1、第19讲 数列中的推理与证明,第19讲 数列中的推理与证明 1.已知数列an满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列an的前n项和,则S2 017= .,答案 2,解析 由题意可得a1=2,a2=3,a3=1,a4=-2,a5=-3,a6=-1,a7=2,a8=3,a9=1,则数列 an是以6为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以S2 017=336(a1+a2+ a6)+a1=2.,2.数列an为等比数列,且a1+1,a3+4,a5+7成等差数列,则公差d= .,答案 3,解析 设等比数列an的公比为q(q0),因为a1+1,a3+4,a5+7
2、成等差数列,则a1 +1+a5+7=2(a3+4),即a1+a1q4=2a1q2,解得q2=1,则公差d=(a3+4)-(a1+1)=a1q2+3-a1= 3.,3.如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y= (x+1)上从左向右依次取 点Ak、Bk,k=1,2,其中A1是坐标原点,使AkBkAk+1都是等边三角形,则A10B10 A11的边长是 .,答案 512,解析 设AnBnAn+1(nN*)的边长为an,则a1=1,an+1=2an,即数列an是首项为 1、公比为2的等比数列,则A10B10A11的边长a10=29=512.,4.已知函数f(x)=x3+x,等差数列an满足f(a2
3、-1)=2, f(a2 016-3)=-2,Sn是其前n项和, 则S2 017= .,答案 4 034,解析 因为函数f(x)=x3+x是奇函数,且f(a2-1)=2,f(a2 016-3)=-2,所以a2-1=-(a2 016- 3),即a2+a2 016=4,又an是等差数列,所以S2 017= = = 4 034.,题型一 数列中的不等关系,例1 (2018江苏,20,16分)设an是首项为a1,公差为d的等差数列,bn是首项 为b1,公比为q的等比数列. (1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围; (2)若a1=b10,mN*,
4、q(1, ,证明:存在dR,使得|an-bn|b1对n=2,3,m+1 均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).,解析 (1)由条件知:an=(n-1)d,bn=2n-1. 因为|an-bn|b1对n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|1对n=1,2,3,4均成立, 即11,1d3,32d5,73d9,得 d . 因此,d的取值范围为 . (2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1. 若存在dR,使得|an-bn|b1(n=2,3,m+1)均成立, 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|b1(n=2,3,m+1),即当n=2,3,m+1时,d满足 b
5、1d b1. 因为q(1, ,则10,对n=2,3,m+1均成立. 因此,取d=0时,|an-bn|b1对n=2,3,m+1均成立. 下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值(n=2,3,m+1). 当2nm时, - = = , 当10.,因此,当2nm+1时,数列 单调递增, 故数列 的最大值为 . 设f(x)=2x(1-x),当x0时,f (x)=(ln 2-1-xln 2)2x0, 所以f(x)单调递减,从而f(x)f(0)=1. 当2nm+1时, = =f 1, 因此,当2nm+1时,数列 单调递减, 故数列 的最小值为 . 因此,d的取值范围为 .,【方法归纳】 数列中的不等关系大致有
6、不等式的证明、不等式恒成立与 有解问题、参数的取值范围问题.数列中的不等式证明可利用比较法、构造 函数等方法.数列中的否定性命题的证明一般利用反证法,即反设、归谬、存 真.,1-1 (2018徐州铜山第三次模拟)已知数列an的首项a1=a(a0),其前n项和为 Sn,设bn=an+an+1(nN*).数列bn的前n项和为Tn,满足Tn=n2. (1)求证:数列bn的任意连续三项不成等比数列; (2)求数列an的通项公式;,(3)若nN*,且n2,不等式(an-1)(an+1-1)2(1-n)恒成立,求a的取值范围.,解析 (1)证明:由Tn=n2,得bn=Tn-Tn-1=2n-1(n2), 由
7、于b1=1符合上式,所以bn=2n-1(nN*). 假设存在bn的连续三项bk-1,bk,bk+1(kN*,k2)成等比数列, 则 =bk-1bk+1,即(2k-1)2=(2k-3)(2k+1).,可得4k2-4k+1=4k2-4k-3,与1-3矛盾,所以假设不成立, 从而数列bn的任意连续三项不成等比数列. (2)由(1)得,an+an+1=bn=2n-1. 所以an-(n-1)=-(an+1-n),即 =-1, 所以数列an-(n-1)为等比数列,且公比为-1. 因为a1=a0,所以an=a(-1)n-1+(n-1)(nN*).,(3)不等式(an-1)(an+1-1)2(1-n),即an
8、an+1-(an+an+1)+12(1-n), 由于an+an+1=2n-1,所以anan+10. 当n是奇数时,an=a+(n-1),an+1=-a+n, 所以anan+1=a+(n-1)(-a+n)=-a2+a+n(n-1)0, 即nN*,且n2,-a2+a-n(n-1)恒成立, 所以-a2+a-2,解得-1a2. 因为a0,所以a的取值范围是(0,2.,题型二 在数列中抽取与插入项的问题,例2 已知数列an中,a1=1,在a1,a2之间插入1个数,在a2,a3之间插入2个数,在a3, a4之间插入3个数,在an,an+1之间插入n个数,使得所有插入的数和原数列an 中的所有项按原有位置顺
9、序构成一个正项等差数列bn. (1)若a4=19,求bn的通项公式; (2)设数列bn的前n项和为Sn,且满足 =bn+(,为常数),求,的值以 及an的通项公式.,解析 (1)设bn的公差为d, 由题意得,b1=a1=1,b3=a2,b6=a3,b10=a4=19, 又b10=b1+9d,则d=2,而b1=1, 故数列bn的通项公式为bn=1+2(n-1)=2n-1. (2)由 =bn+(,为常数). 得2Sn+=(bn+)2= +2bn+2, 当n=1时,2+=1+2+2, 当n2时,2Sn-1+= +2bn-1+2, -得2bn= - +2(bn-bn-1),则2bn=d(bn+bn-1
10、)+2d=d(2bn-d)+2d, 若d=0,bn=b1=1,代入式,得2=0,不成立,则d0.,式可变形为(2-2d)bn=2d-d2, 则 解得 代入式,得= . 所以等差数列bn的首项b1=1,公差d=1,则bn=n. 设an中的第n项为数列bn中的第k项,则an的前面共有an中的n-1项,且插 入了1+2+3+(n-1)= 项,则k=(n-1)+ +1= , 故an=bk=k= ,即an的通项公式为an= .,【方法归纳】 解决在数列中抽取与插入项问题的关键是要分清插入或抽 取的项和原数列项的位置关系.解决问题的方法仍是等差、等比数列基本量 的运算.,2-1 已知数列an,对于任意n2
11、,在an-1与an之间插入n个数,构成的新数列 bn成等差数列,并记在an-1与an之间插入的这n个数的平均值为Cn. (1)若an= ,求C1,C2,C3; (2)在(1)的条件下,是否存在常数,使数列Cn+1-Cn是等差数列?如果存在,求 出满足条件的,如果不存在,请说明理由.,解析 (1)由题意知,a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10, 则在a1与a2之间插入-1,0,且C1=- ; 在a2与a3之间插入2,3,4,且C2=3; 在a3与a4之间插入6,7,8,9,且C3= . (2)设等差数列bn的公差为d(d0),则d= =1, 则Cn-1= = = (n2). 假设存在使得Cn+1-Cn是等差数列,则(Cn+1-Cn)-(Cn-Cn-1) =Cn+1-Cn-(Cn-Cn-1)= - =(1-)n+ - , 上式为一常数,=1, 即=1时,Cn+1-Cn是等差数列.,
