1、- 1 -辽宁省丹东市 2019 届高三数学 10 月底测试试题 理（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ax|x 2x20，则 RAA. x|x1x|x2 B. x|x1x|x2C. x|x1x|x2 D. x|x1x|x2【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式的解法化简集合 ，根据集合补集的定义可得结果.【详解】由一元二次不等式的解法可得集合 ，由补集的定义可得 或 ， ，故选 D.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑
2、端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.若复数 z 满足(1i) z17i，则| z |A. B. 4 C. 5 D. 25【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得结论.【详解】由 ，得 ，则 ，故选 C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.- 2 -3.已知x0，2，px；
3、x 00，2，qx 0那么 p，q 的取值范围分别为A. p(0，)，q(0，) B. p(0，)，q(2，)C. p(2，)，q(0，) D. p(2，)，q(2，)【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的定义可得 ，由特称命题的定义可得 ，从而可得结果.【详解】由 ,可得 ；由 ，可得 ，所以， 的取值范围分别为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查特称命题的定义与全称命题的定义的理解与应用，意在考查对基本定义的掌握情况，属于基础题.4.在ABC 中，A45，AC ，BC ，则 tanBA. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【详解】因为 ，由正弦定理可得
4、，或 ，故选 A.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.设平面向量 不共线，若 5 ， 2 8 ， 3( )，则A. 三点共线 B. A、B、C 三点共线C. B、C、D 三点共线 D. A、C、D 三点共线- 3 -【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算求得 ,由共线定理证明 三点共线.【详解】因为 ， ， ，与 共线，即 三点共
5、线，故选 A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及共线的性质，属于中档题. 向量的运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差） ；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.6.设函数 f (x)2sin(2x )的最小正周期为 T，将 f (x)的图象向右平移 个单位后，所得图象A. 关于点( ，0)对称 B. 关于点( ，0)对称C. 关于点( ，0)对称 D. 关于点 ( ，0)对称【答案】A【解析】【分析】由周期公式求出周期，利用三角函数的平移变换求得 ，由 可得，从而可得结果.【详解】 的最小正周期为 ，向右平移 个单位，可得 ，由 可
6、得 ，- 4 -所以 关于 对称，故选 A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数 可求得函数的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.7.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有A. 12 种 B. 16 种C. 20 种 D. 24 种【答案】B【解析】【分析】分两种情况：选 1 女 2 男，选 2 女 1 男，分别利用组合知识以及分步计数乘法原理求解，然后利用分类计数原理可得结果.【详解】选 3 人分两种情况：若选 1 女 2 男，有 种选法，若选 2 女 1 男，有 种选法，根据分类计数原理可得
7、，共有 ，故选 B.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步” 、 “是排列还是组合” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.8.如图，阴影部分由底为 1，高为 1 的等腰三角形及高为 2 和 3 的两矩形所构成设函数SS(a)(a0)是图中阴影部分介于平行线 y0，及 ya 之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为- 5 -A. B. C.
8、D. 【答案】A【解析】【分析】先观察原图形面积増长的速度，然后根据増长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定即可.【详解】根据图象可知在 上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小，可排除 ；在 上面积增长速度恒定，在 上面积增长速度恒定，而在 上面积增长速度大于在上面积增长速度，可排除 ,故选 A.【点睛】本题主要考査了函数的图象意义与实际应用，同时考査了识图能力以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题.9.设函数 f (x)x(2 x )，则 f (x)A. 为奇函数，在 R 上是减函数 B. 为奇函数，在 R 上是增函数C. 为偶函数，在(，0)上是减函数 D. 为偶函数，在
9、(，0)上是增函数【答案】C- 6 -【解析】【分析】先判断 是偶函数，排除 ，再由 可排除 ，从而可得结果.【详解】，是偶函数，排除 ，由 可排除 ，故选 C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数） ；（3）作商法， （ 为偶函数，为奇函数） .10.已知在函数 f (x)Asin(x)( A0，0)的图象上，距离 y 轴最近的极大值点为 x ，距离坐标原点最近的一个零点
