1、1压轴题提分练(一)1(2018威海模拟) 已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且过点 P( ， )，x2a2 y2b2 22 22 32动直线 l： y kx m交椭圆 C于不同的两点 A， B，且 0( O为坐标原点)OA OB (1)求椭圆 C的方程(2)讨论 3m22 k2是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由解析：(1)由题意可知 ，所以 a22 c22( a2 b2)，即 a22 b2，ca 22又点 P( ， )在椭圆上，所以有 1，22 32 24a2 34b2由联立，解得 b21， a22，故所求的椭圆方程为 y21.x22(2)设 A(x1， y1)，
2、 B(x2， y2)，由 0，OA OB 可知 x1x2 y1y20.联立方程组Error!消去 y化简整理得(12 k2)x24 kmx2 m220，由 16 k2m28( m21)(12 k2)0，得 12 k2 m2，所以 x1 x2 ， x1x24km1 2k2，2m2 21 2k2又由题知 x1x2 y1y20，即 x1x2( kx1 m)(kx2 m)0，整理为(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m20.将代入上式，得(1 k2) km m20.2m2 21 2k2 4km1 2k2化简整理得 0，从而得到 3m22 k22.3m2 2 2k21 2k22(2018南宁二中模
3、拟)设函数 f(x) a2ln x x2 ax(aR)(1)试讨论函数 f(x)的单调性；(2)设 (x)2 x( a2 a)ln x，记 h(x) f(x) (x)，当 a0 时，若方程 h(x) m(mR)有两个不相等的实根 x1， x2，证明 h 0.(x1 x22 )解析：(1)由 f(x) a2ln x x2 ax，可知 f( x) 2 x a a2x 2x2 ax a2x2. 2x a x ax因为函数 f(x)的定义域为(0，)，所以，若 a0，当 x(0， a)时， f( x)0 函数 f(x)单调递减，当 x( a，)时， f( x)0，函数 f(x)单调递增；若 a0 时，
4、 f( x)2 x0 在 x(0，)内恒成立，函数 f(x)单调递增；若 a0，当 x(0， )时， f( x)0，函数 f(x)单调递减，当 x( ，)时，a2 a2f( x)0，函数 f(x)单调递增(2)证明：由题可知 h(x) f(x) (x) x2(2 a)x aln x(x0)，所以 h( x)2 x(2 a) .ax 2x2 2 a x ax 2x a x 1x所以当 x(0， )时， h( x)0；当 x( ，)时， h( x)0；当 x 时， h( )a2 a2 a2 a20.欲证 h( )0，只需证 h( ) h( )，又 h( x)2 0，即 h( x)单x1 x22 x
5、1 x22 a2 ax2调递增，故只需证明 .x1 x22 a2设 x1， x2是方程 h(x) m的两个不相等的实根，不妨设为 0 x1 x2，则Error!两式相减并整理得 a(x1 x2ln x1ln x2) x x 2 x12 x2，21 2从而 a ，x21 x2 2x1 2x2x1 x2 ln x1 ln x2故只需证明 ，x1 x22 x21 x2 2x1 2x22 x1 x2 ln x1 ln x2即 x1 x2 .(*)x21 x2 2x1 2x2x1 x2 ln x1 ln x2因为 x1 x2ln x1ln x20，所以(*)式可化为 ln x1ln x2 ，2x1 2x2x1 x2即 ln .x1x22x1x2 2x1x2 1因为 0 x1 x2，所以 0 1，x1x2不妨令 t ，所以得到 ln t ， t(0,1)x1x2 2t 2t 13记 R(t)ln t ， t(0,1)，所以 R( t) 0，当且仅2t 2t 1 1t 4 t 1 2 t 1 2t t 1 2当 t1 时，等号成立，因此 R(t)在(0,1)单调递增又 R(1)0，因此 R(t)0， t(0,1)，故 lnt ， t(0,1)得证，2t 2t 1从而 h( )0 得证x1 x22
