1、1第二十六章 反比例函数1.确定反比例函数图象性质的方法:对于反比例函数 y= (k0,k 是常数):k当 k0时,在每个象限内,y 随 x的增大而减小;当 k0;如果在每个象限内,y 随 x的增大而增大,则 kc B.b0,所以 aa-2,因为在每一象限内,y 随 x的增大而减小,所以 b0,k1解不等式,得:k1.而四个选项中只有 B是符合要求的.21.下列各点中,在函数 y=- 图象上的是 ( )8A.(-2,4) B.(2,4)C.(-2,-4) D.(8,1)2.已知矩形的面积为 10,长和宽分别为 x和 y,则 y关于 x的函数图象大致是 ( )3.如图是反比例函数 y= (k为常
2、数,k0)的图象,则一次函数 y=kx-k的图象大致是 ( )k4.如果点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)都在反比例函数 y= (k0)的图象上,那么,y 1,y2,y3的大小关系是 k( )A.y10)的图象上,且 x1=-x2,k则 ( )A.y1y2 D.y1=-y236.已知反比例函数 y= ,当 x=2时,y=3.5(1)求 m的值.(2)当 3x6 时,求函数值 y的取值范围.2.确定反比例函数解析式的方法:确定一个反比例函数,就是要确定反比例函数解析式中的常数 k.其基本步骤是:(1)设出含有待定系数的函数解析式 y= (k0).k(2)把已知条件(自变量与函
3、数的对应值)代入解析式得到关于系数 k的一元一次方程.(3)解方程,求出待定系数 k.(4)将 k的值代回解析式.得到反比例函数解析式.【例】已知反比例函数 y= 的图象经过点 M(2,1).k4(1)求该函数的解析式.(2)当 20),该函数的图象大致a是 ( )2.将油箱注满 k升油后,轿车可行驶的总路程 s(单位:千米)与平均耗油量 a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系 s= (k是常数,k0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油 0.1升的速度行驶,k可行驶 700千米.(1)求该轿车可行驶的总路程 s与平均耗油量 a之间的函数解析式.(2)当平均耗油量为 0.08升
4、/千米时,该轿车可以行驶多少千米?64.确定点在反比例函数图象上的方法:(1)画图法.根据点的坐标在直角坐标系中描出点的位置,直观判断点是否在图象上.(2)计算法.反比例函数 y= (k0,k 是常数)图象上的点的坐标有一条共同的性质,这就是,点的横坐k标与纵坐标的乘积是同一个定值,只要符合这个条件,就说点在这个函数的图象上.【例】下列四个点,在反比例函数 y= 图象上的是 ( )6A.(1,-6) B.(2,4)C.(3,-2) D.(-6,-1)【标准解答】选 D.因为 y= ,6所以常数 k=6,又因为在点(1,-6)中,横坐标与纵坐标的乘积是-6,所以,该点不在 y= 的图象上因此,排
5、除 A;6又因为在点(2,4)中,横坐标与纵坐标的乘积是 8,所以,该点不在 y= 的图象上,因此排除 B;6又因为在点(3,-2)中,横坐标与纵坐标的乘积是-6,所以,该点不在 y= 的图象上,因此排除 C;6又因为在点(-6,-1)中,横坐标与纵坐标的乘积是 6,所以该点在 y= 的图象上.6若反比例函数的图象过点(2,1),则这个函数的图象一定过点 ( )7A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)5.与双曲线有关的几何图形的面积:利用反比例函数的图象与矩形、正方形和直角三角形的面积之间的联系,确定 k的值和图形的面积.(1)利用反比例函数的性质求矩形的面积【例
