1、,第1节 变化率与导数、导数的计算,知 识 梳 理,1.函数yf(x)在xx0处的导数,(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的_.相应地，切线方程为_.,斜率,yy0f(x0)(xx0),2.函数yf(x)的导函数,0,3.基本初等函数的导数公式,x1,cos x,sin x,ex,axln a,4.导数的运算法则,若f(x)，g(x)存在，则有： (1)f(x)g(x)_； (2)f(x)g(x) _ ；,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u
2、)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.,微点提醒,1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.,3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)
3、cos x.( ) (3)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ),解析 (1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)sin(x)sin x，则f(x)cos x，(2)错. (3)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(3)错. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修22P19B2改编)曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A.9 B.3 C.9 D.15解析 因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点P(1，12)处的
4、切线方程为y123(x1).令x0，得y9.答案 C,3.(选修22P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_ m/s，加速度a_ m/s2.解析 vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.答案 9.8t6.5 9.8,4.(2019保定质检)已知函数f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于( )A.e2 B.1 C.ln 2 D.e,由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01. 答案 B,5.(2018天津卷)已知函数f(x)exln x
5、，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_.,答案 e,所以f(1)211， 所以在(1，2)处的切线方程为y21(x1)， 即yx1. 答案 yx1,考点一 导数的运算 多维探究 角度1 根据求导法则求函数的导数,【例11】 分别求下列函数的导数：,(1)yexln x；,角度2 抽象函数的导数计算,A.e B.2 C.2 D.e,答案 B,规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.,(2)已知f(x)x22xf(1)
6、，则f(0)_.,(2)f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即f(1)2. f(x)2x4，f(0)4.,考点二 导数的几何意义 多维探究 角度1 求切线方程,【例21】 (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A.y2x B.yxC.y2x D.yx解析 因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以a10，则a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.答案 D,角度2 求切点坐标,(2)函数yex的导函数为yex， 曲线
7、yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.,答案 (1)A (2)(1，1),角度3 求参数的值或取值范围 【例23】 (1)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是( )A.(，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，),解析 (1)由题意知f(x)2在(0，)上有解.,又f(1)1ab，曲线在(1，f(1)处的切线方程为y(1ab)(1a)(x1)，即y(1a)x2ab，,ab178. 答案 (1)B (2)8,规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x
8、0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.,【训练2】 (1)(2018东莞二调)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为( )A.(0，0) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)或(1，1)(2)(2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_.,解析 (1)由f(x)x3ax2，得f(x)3x22ax. 根据题
9、意可得f(x0)1，f(x0)x0，,当x01时，f(x0)1， 当x01时，f(x0)1. 点P的坐标为(1，1)或(1，1).,答案 (1)D (2)y2x,思维升华 1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导. 2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点. 3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.,易错防范,2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.,
