1、- 1 -2018-2019 学年吕梁市高三第一次阶段性测试试题（理科）数 学（本试题满分 150 分，考试时间 12 分钟答案一律写在答题卡上）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4考试结束后，请将答题卡上交、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ）在每小题给出的四个选项
2、中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式 得到集合 ，然后再求出 【详解】由题意得 ，又 ， 故选 A【点睛】本题考查集合的交集运算，解题时根据交集的定义求解即可，属于基础题2.命题“ ，使得 ”的否定是（ ）A. ，都有 B. ，都有- 2 -C. ，都有 D. ，都有【答案】D【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定可得答案【详解】由于特称命题的否定为全称命题，所以“ ，使得 ”的否定为“ ，都有 ”故选 D【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，即把全称
3、（特称）量词改为特称（全称）量词；二是注意要把命题进行否定3.设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据指数函数、对数函数的知识得到 所在的范围，进而可得 的大小关系【详解】由题意得 ， 故选 B【点睛】比较指数幂和对数的大小时，常用的方法是根据指数函数、对数函数的性质得到各个数的范围，然后通过比较可得大小关系，解题时注意各数与 0 和 1 的大小关系4.已知 的三个内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，若 ，则该三角形一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】
4、【分析】根据余弦定理得到三边间的关系后可得三角形的形状- 3 -【详解】由 及余弦定理得 ，整理得 ， ， 为等腰三角形故选 A【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择5.已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得 ，结合条件可得所求结果【详解】由题意得 ，故选 A【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解6.已知 是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递增区间是
5、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数的极大值点得到 ，进而可得函数的解析式为 ，结合正弦函数的增区间可得所求结果- 4 -【详解】 是函数 的一个极大值点， ， ， ， 由 ，得 ，令 ，得 ，函数的一个单调递增区间为 ，结合各选项可得 C 符合题意故选 C【点睛】本题考查函数 的性质，解题时把 看作一个整体，然后结合正弦函数的相关性质进行求解，但要注意 的符号对解题结果的影响，这一点在解题中很容易忽视7.函数 ，有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令 ，可得 或 ，由题意得函数在 时有一个零点，所以只需函数在
6、 时有一个零点即可，令 即可得到结果【详解】由题意得，当 时，函数有一个零点 ；当 时，令 ，得 ，要使函数有两个不同的零点，- 5 -则只需 ，解得 故选 C【点睛】解决函数零点存在性问题的常用方法有三种：一是用零点存在性定理进行判断，二是通过解方程得到函数的零点，三是用函数的图象，借助数形结合求解值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件8.满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数 在 上单调递减的充要条件，再结合所给的选项进行判断、选择即可【详解】结合复合函数的单调性，函数 在 上单调递减的充要条件是，解得
7、选项 A 中， 是函数在 上单调递减的既不充分也不必要条件，所以 A 不正确；选项 B 中， 是函数在 上单调递减的充要条件，所以 B 不正确；选项 C 中， 是函数在 上单调递减的必要不充分条件，所以 C 不正确；选项 D 中， 是函数在 上单调递减的充分不必要条件，所以 D 正确故选 D【点睛】解答本题时注意两点：（1）根据题意先求出函数在给定区间上的充要条件，求解时容易忽视函数的定义域；（2）由于求的是函数递减的充分不必要条件，可转化为所选的范围是区间 的真子集的问题考查转化和计算能力，属于基础题9.已知函致 的图象的一个对称中心为 ，要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）A. 向
8、右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】C- 6 -【解析】【分析】根据题意求出函数 的解析式，然后再结合图象的变换进行求解即可得到答案【详解】函致 的图象的一个对称中心为 ， ，解得 ， ，将函数 的图象向右平移 个单位长度即可得到函数 的图象故选 C【点睛】解答三角函数图象变换的注意点：（1）进行图象变换时，变换前后的三角函数名称一样，若名称不一样，则先要根据诱导公式统一名称（2）在进行三角函数图象变换时，可以“先平移，后伸缩” ，也可以“先伸缩，后平移” ，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对 而言的，即图象变换要看“变
9、量”发生了多大的变化，而不是“角”变化多少10.函数 y= sinx 的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 7 -【解析】设 ，由 得 ，则函数的定义域为 ，函数 为奇函数，排除 D又 ，且 ，故可排除 B，且 ，故可排除 C选 A11.函数 在 上有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得到 ，然后将问题转化为函数 在区间 上有一个变号零点的问题处理，分离参数后借助数形结合的方法可得结果【详解】 ， 函数 在区间 上有且仅有一个极值点， 在区间 上只有一个变号零点令 ，得 令 ，则 在区间 上单调递减，在区间
