1、第28讲 概率,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一事件的分类,考点一,考点二,考点三,考点四,考点二列举法求等可能事件的概率(高频) 1.概率 一般地,表示一个随机事件A发生可能性大小的数,称为这个事件发生的概率,记为P(A). 2.公式 一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且这些结果发生的可能性相等,其中使事件A发生的结果有m(mn)种,那么P(事件A的概率)= . 3.当事件中包含两个因素时,可用列表法 列举所有的结果;当事件中涉及两个或两个以上因素时,采用树状图法 列举所有的结果.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点三利用频率估计概率 在大量重复试验中,事件A出现的频率稳
2、定在一个常数 附近,我们可以估计事件A发生的概率约为 .,考点一,考点二,考点三,考点四,考点四概率的应用 对于游戏规则是否公平问题,需要计算游戏双方获胜的概率,通过比较概率 的大小进行判断,若概率相等 ,则游戏规则公平 ,否则就不公平.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1 事件的判定 1.(2011安徽,5,4分)从正五边形的五个顶点中,任取四个顶点连成四边形,对于事件M:“这个四边形是等腰梯形”,下列推断正确的是( B ) A.事件M是不可能事件 B.事件M是必然事件,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点2 概率的计算 2.(2016安徽,21,12分)一袋中装有形状大小都相
3、同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数. (1)写出按上述规定得到所有可能的两位数; (2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,解 (1)用列表分析所有可能的结果:所得的两位数为11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88,共16个数; (2)算术平方根大于4且小于7的共6个,分别为17,18,41,44,47,48,则所
4、求概率 .,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,3.(2014安徽,21,12分)如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1,(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少? (2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,解 (1)共有三种等可能的情况,(2)画树状图如右:所有等可能的情况有9种,其中这三根绳子能连接成一根长绳的情况有6种, 8分,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,4.(2013安徽,8,4分)如
5、图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯泡同时发光的概率为( B ),命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,解析 画树状图得:共有6种等可能的结果,能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关K1,K3与K3,K1, 能让两盏灯泡同时发光的概率为 .故选B.,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,5.(2012安徽,8,4分)给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打电话给甲的概率为( B ),解析 第1个打电话给甲、乙、丙(因为次序是任意的)的可能性是相同的,所以第一个打电话给甲的概率是 .故选B.,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点3 概率的应用 6.(2
6、015安徽,19,10分)A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人. (1)求两次传球后,球恰在B手中的概率; (2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,解 (1)画树状图如右:两次传球后,一共有4种等可能的情况出现,而出现球恰在B手中的情况有1种,所以P(球恰在B手中)= ; 5分 (2)画树状图如右:三次传球后,一共有8种等可能的情况出现,而出现球恰在A手中的情况有2种,所以P(球恰在A手中)= . 10分,命题点4,命题点1,命题点2,
7、命题点3,命题点4,命题点4 概率与统计综合,7.(2018安徽,21,12分)“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图,部分信息如下:,扇形统计图 频数直方图,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,(1)本次比赛参赛选手共有 人,扇形统计图中“69.579.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 ; (2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,并说明理由; (3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率
8、.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,解:(1)50,30% (2)不能.由频数分布直方图可得“89.599.5”这一组人数为12人,1250=24%,则79.589.5和89.599.5两组占参赛选手60%,而7879.5,所以他不能获奖. (3)方法1:由题意得树状图如下,由树状图知,共有12种等可能结果,其中恰好选中1男1女的结果,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,方法2:用A,B表示男生,a,b表示女生,则从四名同学中任取2人,共有AB,Aa,Ab,Ba,Bb,ab这6种等可能结果,其中1男1女有,考法1,考法2,考法3,考法4,考法1事件的判断,例1(2018山东淄博)下
9、列语句描述的事件中,是随机事件的为( ) A.水能载舟,亦能覆舟 B.只手遮天,偷天换日 C.瓜熟蒂落,水到渠成 D.心想事成,万事如意 答案:D 解析:选项A是一个正确的事实,所以不属于随机事件;选项B是不可能事件;C选项也是必然事件;D选项是随机事件,故选D. 方法总结本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的概率,必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,随机事件发生的概率大于0小于1.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练1(2018四川凉山)以下四个事件是必然事件的是( B ),A. B. C. D.,解析:显然正确;a0=1,没有强调a0,错误;aman=am+n,错误.与
10、正确.故选择B.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练2(2018湖南长沙)下列说法正确的是( C ) A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上 B.天气预报说“明天的降水概率为40%”,表示明天有40%的时间都在降雨 C.“篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件 D.“a是实数,|a|0”是不可能事件,解析:A.掷硬币是随机事件,不一定几次正面朝上,故A错误;B.表示降雨的可能性为40%,不是降雨时间为40%,故B错误;C.篮球队员投篮一次,可能投中,也可能投不中,故此事件为随机事件,C正确;D.根据绝对值的定义:实数a的绝对值为它本身(a0)或它的相反数(a0),可知
11、“a是实数,|a|0”是必然事件,故D错误.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练3(2018福建A卷)投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则下列事件为随机事件的是( D ) A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1 C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12,解析:事先就知道一定能发生的事件是必然事件,所以两枚骰子向上一面的点数之和大于1是必然事件;事先知道它一定不会发生的事件是不可能事件,所以两枚骰子向上一面的点数之和等于1、两枚骰子向上一面的点数之和大于12是不可能事件;事先知道它有可能发生,