10、为 x ，则 f (x)的单调递增区间为A. (2k ，2k )，kZ B. (2k ，2k )，kZC. (2k ，2k )，kZ D. (2k ，2k )，kZ【答案】D【解析】【分析】利用距离 轴最近的极大值点为 ，距离坐标原点最近的一个零点为 可得函数的周期，可得 ，利用 可得 ，由 可得结果.【详解】 距离 轴最近的极大值点为 ，距离坐标原点最近的一个零点为 ，- 7 -，由 ，可得 ，求得 ，由 ，的单调增区间为等价于 ，故选 D.【点睛】函数 的单调区间的求法：(1) 代换法： 若 ,把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间； 若 ,则利用诱导公式先将 的符号化为正，
11、再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.11.已知定义域为 R 的函数 f (x)在2，)上单调递增，若 f (x2)是奇函数，则满足 f (x3)f (2x1)0 的 x 范围为A. (， ) B. ( ，) C. (， ) D. ( ，)【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性与函数图象的“平移变换”可得 的图象关于 对称，由 在 上递增，可得 在 上递增， ，化为 ，利用单调性可得结果.【详解】 是奇函数，关于原点对称，的图象向右平移一个单位，可得到 的图象， 的图象关于 对称，- 8 -在 上递增， 在 上递增，在 上递
12、增，是奇函数， ，化为 ， 的范围是 ，故选 C.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12.已知 ，若 f (a)f (b)c，f (b)0，则A. cba B. bac C. cab D. abc【答案】B【解析】【分析】求出 由 可得 画出函数 的图象，由图可知 ， ，从而可得结果 .【详解】- 9 -，因为 ，画出函数 的图象，因为由图可知 ，
13、，故选 B.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.【2018 年全国卷文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的
14、抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_【答案】分层抽样.【解析】- 10 -分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为：分层抽样。点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题。14.设平面向量 =(1，0)， =(1，1)，若 与 垂直，则实数 =_【答案】【解析】【分析】由向量 ， ，利用向量垂直的充要条件列出方程，求出 的值.【详解】 向量 ，由向量 与 垂直可得， ，解得 ，故答案为-1.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.15.已
15、知 是第四象限角，且 tan( )3，则 sincos_【答案】【解析】【分析】由 求出 ，由 为第四象限角，求出 ，即可得出结论.【详解】 ，为第二象限角，故答案为 .【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. - 11 -同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.16.函数 y2x 3ax 21 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，由 只有一个零点，结合函数的单调性可得 ，从而可得结果.【详解】 ，由 得 或 ，在 上递增
16、，在 上递减，或 在 上递增，在 上递减，函数 有两个极值点 ，因为 只有一个零点，所以 ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点 ；两个零点 ；三个零点.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边过点 P(2，1)（1）求 cos(2 )的值；
17、（2）若角 满足 tan2，求 tan(2)的值【答案】 （1） ；（2）【解析】- 12 -【分析】（1）由三角函数定义求得 的值，利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得结果；（2）由（1） ，结合二倍角的余弦公式求得 的值，由同角三角函数关系可得 ，再根据两角和的正切公式可得结果.【详解】 （1）由三角函数定义sin ，cos 所以 cos(2 )sin22sincos （2）由（1）知 cos2cos 2sin 2 ，故 tan2 因为 tan2，tan (2) ，于是 tan (2)2【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观
18、察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角18.销售某种活虾，根据以往的销售情况，按日需量 x（公斤）属于0，100)，100，200)，200，300)，300，400)，400，500 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图这种活虾经销商进价成本为每公斤 15 元，当天进货当天以每公斤 20 元进行销售，当天未售
19、出的须全部以每公斤 10 元卖给冷冻库某水产品经销商某天购进了 300 公斤这种活虾，设当天利润为 Y 元（1）求 Y 关于 x 的函数关系式；（2）结合直方图估计利润 Y 不小于 300 元的概率；（3）在直方图的日需量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，日需量落入该区间的频率作为日需量取该区间中点值的概率，求 Y 的平均估计值- 13 -【答案】 （1） ；（2）0.74；（3）800【解析】【分析】（1）当日需求量不低于 300 公斤时，利润 元；当日需求量不足 300公斤时，利润 （元） ；（2）直接根据直方图的性质可得结果；（3） 的可能取值为 ，根据直方图求出各随机变量对应
20、的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期望.【详解】 （1）当日需求量不低于 300 公斤时，利润 Y(2015)3001500 元；当日需求量不足 300 公斤时，利润 Y(2015)x(300x)510x1500（元） ；故 Y （2）由 Y300 得，180x500，所以 P(Y300)P(180x200)P(200x500)(0.0020 0.00300.00250.0015) 1000.74（3）依题意可得 Y 的分布列为Y 1000 0 1000 1500P 0.1 0.2 0.3 0.4EY(1000)0.100.210000.315000.4800因此 Y 的平均