10、 上单调递增， ，又 - 8 -结合函数 的图象可得，当 时， 在区间 上只有一个变号零点实数 的范围为 故选 B【点睛】本题具有综合性，解答本题时注意以下几点：（1）将函数有一个极值点的问题转化为导函数有一个变号零点的问题处理，然后再转化为两个函数图象的公共点的问题处理；（2）解题中要利用数形结合的方法解题，求解时注意所求范围的端点值能否取到12.定义在函数 上的函数 满足 ， ，则关于 x 的不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由 构造函数 ，则有 ，从而得到函数 在上单调递增又 ，所以不等式 可化为 ，根据函数 的单调性可得 ，于是可得所求结果【详解】
11、令 ，则 ， ， ，函数 在 上单调递增又 ， - 9 -结合题意，不等式 可转化为 ，即 ， ，解得 ，原不等式的解集为 故选 B【点睛】对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要根据不等式的形式构造出相应的函数，然后根据所给的不等式得到导函数的符号，进而得到构造的函数的单调性，然后再根据所构造的函数的单调性进行解题，其中根据题意构造符合题意的函数是解题的关键二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分13.已知 的终边过点 ，若 ，则 _【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义得到 ，再根据 得到 ，于是可得 的值【详解】 的终边过点 ， 又 ， ， 故答案为 【
12、点睛】本题考查正切函数的定义和诱导公式，解题的关键是得到关于 的方程，属于基础题14.已知 ，则 _- 10 -【答案】【解析】【分析】先根据定积分得到 ，两边平方后可得所求【详解】 ， ，即 ， ， 故答案为 【点睛】本题考查微积分基本定理和三角函数的基本关系，解题的关键是根据定积分得到，考查转化能力和计算能力15.已知函数 ， ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】令 ，则可得函数 为奇函数，然后根据题意求解可得结果【详解】设 ，则，函数 为奇函数 ， ，- 11 - ， 故答案为 【点睛】解答本题的关键是构造函数 ，并利用函数 为奇函数进行求解，另外解题中还要注意 这个整体在解题中所起的
13、作用16.设 ，若函数 在 上的最大值与最小值之差为 2，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设 ，结合导数可得函数 的值域为 ，最大值与最小值之差为2，从而得到函数 的值域为 ，最大值与最小值之差也为 2然后根据题意可得 或 ，于是可得所求的范围【详解】设 ，则 ，所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 ， ， ，函数 的值域为 ，最大值与最小值之差为 2，函数 的值域为 ，最大值与最小值之差也为 2函数 在 上的最大值与最小值之差为 2， 或 ，解得 或 .实数 的取值范围为 故答案为 【点睛】本题考查用导数研究函数的最值问题，具有综合性和难度，解题的关键是注意将问题进
14、行合理的转化二、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤- 12 -17.设 ：函数 的定义域为 ， ，使得不等式 成立，如果“ 或 ”为真命题， “ 且 ”为假，求实数 的取值范围【答案】【解析】【分析】先求出命题 p,q 分别为真命题时 的取值范围，由“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假可得p，q 一真一假，然后根据分类讨论可得所求的范围【详解】若命题 p 为真，即 恒成立，则有 ，解得 令 ，且 ， ，所以函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，所以 的值域为 ，若命题 q 为真，即 ，使得 成立，则 由命题“p 或 q”为真命题， “p 且
15、 q”为假命题，可知 p，q 一真一假， 当 p 为真命题，q 为假命题时，则有 ，不等式组无解当 p 为假命题 q 为真命题时，则有 ，解得 综上可得 所以实数 的取值范围是 【点睛】解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算18.已知四边形 OACB 中，a、b、c 分别为 的内角 A、B、C 所对的边长，且满足- 13 -（1）证明： ；（2）若 ，设 ， ，求四边形 OACB 面积的最大值【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由 及正弦定理和三角变换可得 ，再由正弦定理可得结论成立 （2）先证得 为等边三角形，根据
16、 及三角形的面积公式，得到 ，然后根据 的取值范围可得所求的最大值【详解】 （1）证明： ，由正弦定理得 ， ， ， ，由正弦定理得： （2）解： ， ， ， 为等边三角形由题意得，- 14 - ， ，当 ，即 时， 有最大值，且最大值为 【点睛】本题考查用三角函数模型解决问题，该类问题主要有两种情形：一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，体现了新课标中“数学建模”的本质解题中的关键是将问题逐步转化成形如 的函数的问题求解19.已知函数 图象的一条对称轴为 （1）求 的最小值；（2）当 取最小值时，若
17、， ，求 的值【答案】 （1）1（2）【解析】【分析】（1）由题意得 ，又函数 图象的一条对称轴为 ，所以，根据条件可得所求；（2）由（1）知 ，可得 ，根据同角关系可得 ，最后利用 求解可得所求的结果【详解】 （1）由题意得 因为函数 的一条对称轴为 ，所以 ，所以 ，又 ，- 15 -所以 的最小值为 1（2）由（1）知 ， 【点睛】 （1）解答形如 的函数的问题时，需要把 作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意 的符号对结果的影响（2）在解答“给值求值”型的问题时，要注意角的变换，通过“拆” 、 “凑”等方法将所求角用已知角表示出来，然后再将所给条件作为整体进行求解20.