12、也有可能不发生的事件是随机事件,所以两枚骰子向上一面的点数之和等于12是随机事件.故选D.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法2概率的计算,例2(2017江苏盐城)为了弘扬祖国的优秀传统文化,某校组织了一次“诗词大会”,小明和小丽同时参加.其中,有一道必答题是:从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗,其答案为“山重水复疑无路”.(1)小明回答该题时,对第2个字是选“重”还是选“穷”难以抉择.若随机选择其中一个,则小明回答正确的概率是 ; (2)小丽回答该题时,对第2个字是选“重”还是选“穷”、第4个字是选“富”还是选“复”都难以抉择.若分别随机选择,请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确
13、的概率.,考法1,考法2,考法3,考法4,(2)用表格列出所有可能出现的结果:,用树状图列出所有可能出现的结果:由表格(树状图)知,一共有4种可能出现的结果,它们是等可能的,其中正确回答只有1种.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法总结本题小明回答正确的概率是“一步概率”,直接求解;小丽回答正确的概率是“两步概率”,先利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果,然后再求解.对于三步或三步以上的概率计算,考虑树状图法.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练4(2018湖北宜昌)在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字,这个字是“绿”的概率为( B ),考法1,考法2,考法3,考法4,
14、对应练5(2017湖南娄底)在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是 .,解析:闭合开关S1,S2,灯泡L1发光;闭合开关S1,S3,灯泡L1不发光;闭合开关S3,S2,灯泡L1不发光.所以随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是 .,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练6(2018江苏连云港)汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则:两队之间进行五局比赛,其中三局单打,两局双打,五局比赛必须全部打完,赢得三局及以上的队获胜.假如甲、乙两队每局获胜的机会相同. (1)若前四局双方战成22,那么甲队最终获胜的概率是 ; (2)现
15、甲队在前两局比赛中已取得20的领先,那么甲队最终获胜的概率是多少?,考法1,考法2,考法3,考法4,(2)树状图如图所示:如图可知,剩下的三局比赛共有8种等可能的结果,其中甲至少胜一局有7种,考法1,考法2,考法3,考法4,考法3用频率估计概率,例3(2018湖南郴州)某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验,结果如下表所示:,则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 .(精确到0.01) 答案:0.95 解析:观察表格,发现大量重复试验瓷砖耐磨试验的频率逐渐稳定在0.95左右,所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法总结本题考查了用频率估计
16、概率.注意:只有在大量的重复试验中,某事件发生的频率逐渐稳定在某个数字附近,才把这个数字作为该事件的概率的近似值.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练7(2018广西玉林)某小组做“用频率估计概率”的实验时,绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示,则符合这一结果的实验可能是( D )A.抛一枚硬币,出现正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子,出现3点朝上 C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃 D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球,考法1,考法2,考法3,考法4,由题图可知,随着实验次数的增加,频率逐渐稳定在0.30.4之间,由此可知,可能是D选项
17、的实验.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练8(2018辽宁锦州)如图,这是一幅长为3 m,宽为2 m的长方形世界杯宣传画,为测量宣传画上世界杯图案的面积,现将宣传画平铺在地上,向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近,由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为2.4 m2.,解析:用频率去估计概率,当频率稳定在常数0.4附近,即概率稳定在常数0.4附近,用面积法求概率的方法来解答.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练9(2017内蒙古呼和浩特)我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算
18、圆周率.随着时代发展,现在人们依据频率估计概率这一原理,常用随机模拟的方法对圆周率进行估计.用计算机随机产生m个有序数对(x,y)(x,y是实数,且0x1,0y1),它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部.如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个,则据此可估计的值为 .(用含m,n的式子表示),解析: 根据题意,点的分布如图所示:,考法1,考法2,考法3,考法4,考法4概率的应用,例4(2018山东枣庄)现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):,考法
19、1,考法2,考法3,考法4,根据以上信息,解答下列问题: (1)写出a,b,c,d的值,并补全频数分布直方图; (2)本市约有37 800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12 000步(包含12 000步)的教师有多少名? (3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16 000步(包含16 000步)的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20 000步(包含20 000步)以上的概率.,考法1,考法2,考法3,考法4,(2)算出样本平均数,从而估计出总体平均数. (3)画树状图或列表给出所有可能发生的情况数和事件发生的情况数,再利用概率公式求出概率.,考法1,考
20、法2,考法3,考法4,解:(1)a=0.16,b=0.24,c=10,d=2. 补全频数分布直方图如图所示.,37 80030%=11 340(人),即估计日行走步数超过12 000步(包含12 000步)的教师有11 340名.,考法1,考法2,考法3,考法4,(3)设16 000x20 000的三名教师分别为A、B、C,20 000x24 000的两名教师分别为X、Y,考法1,考法2,考法3,考法4,从表中可知,选取日行走步数超过16 000步(包括16 000步)的两名教师与大家分享心得,共有20种情况,其中被选取的两名教师,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练10(2017山东青岛)
21、小华和小军做摸球游戏:A袋装有编号为1,2,3的三个小球,B袋装有编号为4,5,6的三个小球,两袋中的所有小球除编号外都相同.从两个袋子中分别随机摸出一个小球,若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数,则小华胜,否则小军胜,这个游戏对双方公平吗?请说明理由.,考法1,考法2,考法3,考法4,对应练11(2018湖南湘潭)为进一步深化基础教育课程改革,构建符合素质教育要求的学校课程体系,某学校自主开发了A书法、B阅读、C足球、D器乐四门校本选修课程供学生选择,每门课程被选到的机会均等. (1)学生小红计划选修两门课程,请写出所有可能的选法; (2)若学生小明和小刚各计划选修一门课程,则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少?,考法1,考法2,考法3,考法4,解:(1)画树状图为:共有12种等可能的情况. (2)画树状图为:,