21、估计值为 800 元【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为 ；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）- 14 -每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.19.（1）已知 a，b，N 都是正数，a1，b1，证明对数换底公式：log aN ；（2）写出对数换底公式的一个性质（不用证明） ，并举例应用这个性质【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设 且 ，化为指数式 ，两边取对数可得 ，化简代入即可得出结果；（2） 或 .【详解】
22、 （1）设 logaNx，则 Na x两边同时取 b 为底对数，得 logbNlog bax由对数运算性质，得 logbNxlog ba因为 a1，所以 logba0，所以 x ，于是 logaN 或者：因为 alogaNN，两边同时取 b 为底对数，得 logbalogaNlog bN由对数运算性质，得 logaNlogbalog bN因为 a1，所以 logba0，所以 logaN （2）对数换底公式性质（i）：log aNlogbalog bN例如 log23log38log 283对数换底公式性质（ii）：log ablogba1例如 log 102log 105log 10101对数
23、换底公式性质（iii）：log Nn logaN例如 log2781log 34 log33 【点睛】本题主要考查对数的基本运算与基本性质，以及换底公式的应用，意在考查对基础知识的掌握的熟练程度，属于中档题.- 15 -20.如图，在ABC 中，ACB ，AC3， BC2，P 是ABC 内的一点（1）若BPC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，求 PA 长；（2）若BPC ，求PBC 面积的最大值【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)由三角形 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出 的长，在三角形 中，利用余弦定理求出的 长即可；(2)在三角形 中,由 的度数表示出 的度数，利用正弦定
24、理表示出 与 ,进而表示出三角形 面积,利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可.【详解】 （1）由题设，PCA ，PC ，在PAC 中，由余弦定理得PA2AC 2PC 22ACPCcos 5，于是 PA （2）BPC ，设PCB，则 (0， )在PBC 中，PBC 由正弦定理得 ，得 PB sin，PC sin( )所以PBC 面积 S PBPCsin sin ( )sin sin(2 ) 当 (0， )时，PBC 面积的最大值为 【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解-
25、 16 -答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.21.设函数 f (x)lnxx1（1）求 f (x)的极值；（2）若 0a1，证明：函数 g (x)(xa)e x ax2a(a1) x(xlna)有极小值点 x0，且 g (x0)0【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）求导数 ，解方程 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 在 处取极大值，如果左负右正，那么 在 处取极小值；（2）令 得， ，由（1）知 ，可得 有极小值点 ，只需证明即可.【详解】 （1）f(x)
26、的定义域为(0，)，f(x) ，令 f(x)0 得 x1当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x (0，1) 1 (0，)f (x) 0 f (x) 极大 所以当 x1 时，f (x)取极大值 f (1)0，没有极小值（2）g(x)(e xa) x(a1)，令 g(x)0 得 x1lna，x 2a1因为 0a1，由（1）知 lnaa1当 x(lna，a1)时，g(x)0；当 x(a1，)时，g(x)0；所以 g (x)有极小值点 x0a1由 lnaa1，得 ea1 a- 17 -g (x0)g (a1) a(a1) 2e a-1 a(a1) 2a a(a22a1)因为 0a1
27、，所以 a22a10，因此 g (x0)0【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆
28、 的极坐标方程为 ， （1）求 的参数方程；（2）设点 在 上， 在 处的切线与直线 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定 的坐标【答案】 （1） （ 为参数， ） ；（2） .【解析】试题分析：（1）先求出半圆 的直角坐标方程，由此能求出半圆 的参数方程；（2）设点对应的参数为 ，则点 的坐标为 ，且 ，半圆 的圆心是 因半圆在 处的切线与直线 垂直，故直线 的斜率与直线 的斜率相等，由此能求出点 的坐标.试题解析：（1） 所以 C 的参数方程为 为参数（2） 视频23.（1）已知 aR，bR，证明： ；（2）若 x0，y0，xy4，求(log 2x)2(log 2y)2的最小值- 18 -【答案】 （1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1） ，从而可得到结论；(2)先用对数的运算性质化简可得 ，利用（1）结论，结合基本不等式求得最值.【详解】 （1） ( )2 ( )20，当且仅当 ab 时取等号，所以 ( )2（2）因为 xy4，所以 log2xlog 2ylog 2xy2由（1）知 ( )21， ，所以(log 2x)2(log 2y)22当且仅当 log2xlog 2y，即 xy2 时取等号，所以(log 2x)2(log 2y)2的最小值为 2【点睛】本题主要考查对数的运算以及作差法证明不等式，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.- 19 -