18、已知定义域为 R 的函数 是奇函数（1）求实数 m，n 的值；（2）若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ， （2）【解析】【分析】（1）根据 和 ，利用取特殊的方法求出 ，但要注意进行验证；（2）由题意得到函数 在 上为减函数，然后将不等式转化为对任意的 ，恒成立，最后根据二次方程根的分布求解【详解】 （1） 是 R 上的奇函数， ， ， ，- 16 -又 ， ，解得 ， 经验证可得函数 为奇函数， ， （2）由（1）知 ， 在 上为减函数 , ，又 是奇函数， ，又 为减函数， 对任意的 恒成立 对任意的 恒成立 令 ，则 ,解得 .实数 的取值范围为 【
19、点睛】 （1）已知函数的奇偶性求参数的取值时，一般根据定义得到关于变量 的恒等式，然后通过比较系数可得所求参数也可根据题意利用取特殊值的方法求解，但求出参数的值后必须进行验证（2）解决一元二次不等式的恒成立问题时，可通过二次函数求最值解决，也可通过分离参数后再最值，也可通过构造函数、利用二次方程根的分布求解解题时注意要搞清谁是自变- 17 -量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数21.已知函数 （1）当 时，讨论函数 的单调性；（2）若函数 有两个极值点 ， ，证明: 【答案】 （1） 时， 在 单调递增； 时， 在区间 ，单调递增；在区间 单调递减 （2）见解析
20、【解析】【分析】（1）求出导函数 ，然后根据方程 的判别式得到导函数的符号，进而得到函数的单调性；（2）由题意得到方程 有两个根 ，故可得，且 然后可得 ，最后利用导数可证得，从而不等式成立【详解】 （1） ， 当 ，即 时， ，所以 在 单调递增； 当 ，即 时，令 ，得 ， ，且 ， ，当 时， ；当 时， ；- 18 - 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 综上所述：当 时， 在 单调递增；时， 在区间 ， 单调递增；在区间单调递减（2）由（1）得 函数 有两个极值点 ， ，方程 有两个根 ， ， ，且 ，解得 由题意得 令 ，则 ， 在 上单调递减， ， 【点睛】 （1）求函数的单调
21、区间或讨论函数的单调性时，若解析式中含有参数时，解题中一定要弄清参数对导函数在某一区间内的符号是否有影响，若有影响则必须进行分类讨论- 19 -（2）解答第二问的关键在于求出 的表达式后将问题转化，通过构造新函数并利用单调性可得结论成立22.已知函数 （1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；（2）对于任意的 ， 的图象恒在 图象的上方，求实数 a 的取值菹围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）求出 的值可得切点坐标，求出 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点 处的切线方程；（2）由题意得 在 恒成立，令，则需求出函数 的最小值即可，但由于 的零点不易求出，故通过再次求导的方
22、法逐步求解，进而求得 的最小值【详解】 （1）当 时， ， ， ，又 ，函数 在点 处的切线方程为 ，即 （2）由题知当 时， 恒成立，即当 时， 恒成立，等价于 在 恒成立令 ，则 ，令 ，则 ，- 20 - 在 上单调递增，且 ，存在唯一零点 ，使得 ，且当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增 由 ，得 ， ，即 设 ，则 , 在 单调递增 ， ， , 故实数 的取值范围为 【点睛】 （1）对于恒成立问题，求解的基本方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题（2）解答第二问的难度较大，由于导函数的符号不易判断，进而需要构造函数再次求导，直到问题得以解决，这是解题中常用的方法（3）对于导函数的零点存在但是不可求的问题，解题时可根据导函数的单调性得到零点所在的范围，在得到函数的单调性后进一步得到函数的最值，在求最值的过程中需要利用导函数的零点进行代换，以达到求出函数最值的目的，如在本题中由 得到- 21 -，进而得到 是能求出最值的关键- 22 -
