1、考试要求 1.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.能解决一元二次方程根的分布问题；3.能解决二次函数的最值问题.,第2节 二次函数,知 识 梳 理,1.二次函数表达式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0).(2)顶点式：ya(xh)2k(其中a0，顶点坐标为(h，k).(3)零点式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).,2.二次函数yax2bxc的图象和性质,3.二次函数的最值问题二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”“轴动区间定”“轴定区间动”.解决的关键是弄清楚对称轴与区间的
2、关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.设f(x)ax2bxc(a0)，则二次函数f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：,4.一元二次方程根的分布设方程ax2bxc0(a0)的不等两根为x1，x2且x1x2，相应的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是等价条件),表一：(两根与k的大小比较),表二：(根在区间上的分布),若两根有且仅有一根在(m，n)内，则需分三种情况讨论： 当0时，由0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若
3、不在，舍去； 当f(m)0或f(n)0，方程有一根为m或n，可以求出另外一根，从而检验另一根是否在区间(m，n)内； 当f(m)f(n)0时，则两根有且仅有一根在(m，n)内.,基 础 自 测,答案 (1) (2) (3) (4),2.已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)的值是( )A.5 B.5 C.6 D.6解析 由f(1)f(2)0知方程x2pxq0的两根分别为1，2，则p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案 C,3.若方程x2(m2)xm50只有负根，则m的取值范围是( )A.4，) B.(5，4C.5，4 D.(5，2),答案 A,4.已知函数yx22x
4、3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为( )A.0，1 B.1，2 C.(1，2 D.(1，2)解析 画出函数yx22x3的图象(如图)，由题意知1m2.,答案 B,5.已知方程x2(m2)x2m10的较小的实根在0和1之间，则实数m的取值范围是 .解析 令f(x)x2(m2)x2m1.,6.若函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围是 ，且函数f(x)恒过点 .解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x1a，由题意知1a3，a2.由函数的解析式易得，函数f(x)恒过定点(0，2).答案 (，2 (0，2),考点一 二次函数的解析式 【例1】 求下
5、列函数的解析式：(1)(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8；(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x).,解 (1)法一(利用一般式解题)： 设f(x)ax2bxc(a0).,所求二次函数为f(x)4x24x7.,法二(利用顶点式解题)： 设f(x)a(xm)2n(a0). f(2)f(1)，,又根据题意函数有最大值8，n8.,法三(利用零点式解题)： 由已知f(x)10的两根为x12，x21， 故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)， 即f(x)ax2ax2a1.,解
6、得a4， 所求函数的解析式为f(x)4x24x7.,(2)f(2x)f(2x)对xR恒成立， f(x)的对称轴为x2. 又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， f(x)0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)， 又f(x)的图象过点(4，3)，3a3，a1. 所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)， 即f(x)x24x3.,规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下：,【训练1】 若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x) .解析 由f(x)是
7、偶函数知f(x)的图象关于y轴对称，b2，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.答案 2x24,考点二 二次函数的图象与性质 【例2】 已知函数f(x)x22ax3，x4，6. (1)当a2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数； (3)当a1时，求f(|x|)的单调区间. 解 (1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6， f(x)在4，2上单调递减，在2，6上单调递增， f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15， 故f(x)的最大值是35.,(2)由于函数f(x)的图象
8、开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4，6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4， 故a的取值范围是(，64，). (3)由4|x|6，得6x6，当a1时，f(|x|)x22|x|3,其图象如图所示，,f(|x|)在6，6上的单调区间有6，1)，1，0)，0，1)，1，6.,规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用.,【训练2】 (1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是( ) (2)若函数f(x)ax22x3在区间4，6上是单
9、调递增函数，则实数a的取值范围是 .解析 (1)由A，C，D知，f(0)c0，,知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)c0，,(2)由题意可知f(x)2ax20在4，6上恒成立，,考点三 二次函数的最值 【例31】 已知函数f(x)ax22ax1在区间1，2上有最大值4，求实数a的值.解 f(x)a(x1)21a.(1)当a0时，函数f(x)在区间1，2上的值为常数1，不符合题意，舍去；,(3)当a0时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.,【例32】 将例31改为：求函数f(x)x22ax1在区间1，2上的最大值.解 f(x)(xa)21a2，f(x)的图
10、象是开口向上的抛物线，对称轴为xa，,规律方法 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.,【训练3】 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；,当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小
11、值为f(t)t22t2.,考点四 一元二次方程根的分布 多维探究 角度1 两根在同一区间 【例41】 若二次函数yx2mx1的图象与两端点为A(0，3)，B(3，0)的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围.,即y3x(x0，3)，,消去y得x2(m1)x40，,由题意可得，方程在x0，3内有两个不同的实根，令f(x)x2(m1)x4，,角度2 两根在不同区间 【例42】 求实数m的取值范围，使关于x的方程x22(m1)x2m60.(1)一根大于1，另一根小于1；(2)两根，满足0a14；(3)至少有一个正根.解 令f(x)x22(m1)x2m6，,(3)当方程有两个正根时，,解得3m1
12、. 当方程有一个正根一个负根时，f(0)2m60，解得m3. 当方程有一个根为零时，f(0)2m60，解得m3， 此时f(x)x28x，另一根为8，满足题意. 综上可得，实数m的取值范围是(，1).,角度3 在区间(m，n)内有且只有一个实根 【例43】 已知函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.,解 依题意，得,解得m1，经验证，满足题意. 又当m0时，f(x)2x1，它显然有一个为正实数的零点. 综上所述，m的取值范围是(，01.,规律方法 利用二次函数图象解决方程根的分布的一般步骤： (1)设出对应的二次函数； (2)利用二次函数的图象和性质列出等价不等式(组)； (3)解不等式(组)求得参数的范围.,【训练4】 (1)已知二次函数y(m2)x2(2m4)x(3m3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.(2)若关于x的方程x22(m1)x2m60有且只有一根在区间(0，3)内，求实数m的取值范围.解 (1)令f(x)(m2)x2(2m4)x(3m3).由题意可知(m2)f(1)0，,(2)令f(x)x22(m1)x2m6，,f(0)f(3)(2m6)(8m9)0，,f(0)2m60，即m3时，f(x)x28x，另一根为8(0，3)，所以舍去；,