6、1】如图,P(x,y)是反比例函数 y= 的图象在第一象限分支上的一个动点,PBy 轴于点 B,PAx 轴于3点 A,随着自变量 x的增大,矩形 OAPB的面积 ( )A.不变 B.增大C.减小 D.无法确定【标准解答】选 A.本题考查的是反比例函数中点的坐标的意义以及|k|的意义,根据题意可得 S 矩形AOBP=xy=k=3,始终保持不变.(2)利用反比例函数的性质求三角形的面积【例 2】如图,双曲线 y= 经过点 A(2,2)与点 B(4,m),则AOB 的面积为 ( )kA.2 B.3 C.4 D.5【标准解答】选 B.将图形补成长方形,AOB 的面积为长方形的面积减去三块阴影部分面积,
7、其中左上角与右下角两块面积相等.因为 y= 经过点 A(2,2),所以 k=4.由点 B(4,m),可得 m=1,所以长方形右上角顶点k横坐标为 4,纵坐标与点 A(2,2)的纵坐标相同.所以右上角的三角形的面积为 1,左上角与右下角两块面积均为 2,而长方形的面积为 24=8,所以AOB 的面积为 8-2-2-1=3.8(3)利用三角形的面积确定反比例函数解析式【例 3】双曲线 y1,y2在第一象限的图象如图,y 1= ,过 y1上的任意一点 A,作 x轴的平行线交 y2于 B,交 y4轴于 C,若 =1,则 y2的解析式是 .S【标准解答】因为反比例函数 y1= ,所以 SAOC =2,又
8、 SAOB =1,所以 SCOB =3,所以反比例函数 y2的解析式是4y2= .6答案:y 2=61.如图:点 A在双曲线 y= 上,ABx 轴于 B,且AOB 的面积 =2,则 k= .k S2.如图,反比例函数 y=- 在第二象限的图象上有两点 A,B,它们横坐标分别为-1,-3,直线 AB与 x轴交于点6C,则AOC 的面积为 ( )9A.8 B.10 C.12 D.243.如图,过点 O作直线与双曲线 y= (k0)交于 A,B两点,过点 B作 BCx 轴于点 C,作 BDy 轴于点 D.在kx轴,y 轴上分别取点 E,F,使点 A,E,F在同一条直线上,且 AE=AF.设图中矩形
9、ODBC的面积为 S1,EOF 的面积为 S2,则 S1,S2的数量关系是 ( )A.S1=S2 B.2S1=S2C.3S1=S2 D.4S1=S24.以正方形 ABCD两条对角线的交点 O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,双曲线 y= 经过点 D,3则正方形 ABCD的面积是 ( )A.10 B.11 C.12 D.135.如图,A,B 是双曲线 y= 上的两点,过 A点作 ACx 轴,交 OB于 D点,垂足为 C.若ADO 的面积为 1,D为kOB的中点,则 k的值为 ( )10A. B. C.3 D.443 836.如图,双曲线 y= (k0)经过OAB 的顶点 A和 OB的中点
10、 C,ABx 轴,点 A的坐标是(2,3).k(1)确定 k的值.(2)若点 D(3,m)在双曲线上,求直线 AD的解析式.(3)计算OAB 的面积.11跟踪训练答案解析1.确定反比例函数图象性质的方法:【跟踪训练】1.【解析】选 A.反比例函数 y=- 中,k=-8,8只需把各点横纵坐标相乘,结果为-8 的点在函数图象上,四个选项中只有 A选项符合.2.【解析】选 C.根据题意得:xy=10,y= ,10即 y是 x的反比例函数,图象是双曲线,100,x0,函数图象是位于第一象限的曲线,故选 C.3.【解析】选 B.由反比例函数的图象在一、三象限可知 k0,所以 y=kx-k应过一、三、四象
