1、1天津市十二重点中学 2018 届高三下学期毕业班联考（二）数学（理）试题一：选择题。1.已知集合 ， ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合 A、 B，根据交集的定义写出 【详解】集合 ，则 故选： A【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题2.已知 x， y 满足不等式组 ，则目标函数 的最小值为( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 5【答案】B【解析】分析：画出不等式组 表示的可行域，平移直线 ，结合可行域可x-y+10,x+y-10,3x-y-30, z=2x-y+3得直线 经过 点时取到最小值 .z=2xy+3 C详解：2画出
2、不等式组 表示的可行域，如图，x-y+10,x+y-10,3x-y-30, 平移直线 ，设可行域内一点 ，z=2x-y+3 (x,y)由图可知，直线 经过 点时取到最小值，z=2xy+3 C联立 ，解得 ， xy+1=0x+y1=0 C(0,1)的最小值为 ，故选 B.z 1+3=2点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.
3、一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是 ，则判断框中应填入的条件是（ 34）A. B. C. D. i5 i4 i0) y=f(x) |单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个值是 A. B. C. D. 2 38 4 58【答案】D【解析】分析：先根据函数 的最小正周期为 ，求出 的值，再由平移后f(x)=sin(x+4)(xR,0) 得到 为偶函数，可得 ，进而可得结果.y=sin2(x+|)+4 2|+4=k+2(kZ)详解：由函数 的最小正周期为 ，f(x)=sin(x+4)(xR,0) =2可得 ， ，=2 f(x)=sin(2x+4)将 的图象向左平移 个单位长度，
4、y=f(x) |得 的图象，y=sin2(x+|)+4平移后图象关于 轴对称， y， ，2|+4=k+2(kZ) |=k2+8(kZ)，故选 D.k=1=58点睛：已知 的奇偶性求 时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱f(x)=Asin(x+) 导公式来解答：（1） 时， 是奇函数；（ 2） 时，=k,kz f(x) =Asinx =k+2,kz是偶函数.f(x) =Acosx6.已知定义在 R 上的函数 ，则三个数 ， ， ，则f(x)=|x|+cosx a=f(7log314) b=f(17) log1295) c=f(1)a， b， c 之间的大小关系是( )5A. B. acb
5、abcC. D. bca cba【答案】C【解析】分析：求出 的导数，得到函数的 在 上递增，利用对数函数与指数函数的性质f(x) f(x) (0,+)可得， ，从而比较函数值的大小即可.7log3140 f(x)=x+cosx f(x)=1+sinx0可得 在 上递增，f(x) (0,+)由对数函数的性质可得 所以，log314=-log341 7log314ca点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以(,0),(0
6、,1),(1,+)两种方法综合应用.7.双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ， ，点 M， N 在双曲线上，且x2a2-y2b2=1(a0,b0) F1 F2， ，线段 交双曲线 C 于点 Q， ，则该双曲线的离心MN/F1F2 |MN|=12|F1F2| F1N |F1Q|=25|F1N|率是（ ）A. B. C. 2 D. 5+12 52 7【答案】D【解析】分析：运用双曲线的对称性结合 ，可设出 的坐标,由 可得 的坐|MN|=12|F1F2| N |F1Q|=25|F1N| Q标，再由 在双曲线上，满足双曲线的方程，消去参数可得 从而可得到双曲线N,Qc2a2=e2=6,6的离心率.详解
7、：由 ，可得 ，2c=|F1F2|=4|MN| |MN|=12c由 ，可设 ，由 ，MN/F1F2 N(14c,t) |F1Q|=25|F1N|可得 ，可得 ，yQ=25yN,xQ+c=25(xN+c) Q(c2,2t5)由 在双曲线上，可得 ，N,Qc216a2t2b2=1,c24a24t225b2=1消去整理可得， ，故选 D.c2a2=e2=6, e= 6点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘
