1、1课时作业 42 空间点、直线、平面之间的位置关系基础达标一、选择题12019江西七校联考已知直线 a 和平面 ， ， l， a ， a ，且a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析：依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面答案：D2若直线 a b，且直线 a平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是( )A b B b C b 或 b D b 与 相交或 b 或 b 解析： b 与 相交或 b 或 b 都可以答案：D3.如图所示， ABCD A1B1C1D1是正方体， O
2、是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是( )A A， M， O 三点共线B A， M， O， A1不共面C A， M， C， O 不共面D B， B1， O， M 共面解析：连接 A1C1， AC(图略)，则 A1C1 AC， A1， C1， A， C 四点共面， A1C平面 ACC1A1. M A1C， M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1， M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，同理 A， O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，2 A， M， O 三点共线答案：A42019河北张家口模拟三棱柱 ABC A1B1C
3、1中， ABC 为等边三角形， AA1平面ABC， AA1 AB， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B.110 35C. D.710 45解析：取 BC 的中点 O，连接 NO， AO， MN，因为 B1C1綊 BC， OB BC，所以12OB B1C1， OB B1C1，因为 M， N 分别为 A1B1， A1C1的中点，所以 MN B1C1， MN B1C1，所12 12以 MN 綊 OB，所以四边形 MNOB 是平行四边形，所以 NO MB，所以 ANO 或其补角即为 BM与 AN 所成角，不妨设 AB2，则有 AO ， ON
4、 BM ， AN ，在 ANO 中，由余弦定3 5 5理可得 cos ANO .故选 C.AN2 ON2 AO22ANON 5 5 3255 710答案：C52019安徽联合检测若在三棱柱 ABC A1B1C1中， A1AC BAC60，平面A1ACC1平面 ABC， AA1 AC AB，则异面直线 AC1与 A1B 所成角的余弦值为( )A. B.22 24C. D.32 34解析：解法一 如图，在平面 ABC，平面 A1B1C1中分别取点 D， D1，连接BD， CD， B1D1， C1D1，使得四边形 ABDC， A1B1D1C1为平行四边形，连接 DD1， BD1，则AB C1D1且
5、AB C1D1，所以 AC1 BD1，故 A1BD1即异面直线 AC1与 A1B 所成的角3连接 A1D1，过点 A1作 A1M AC 于点 M，连接 BM，设 AA12，由 A1AM BAC60，得 AM1， BM ， A1M ，因为平面 A1ACC1平面 ABC， A1M平面 A1ACC1，所以 A1M平3 3面 ABC，所以 A1M BM，所以 A1B ，在菱形 A1ACC1中，易求得 AC12 BD1，在菱形6 3A1B1D1C1中，易求得 A1D12 ，所以 cos A1BD1 ，所3A1B2 BD21 A1D212A1BBD1 6 12 122623 24以异面直线 AC1与 A1
6、B 所成角的余弦值为 .24解法二 令 M 为 AC 的中点，连接 MB， MA1，易得 MA， MB， MA1两两垂直以 M 为原点， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设MA MB MA1 AA1 AC AB2，则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， A1(0,0， )， C1(2,0， )，所以3 3 3(3,0， )， (0 ， ， )，所以 cos ， ，故异AC1 3 A1B 3 3 AC1 A1B 3236 24面直线 AC1与 A1B 所成角的余弦值为 .24答案：B二、填空题6设 P 表示一个点， a， b 表示两条直线， ，
7、 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_ P a， P a ； a b P， b a ； a b， a ， P b， P b ； b， P ， P P b.解析：当 a P 时， P a， P ，但 a ，错；4a P 时，错；如图 a b， P b， Pa，由直线 a 与点 P 确定唯一平面 ，又 a b，由 a 与 b 确定唯一平面 ，但 经过直线 a 与点 P， 与 重合， b ，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案：7如图所示， G， H， M， N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析
8、：图(1)中，直线 GH MN；图(2)中， G， H， N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图(3)中，连接 MG， HN， GM HN，因此 GH 与 MN 共面；图(4)中， G， M， N 共面，但 H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以图(2)，(4)中 GH 与 MN 异面答案：(2)(4)82019福建四地六校联考已知三棱锥 A BCD 中， AB CD，且直线 AB 与 CD 成60角，点 M、 N 分别是 BC、 AD 的中点，则异面直线 AB 与 MN 所成角的大小为_解析：如图，取 AC 的中点 P，连接 PM， PN，则 PM AB
9、，且 PM AB， PN CD，且12PN CD.12 MPN 或其补角为 AB 与 CD 所成的角，则 MPN60或 MPN120， PM AB， PMN 或其补角是 AB 与 MN 所成的角，5 AB CD， PM PN，若 PMN60，则 PMN 是等边三角形， PMN60， AB 与 MN 所成的角为 60.若 MPN120，则 PMN30， AB 与 MN 所成的角为 30，综上，异面直线 AB 与 MN 所成的角为 30或 60.答案：30或 60三、解答题9.如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB CD，直线 AB， BC， AD， DC 分别与平面 相交于点 E， G， H，
10、 F，求证： E， F， G， H 四点必定共线证明：因为 AB CD，所以 AB， CD 确定一个平面 .又因为 AB E， AB ，所以 E ， E ，即 E 为平面 与 的一个公共点同理可证 F， G， H 均为平面 与 的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E， F， G， H 四点必定共线10如图，已知不共面的三条直线 a， b， c 相交于点 P， A a， B a， C b， D c，求证： AD 与 BC 是异面直线证明：假设 AD 和 BC 共面，所确定的平面为 ，那么点 P， A， B， C， D 都在平面 内，直线 a， b， c
11、 都在平面 内，与已知条件 a， b， c 不共面矛盾，假设不成立 AD 和 BC 是异面直线能力挑战112019武汉调研在棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在棱 AB， CD6上，且 AE CF1.(1)求异面直线 A1E 与 C1F 所成角的余弦值；(2)求四面体 EFC1A1的体积解析：(1)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，延长 DC 至 M，使 CM1，则 AE 綊 CM.连接 AC， EM， ME 綊 AC 綊 A1C1，连接 MC1， A1E 綊 C1M， FC1M 为异面直线 A1E 与 C1F 所成的角在 FC1M 中， C1F C1M ， FM2，10cos FC1M .10 10 421010 45故异面直线 A1E 与 C1F 所成角的余弦值为 .45(2)在 D1C1上取一点 N，使 ND11.连接 EN， FN， A1N， A1E 綊 FN， A1N 綊 EF， EF平面 EFC1， A1N平面 EFC1， A1N平面 EFC1， VA1 EFC1 VN EFC1 VE NFC1 S NFC13 2333.13 13 12故四面体 EFC1A1的体积为 3.7
