1、1第 2 讲 综合大题部分1. (2018高考全国卷)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，已知 a17， S3 15.(1)求 an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值解析：(1)设 an的公差为 d，由题意得 3a13 d15.由 a17 得 d2.所以 an的通项公式为 an a1( n1) d2 n9.(2)由(1)得 Sn n n28 n( n4) 216.a1 an2所以当 n4 时， Sn取得最小值，最小值为16.2(2017高考全国卷)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，等比数列 bn的前 n 项和为Tn， a11， b11， a2 b22.(1)若 a3 b
2、35，求 bn的通项公式；(2)若 T321，求 S3.解析：设 an的公差为 d， bn的公比为 q，则 an1( n1) d， bn qn1 .由 a2 b22 得 d q3. (1)由 a3 b35 得 2d q26. 联立和解得Error!(舍去)，Error!因此 bn的通项公式为 bn2 n1 .(2)由 b11， T321 得 q2 q200，解得 q5 或 q4.当 q5 时，由得 d8，则 S321.当 q4 时，由得 d1，则 S36.3(2018高考全国卷)等比数列 an中， a11， a54 a3.(1)求 an的通项公式；(2)记 Sn为 an的前 n 项和若 Sm6
3、3，求 m.解析：(1)设 an的公比为 q，由题设得 an qn1 .由已知得 q44 q2，解得 q0(舍去)， q2 或 q2.故 an(2) n1 或 an2 n1 .2(2)若 an(2) n1 ，则 Sn .1 2 n3由 Sm63 得(2) m188，此方程没有正整数解若 an2 n1 ，则 Sn2 n1.由 Sm63 得 2m64，解得 m6.综上， m6.4(2018高考天津卷)设 an是等差数列，其前 n 项和为 Sn(nN *)； bn是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn(nN *)已知b11， b3 b22， b4 a3 a5， b5 a42 a6.(1)求
4、 Sn和 Tn；(2)若 Sn( T1 T2 Tn) an4 bn，求正整数 n 的值解析：(1)设等比数列 bn的公比为 q(q0)由 b11， b3 b22，可得 q2 q20.因为 q0，可得 q2，故 bn2 n1 .所以 Tn 2 n1.1 2n1 2设等差数列 an的公差为 d.由 b4 a3 a5，可得 a13 d4.由 b5 a42 a6，可得 3a113 d16，从而 a11， d1，故 an n，所以 Sn .n n 12(2)由(1)，有T1 T2 Tn(2 12 22 n) n n2 n1 n2.2 1 2n1 2由 Sn( T1 T2 Tn) an4 bn可得2 n1
5、 n2 n2 n1 ，n n 12整理得 n23 n40，解得 n1(舍去)，或 n4.所以， n 的值为 4.1. 已知首项为 2 的数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn1 3 Sn2 Sn1 (n2， nN *)(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.n 1an解析：(1)因为 Sn1 3 Sn2 Sn1 (n2)，所以 Sn1 Sn2 Sn2 Sn1 (n2)，3即 an1 2 an(n2)，所以 an1 2 n1 ，则 an2 n，当 n1 时，也满足，故数列 an的通项公式为 an2 n.(2)因为 bn ( n1)( )n，n 12n
6、 12所以 Tn2 3( )24( )3( n1)( )n， 12 12 12 12Tn2( )23( )34( )4 n( )n( n1)( )n1 ， 12 12 12 12 12 12得 Tn2 ( )2( )3( )n( n1)( )n112 12 12 12 12 12 ( )1( )2( )3( )n( n1)( )n112 12 12 12 12 12 ( n1)( )n112121 12 n1 12 12 1( )n( n1)( )n112 12 12 .32 n 32n 1故数列 bn的前 n 项和为 Tn3 .n 32n2已知数列 an满足 a14 a24 2a34 n1
7、an (nN *)n4(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bnbn1 的前 n 项和 Tn.4nan2n 1解析：(1)当 n1 时， a1 .14因为 a14 a24 2a34 n2 an1 4 n1 an ， n4所以 a14 a24 2a34 n2 an1 (n2， nN *)， n 14，得 4n1 an (n2， nN *)，14所以 an (n2， nN *)14n由于 a1 ，故 an (nN *)14 14n4(2)由(1)得 bn ，4nan2n 1 12n 1所以 bnbn1 ( )，1 2n 1 2n 3 12 12n 1 12n 3故 Tn ( ) ( ) .12 13 15 15 17 12n 1 12n 3 12 13 12n 3 n6n 93已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， nN *，且 a23， S525.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 bn ，记数列 bn的前 n 项和为 Tn，证明： Tn( n )2，则 k( n )2 max.4n 4n5令函数 f(x)( x )2， x0，4x则 f( x) ，4 x2x2 x 2 x 2x2所以当 x(0,2)时， f( x)0，当 x(2，)时， f( x) ，即实数 k 的取值范围为( ，)193 193