8、出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.8.已知函数定义在 上的函数 ，则下列说法中正确的个数1,+)f(x)=4-|8x-12|,1x212f(x2),x2 是（ ）关于 x 的方程 ， 有 个不同的零点f(x)-12n=0 (nN) 2n+4对于实数 ，不等式 恒成立x1,+) xf(x)6在 上，方程 有 5 个零点1,6) 6f(x)-x=0当 ， 时，函数 的图象与 x 轴围成的面积为 4x2n-1,2n (nN*) f(x)A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】分析：根据函数的表达式，作出
9、函数 的图象，利用数形结合分别判断即可 .f(x)详解：由表达式可知 .f(1.5)=4,f(3)=2,f(6)=1当 时，方程 等价为 对应方程根的个数为五个，而 ，故n=0 f(x)12n=0 f(x)=1, 2n+4=4错误；7由不等式 等价为 ，在 恒成立，作出函数 图象如图，由图可知xf(x)6 f(x)6x x1,+) y=6x函数 图象总在 的图象上方，所以不等式 恒成立，故正确；y=6x f(x) xf(x)6由 ，得 ，设 ，则 在 上，方程 有四个零点，f(x)16x=0 f(x)=16x g(x)=16x g(6)=1, 1,6) f(x)16x=0故错误；令 得， ，当
10、 时，函数 的图象与 轴围成的图形是一个三角n=1 2n1,2n=1,2 x1,2 f(x) x形，其面积为 ，故错误，故选 B.S=1214=2点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的、函数的图象与性质，以及函数的零点与不等式恒成立问题，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输” ，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二：填空题。9.i 为虚数单位，设复数 z 满足 ，则 z 的虚部是_3+4iz =6i【答案】 12
11、8【解析】分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.详解：由 ，可得 , ，可得 ，3+4iz =6i 3+4i=z6i -6z=-4+3i z=2312i所以，的虚部是 ，故答案为-12 -12.点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.10.以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为 ，它与曲线 ， 为参数相交于两点=4(R) x=2+3cosy=-2+3sin (A、 B，则 _|AB|=【答案】2【解析】分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将极坐标方
12、程为化成直角坐标方程，再将曲线的参数方程化成普通方程，最后利用直角坐标方程的形式，利用垂径定理及勾股定理，C由圆的半径及圆心到直线的距离 ，即可求出 的长.d |AB|详解： ，利用 进行化简， ， 为参数）=4 =cos=x,=sin=y xy=0 x=2+3cos,y=-2+3sin, ，相消去 可得圆的方程为：得到圆心 ，半径为 ，(x2)2+(y+2)2=9 (2,2) 3圆心 到直线 的距离 ，(2,2) xy=0 d=42=22，|AB|=2r2d2=298=2线段 的长为 ，故答案为 . AB 2 2点睛：本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是
13、利用弦长公式 ，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径l= 1+k2|x1x2|构成直角三角形，利用勾股定理求解.11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积_9【答案】23【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，分别求出圆锥与球体的体积，求和即可.详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为 ，高为 ，体积为 ；1 21213122=3球半径为 ，体积为 ，1144312=3所以，该几何体的体积为 ，故答案为 .3+3=23 23点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象
14、能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12.若 其中 ，则 的展开式中 的系数为_n-n|x|dx=49( n0) (2x-1)n x3【答案】280【解析】分析：利用微积分基本定理，求得 ，可得二项展开式通项为 令n=7 Tr+1=Cr727r(1)rx7r,得 进而可得结果.7r=3, r=