11、限,故选 B.4.【解析】选 B.反比例函数 y= ,k0,k其图象在一、三象限,在每个象限内,y 随 x的增大而减小.A,B 两点在第三象限,y 20,y 20)的图象上,ky 1= ,y2= ,k1 k2x 1=-x2,y 1= =- ,k1 k2y 1=-y2.6.【解析】(1)把 x=2,y=3代入 y= 得到 5-m=6,m=-1.512(2)当 x=3时,由 y= 得 y=2;6x=6时,由 y= 得 y=1.当 3x6 时,y 随 x的增大而减小,所以函数值 y的范围是 1y2.62.确定反比例函数解析式的方法:【跟踪训练】1.【解析】设反比例函数的解析式是 y= (k0,k 是
12、常数),k把 x=1,y=2代入 y= ,得 2= ,k k1解得 k=2,所以反比例函数解析式是 y= .2答案:y=22.【解析】设经过 C点的反比例函数的解析式是 y= (k0),设 C(x,y).k四边形 OABC是平行四边形,BCOA,BC=OA;A(4,0),B(3,3),点 C的纵坐标是 y=3,|3-x|=4(x0,所以只是第一象限的一支,故选择 C.2.【解析】(1)由题意得:a=0.1,s=700,代入反比例函数关系 s= 中,k解得:k=sa=70,所以函数解析式为 s= .70(2)将 a=0.08代入 s= 得:s= = =875千米,70 70 700.08故该轿车
13、可以行驶 875米.4.确定点在反比例函数图象上的方法:【跟踪训练】【解析】选 D.把点的坐标(2,1)代入反比例函数 y= 的解析式,得出 k=2,y= ,再将 4个点的坐标逐一代k 2入反比例函数解析式中进行检验,A,B,C 三个选项均不能满足函数解析式,只有选项 D满足函数解析式,故选择 D.5.与双曲线有关的几何图形的面积:【跟踪训练】1.【标准解答】反比例函数的图象在第二、四象限,k0, =2,S|k|=4,k=-4.答案:-42.【解析】选 C.反比例函数 y=- 在第二象限的图象上有两点 A,B,它们的横坐标分别为-1,-3,6x=-1,y=6;x=-3,y=2,A(-1,6),
14、B(-3,2).14设直线 AB的解析式为 y=kx+b,则 解得-+=6,3+=2. k=2,=8.解得 y=2x+8,y=0 时,x=-4,CO=4,AOC 的面积为 64=12.123.【解析】选 B.设 A点坐标为(m,n),过点 O的直线与双曲线 y= 交于 A,B两点,则 A,B两点关于原点对称,则 B的坐标为(-m,-n);k矩形 OCBD中,易得 OD=-n,OC=m;则 S1=-mn;在 RtEOF 中,AE=AF,故 A为 EF中点,由中位线的性质可得 OF=-2n,OE=2m;则 S2= OFOE=-2mn;12故 2S1=S2.4.【解析】选 C.正方形 ABCD两条对
15、角线的交点 O为坐标原点,可设 D(a,a),双曲线 y= 经过点 D,3a 2=3,a= ,3点 D在第一象限,a= ,3正方形的边长为 2 ,3正方形的面积是(2 )2=12.35.【解析】选 B.过点 B作 BEx 轴于点 E,D 为 OB的中点,CD 是OBE 的中位线,即 CD= BE.12设 A ,则 B ,CD= ,AD= - ,ADO 的面积为 1,(x,) (2,2) k4 kk415 ADOC=1, x=1,解得 k= .故选 B.12 12(4) 836.【解析】(1)将点 A(2,3)代入解析式 y= ,即得 k=6.k(2)将 x=3代入 y= ,得 m=2,所以点 D的坐标是(3,2).设直线 AD的解析式为 y=k2x+b,将点 A(2,3),D(3,2)6代入 y=k2x+b,得 3=22+,2=32+.解得 k2=-1,b=5,所以直线 AD的解析为 y=-x+5.(3)过点 C作 CN垂直于 y轴于点 N,延长 BA交 y轴于点 M,因为 AB平行于 x轴,所以 BM垂直于 y轴,所以BM平行于 CN,所以OCNOBM,因为 C是 OB的中点,所以 = ,因为点 A,C都在双曲线 y=S(12)2上,所以 SOAM =SOCN =3.由 = ,解得 SOAB =9,所以三角形 OAB的面积是 9.6 33+1416
