1、1考点强化练 12 二次函数的图象及性质夯实基础1.(2018湖南岳阳)抛物线 y=3(x-2)2+5 的顶点坐标是( )A.(-2,5) B.(-2,-5)C.(2,5) D.(2,-5)答案 C2.(2018上海)下列对二次函数 y=x2-x 的图象的描述,正确的是( )A.开口向下B.对称轴是 y 轴C.经过原点D.在对称轴右侧部分是下降的答案 C解析 二次函数 y=x2-x 的二次项系数为 a=1,开口向上,A 选项错误;对称轴 x=- ,B 选项错误;原b2a=12点(0,0)满足二次函数 y=x2-x 关系式,C 选项正确;二次函数 y=x2-x 的二次项系数为 a=1,开口向上,
2、在对称轴右侧部分是上升的,D 选项错误 .故选 C.3.(2018四川泸州)已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3(其中 x 是自变量),当 x2 时, y 随 x 的增大而增大,且 -2 x1 时, y 的最大值为 9,则 a 的值为( )A.1 或 -2 B.- 2或 2C. D.12答案 D解析 原函数可化为 y=a(x+1)2+3a2-a+3,对称轴为 x=-1,当 x2 时, y 随 x 的增大而增大,所以 a0,抛物线开口向上 .因为 -2 x1 时, y 的最大值为 9,结合对称轴及增减性可得,当 x=1 时, y=9,代入可得, a+2a+3a2+3=9,解得 a1=1,
3、a2=-2.又因为 a0,所以 a=1.故选 D.4.(2018山东德州)如图,函数 y=ax2-2x+1 和 y=ax-a(a 是常数,且 a0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )答案 B解析 当 a0 时,二次函数图象的对称轴在 y 轴的右侧,一次函数的图象上升,删去 A、C;当 a0;a-b+c0,所以 2a+b+c0,故 正b2a确;根据抛物线的轴对称性可知, x=-1 和 x=3 时,对应的函数值相等,因为 x=3 时,函数值 y3a,2a-b+1a b+1a13a,a0,即( -4)2-41k0.解得 k0)在该二次函数图象上,求证: a0.(1)解 a 0, =b 2+4a(
4、a+b)=(b+2a)20, 二次函数与 x 轴有 1 个或 2 个交点 .(2)解 易知图象过(1,0),则不经过 C(1,1),即只可经过 A,B 两点,代入 A,B 坐标得:a-b-(a+b)=4,a+b=1, b= -2,a=3, y= 3x2-2x-1.(3)证明 P (2,m)在二次函数图象上,m= 4a+2b-(a+b)=3a+b=a+b+2a.a+b0, 2a0,即 a0. 导学号 16734112提升能力11.(2018安庆四中模拟)对称轴与 y 轴平行且经过原点 O 的抛物线也经过 A(2,m),B(4,m),若AOB 的面积为 4,则抛物线的解析式为 . 答案 y=- x
5、2+3x 或 y= x2-3x12 12解析 抛物线经过 A(2,m),B(4,m), 对称轴是 x=3,AB=2. AOB 的面积为 4, AB|m|=4,m=4.12当 m=4 时,则 A(2,4),B(4,4),4设抛物线的解析式为: y=a(x-3)2+h,把(0,0)和(2,4)代入得: 9a+h=0,a+h=4,解得 a= -12,h=92, 抛物线的解析式为: y=- (x-3)2+ =- x2+3x;12 92 12当 m=-4 时,则 A(2,-4),B(4,-4),设抛物线的解析式为: y=a(x-3)2+h,把(0,0)和(2, -4)代入得: 9a+h=0,a+h= -
6、4,解得: 抛物线的解析式为: y= (x-3)2- x2-3x;a=12,h= -92, 12 94=12综上所述,抛物线的解析式为: y=- x2+3x 或 y= x2-3x.12 1212.(2017湖北咸宁)如图,直线 y=mx+n 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 A(-1,p),B(4,q)两点,则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是 . 答案 x4解析 由函数图象可知:在点 A 的左侧和点 B 的右侧,一次函数的函数值都大于二次函数的函数值,A (-1,p),B(4,q), 关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是 x4.13.(2018四川德
7、阳)已知函数 y=(x-2)2-2,x 4,(x-6)2-2,x4.使 y=a 成立的 x 的值恰好只有 3 个时, a 的值为 . 答案 2解析 画出函数解析式的图象,要使 y=a 成立的 x 的值恰好只有 3 个,即函数图象与 y=2 这条直线有3 个交点,即 a=2.514.(2018四川广安)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,对称轴为直线 x=1,则下列结论正确的有 . abc 0 方程 ax2+bx+c=0 的两根是 x1=-1,x2=3 2a+b=0 当 x0 时, y 随 x 的增大而减小答案 解析 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下, a 0.x=
8、- 0,b 0,abc1 时, y 随 x 的增大而减小 . 错误 .故正确的有.15.(2018浙江嘉兴)已知,点 M 为二次函数 y=-(x-b)2+4b+1 图象的顶点,直线 y=mx+5 分别交 x 轴,y 轴于点 A、 B.(1)判断顶点 M 是否在直线 y=4x+1 上,并说明理由 .(2)如图 ,若二次函数图象也经过点 A、 B,且 mx+5-(x-b)2+4b+1.根据图象,写出 x 的取值范围 .(3)如图 ,点 A 坐标为(5,0),点 M 在 AOB 内,若点 C ,D 都在二次函数图象上,试比较(14,y1) (34,y2)y1与 y2的大小 .6解 (1) 点 M 坐
9、标是( b,4b+1), 把 x=b 代入 y=4x+1,得 y=4b+1, 点 M 在直线 y=4x+1 上 .(2)如图, 直线 y=mx+5 与 y 轴交于点 B, 点 B 坐标为(0,5) .又 B (0,5)在抛物线上, 5=-(0-b)2+4b+1,解得 b=2. 二次函数的表达式为 y=-(x-2)2+9. 当 y=0 时,得 x1=5,x2=-1.A (5,0).观察图象可得,当 mx+5-(x-b)2+4b+1 时, x 的取值范围为 x5.(3)如图, 直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E,与 y 轴交于点 F,而直线 AB 表达式为 y=-x+5,解方程组y=4x+1,y= -x+5,得 x=45,y=215. 点 E ,F(0,1).(45,215)点 M 在 AOB 内, 0y2;12 当 b= 时, y1=y2;127 当 b 时, y1y2. 导学号 1673411312 45