15、4,详解：因为 ，n-n|x|dx=2n0xdx= 212x2|n0=n2=49n=7所以 ， 展开式的通项为(2x-1)n=(2x-1)7 (2x-1)710令 得Tr+1=Cr727r(1)rx7r, 7r=3, r=4,所以， 的展开式中 的系数为 ，(2x-1)n x3 C4723=280故答案为 .280点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的Tr+1=Crnanrbr系数） （2）考查各项系数和和
16、各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13.已知 ，二次三项式 对于一切实数 x 恒成立，又 ，使ab ax2+4x+b0 x0R成立，则 的最小值为_ax20+4x0+b=0 a2+b2a-b【答案】 42【解析】分析： 对于一切实数 恒成立，可得 ；再由 ，使x2+4x+b0 x ab4 x0R成立，可得 ，所以可得 ， 可化为 ，平方后换元，利用ax02+4x0+b=0 ab4 ab=4 a2+b2a-b a2+16a2a4a基本不等式可得结果.详解： 已知 ，二次三项式 对于一切实数 恒成立， ab ax2+4x+b0 x，且 ；a0 =164ab0,ab4再由 ，使 成立，
17、x0R ax02+4x0+b=0可得 ，=164ab0,ab4， ，ab=4a2,b=4a,a2+b2ab=a2+16a2a4a0令 ，则a2+16a2=t8 (a2+b2ab)2=(a2+16a2a4a)2=t2t8=(t8)+16+64t816+16=32（当 时，等号成立） ，所以， 的最小值为 ，t=16 (a2+b2ab)2 32故 的最小值为 ，故答案为 .a2+b2ab 32=42 42点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利11用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，
18、其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 14.已知直角梯形 ABCD 中， ， ， ， ， ， P 是AD/BC BAD=90 ADC=45 AD=2 BC=1腰 CD 上的动点，则 的最小值为_|3PA+BP|【答案】522【解析】分析：以 为 轴， 为原点,过 与 垂直的直线为 轴，建立坐标系，可设 ，可得DA x D D DA y P(t,t)， ，利用二次函数配方法可得结果.3PA+BP=(42t,2t1) |3PA+BP|= (42t)2+(2t1)2
19、详解：以 为 轴， 为原点,过 与 垂直的直线为 轴，建立坐标系，DA x D D DA y由 ， ， ， ， ，AD/BC BAD=90 ADC=45 AD=2 BC=1可得 ，D(0,0),C(2,0),B(2,1),C(1,1)在 上， 可设 ，P CD P(t,t)则 ，PA=(2t,t),BP=(t2,t1)，3PA+BP=(42t,2t1)|3PA+BP|= (42t)2+(2t1)2= 8(t34)2+252，252=522即 的最小值为 ，故答案为 .|3PA+BP|522 522点睛：本题主要考查向量的坐标运算、向量模的坐标表设计以及利用配方法求最值，属于12难题. 若函数为
20、一元二次函数，常采用配方法求函数的最值，其关键在于正确化简为完全平方式，并且一定要先确定其定义域.三：解答题。15.在锐角 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ABCcosAa +cosBb =23sinC3a求角 B 的大小；(1)已知 ， 的面积为 ，求边长 b 的值(2)asinCsinA=4 ABC 63【答案】 （1） ；（2） .B=3 b=27【解析】分析：(1)由 ，利用正弦定理得 ，结合两cosAa +cosBb =23sinC3a sinBcosA+cosBsinA=233sinBsinC角和的正弦公式以及诱导公式可得 ，进而可得结果；（）利用（1）
21、，由已知及sinB=32正弦定理可得 ，结合 的面积为 ，可得 ，由余弦定理可得结果c=4 ABC 63 a=6详解：（1）由已知得 ，bcosA+acosB=233bsinC由正弦定理得 ，sinBcosA+cosBsinA=233sinBsinC ， sin(A+B)=233sinBsinC又在 中， ，ABC sin(A+B)=sinC0 sinB=32所以 0=|mn|m|n| =105又因为二面角 为钝角，E-AF-B所以二面角 的余弦值为 E-AF-B -10516（3）设 DM=DE=BF=(0,-1, 3)=(0,-, 3), (01)则 AM=AD+DM=(- 3,-1,0)
22、+(0,-, 3)=(- 3,-1-, 3)所以 |cos|=|AMn|AM|n| = 235 42+2+4=23015化简得 82+4-1=0解得： =3-14或 -1- 34 (舍 )所以 .DM=3-12点睛：本题主要考查线面垂直的证明以及利用空间向量求二面角与线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18.已知数列 的前 n 项和 满足
