1、第7讲 对数与对数函数,考试要求 1.对数的概念及其运算性质，换底公式及应用(B级要求)；2.对数函数的概念、图象与性质(B级要求)；3.指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数(A级要求).,知 识 梳 理,1.对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaN_；logaabb(a0，且a1).,xlogaN,N,(2)对数的运算法则 如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN)_；,logaMlogaN,nlogaM,lo
2、gaMlogaN,(3)对数的重要公式,logad,3.对数函数的图象与性质,(0，),R,(1，0),y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称.,ylogax,yx,诊 断 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)log2x22log2x.( )(2)函数ylog2(x1)是对数函数.( ),(4)当x1时，若logaxlogbx，则ab.( ) 解析 (1)log2x22log2|x|，故(1)错. (2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错. (4)当x1时
3、logaxlogbx，但a与b的大小不确定，故(4)错. 答案 (1) (2) (3) (4),3.(2018全国卷)已知函数f(x)log2(x2a).若f(3)1，则a_.解析 由f(3)1得log2(32a)1，所以9a2，解得a7.答案 7,4.(2019南通、扬州等七市调研)函数ylg(43xx2)的定义域为_.解析 要使函数ylg(43xx2)有意义，则43xx20，解得4x1，故函数的定义域是(4，1).答案 (4，1),答案 cab,考点一 对数的运算,(2)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则_(填序号). 2x3y5z; 5z2x3y；3y5z2x; 3y2x5z.,解
4、析 (1)由已知得alog2m，blog5m，,(2)令t2x3y5z， x，y，z为正数，t1.,2x5z，3y2x5z.,2x3y.,9253(3)25.,规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.,(2)(2019苏州调研)已知4a2，logax2a，则正实数x_.,考点二 对数函数的图象
5、及应用,【例2】 (1)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y13logax，y22logax和y3logax(a1)的图象上，则实数a的值为_.,解析 (1)由题设可得,(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上截距.,由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点.,规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.对数函数的图象在x轴上方，底数a越大，图象越靠近x轴. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的
6、函数图象问题，利用数形结合法求解.,【训练2】 (1)函数y2log4(1x)的图象大致是_(填序号).,解析 (1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除，；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除.,当a1时，不符合题意，舍去.,考点三 对数函数的性质及应用 角度1 比较大小,(2)若ab0，0cb.,(2)由yxc与ycx的单调性知，不正确； ylogcx是减函数，得logcalogcb，正确；,又ab0，lg alg b，但不能确定lg a，lg b的正负， logac与logbc的大小不能确定. 答案 (1)cab (2),角度2 解不等式,【例32】 求不等式的
7、解集：,解 (1)33x3log32，解集为(3log32，).,角度3 对数型函数的性质,当a0时，x1，符合题意；,解得0x1.故不等式的解集为x|0x1.,(3)易知f(x)在(0，)上单调递减. 故函数f(x)在区间t，t1上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t1).,规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.,【训练3】 (1)设alog32，blog52，clog23，则a，b，c的大小关系是_.(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_.解析 (1)alog32log221，所以c最大.,所以cab.,(2)当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1在区间1，2上恒成立， 则f(x)minloga(82a)1，,若01在区间1，2上恒成立， 则f(x)minloga(8a)1，且82a0.a4，且a4，故不存在.,
