为当=0时,ab0,所以“ab0”是“两个向量a,b夹角为锐角”的必要不充分条件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因为当ab=0时,有可能ab. 3.在实数运算中,若a,bR,则|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),则b=c.但对于向量a,b却有|ab|a|b|;若ab=ac(a0),则b=c不一定成立,原因是ab=|a|b|cos ,当cos =0时,b与c不一定相等. 4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.,-17-,考点1,考点2,考点3,
7、例1(1)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 的值为( ),思考求向量数量积的运算有几种形式?,答案: (1)B (2)6,-18-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)法一(基向量法):,-19-,考点1,考点2,考点3,法二(坐标法): 建立如图所示的平面直角坐标系,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)(方法1)设P(cos ,sin ),R,-21-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a与b的夹
8、角). (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.,-22-,考点1,考点2,考点3,A.-15 B.-9 C.-6 D.0 (3)(2018宁夏银川模拟)已知|a|=1,|b|= ,且a(a-b),则向量a在向量b方向上的投影为 .,-23-,考点1,考点2,考点3,解析:(1
9、)以C为原点,CB为x轴正半轴,建立坐标系,则B(3,0).,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?,-26-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)设ABC的外心为D,以D为原点,直线DA为x轴,过点D且与DA垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,-27-,考点1,考点2,考点3,(2)设向量a,b的夹角为,-28-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.求向量的模的方法:的运算转化为数量积运算; (2)几何法,先利用向量加减
10、法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范围)的方法: (1)求函数最值法,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求; (2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.,-29-,考点1,考点2,考点3,答案,-30-,考点1,考点2,考点3,-31-,考点1,考点2,考点3,-32-,考点1,考点2,考点3,答案,-33-,考点1,考点2,考点3,-34-,考点1,考点2,考点3,考向二 求参数的值或范围,思考两个向量的垂直与其数量积有何关系?,答案,解析,-35-,考点1,考点2,考点3,考向三 在三角函数中的应用 例5
11、已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?,-36-,考点1,考点2,考点3,-37-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-38-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角. 2.若a,b为非零向量,则abab=0. 3.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量
12、的相关运算把问题转化为三角函数问题. 4.向量在解析几何中的作用: (1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.,-39-,考点1,考点2,考点3,(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m= .,B,2,-40-,考点1,考点2,考点3,A,-41-,考点1,考
13、点2,考点3,-42-,考点1,考点2,考点3,-43-,考点1,考点2,考点3,-44-,考点1,考点2,考点3,-45-,考点1,考点2,考点3,1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a与b的夹角.,-46-,考点1,考点2,考点3,2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 4.解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解
14、决. 5.解决向量与解析几何的综合问题,可将向量用点的坐标表示,利用向量运算及性质转化为解析几何问题. 6.向量中有关最值问题的求解思路:一是“形化”,利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题;二是“数化”,利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.,-47-,考点1,考点2,考点3,1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏共线的情况. 2.|ab|a|b|当且仅当ab时等号成立. 3.注意向量夹角和三角形内角的关系.,-48-,思想方法数形结合思想在数量积中的应用 典例若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为 ,则与的夹角的取值范围是 .,-49-,反思提升求向量夹角的范围问题经常应用函数思想与数形结合思想.求向量夹角的范围问题,根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合确定夹角的范围.,