23、， 为常数， ，an Sn Sn=a(Sn-an+1) (a a0 a1)求 的通项公式；(1) an设 ，若数列 为等比数列，求 a 的值；(2) bn=an+Sn bn在满足条件 的情形下， ，若数列 的前 n 项和为 ，且对任意的(3) (2) cn=an+1(an+1)(an+1+1) cn Tn满足 ，求实数的取值范围nN* Tnb0) F1(-c,0) F2(c,0)(c0) E(a2c,0)线与椭圆相交于 x 轴上方的 A， B 两点，且 F1A=2F2B求椭圆的离心率；(1)求直线 AB 的斜率；(2)(i)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 上有一点 在 的外接圆上，
24、(ii) F2B H(m,n)(m0) AF1C求 的值nm【答案】(1) 离心率 ;(2) , .e=ca=33 k=- 23 nm=225【解析】分析：(1)由 得 ，化为 ，从而可得结果；(2) (i)由(1)可设F1A=2F2B, |EF2EF1|=|F2BF1A|=12 a2c-ca2c+c=12圆的方程可写 ，设直线 AB 的方程为 ，联立，结合点 B 为线段 AE2x2+3y2=6c2 y=k(x-3c)的中点可得 ， ，从而可得结果；(ii)由(i)可知x1=9k2c-2c2+3k2 x2=9k2c+2c2+3k2 x1=0,x2=3c218当 时，得 ，由已知得 ，求出外接圆
25、方程与直线 的方程，联立k=-23 A(0, 2c) C(0,- 2c) F2B可得结果.详解：(1)由 得 ，F1A=2F2B, |EF2EF1|=|F2BF1A|=12从而a2c-ca2c+c=12整理，得 ，a2=3c2故离心率 e=ca=33(2) 解法一：(i)由（I）得 ，所以椭圆的方程可写b2=a2-c2=2c2 2x2+3y2=6c2设直线 AB 的方程为 ，即 .y=k(x-a2c) y=k(x-3c)由已知设 ，则它们的坐标满足方程组A(x1,y1),B(x2,y2) y=k(x-3c)2x2+3y2=6c2 消去 y 整理，得 . (2+3k2)x2-18k2cx+27k
26、2c2-6c2=0依题意， =48c2(1-3k2)0，得 - 331 f(x)当 时，令 ，是否存在区间 ， ，使得函数(3) a=0 F(x)=2f(x)+g(x)+2lnx+2 m,n(1 +)在区间 上的值域为 ？若存在，求实数 k 的取值范围；若不存在，F(x) m,n k(m+2),k(n+2)请说明理由【答案】(1) ;(2) 时， 在 单调增； 时, 在 单调递减，b=0 a=2 f(x) (0,+) 12 f(x) (1,a-1) (0,1),(a-1,+)增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当 时， 取得极大值，也是最大值，x=1e g(x)
27、由 ，可得结果；（2）求出 ，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别g(1e)=1e+b=1e f(x)令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；f(x)0 x f(x) f(x)0 g(x)当 时， ，函数 单调递减.x(1e,+) g(x)1 10故 在 单调递减，在 单调递增。f(x) (a-1,1) (0,a-1),(1,+)若 ,即 ,同理 在 单调递减，在 单调递增a-11 a2 f(x) (1,a-1) (0,1),(a-1,+)（3）由（1）知 ， F(x)=x2-xlnx+2所以 ，令 ，则 对 恒成F(x)=2x-lnx+1 (x)=F(x)=
28、2x-lnx+1 (x)=2-1x0 x(1,+)立，所以 在区间 内单调递增， F(x) (1,+)所以 恒成立，F(x)F(1)=10所以函数 在区间 内单调递增. F(x) (1,+)假设存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域是 ，m,n(1,+) F(x) m,n k(m+2),k(n+2)则 ，F(m)=m2-mlnm+2=k(m+2)F(n)=n2-nlnn+2=k(n+2)问题转化为关于 的方程 在区间 内是否存在两个不相等的实根，x x2-xlnx+2=k(x+2) (1,+)即方程 在区间k=x2-xlnx+2x+2内是否存在两个不相等的实根，(1,+)21令 ， ，则 ，h
29、(x)=x2-xlnx+2x+2 x(1,+) h(x)=x2+3x-4-2lnx(x+2)2设 ， ，则 对恒成立，所以函数 在区间 内单调递增， 故 恒成立，所以 ，所以函数 在区间 内单调递增，所以方程在区间 内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域是.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22
