1、1第二十七章 相似1.三角形相似的证题思路:(1)相交线型常见的有如下四种情形,如图,已知1=B,则由公共角A 得,ADEABC.如下左图,已知1=B,则由公共角A 得,ADCACB,如下右图,已知B=D,则由对顶角1=2 得,ADEABC.(2)旋转型已知BAD=CAE,B=D,则ADEABC,下图为常见的基本图形.2(3)母子型已知ACB=90,ABCD,则CBDABCACD.解决相似三角形问题,关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形.【例 1】已知如图:(1),(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中 AB,CD 交于 O 点,对于各图中的两个三角
2、形而言,下列说法正确的是 ( )A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似【标准解答】选 A.图(1)中已有一组角相等,根据三角形的内角和定理,即可求得ABC 的第三角,由有两角对应相等的三角形相似,即可判定(1)中的两个三角形相似.如图(1),A=35,B=75,C=180-A-B=70,E=75,F=70,B=E,C=F,ABCDEF.图(2)根据图形中的已知条件,即可证得 = ,又由对顶角相等,即可根据对应边成比例且夹角相等的OO三角形相似证得相似.如图(2),OA=4,OD=3,OC=8,OB=6, = ,OOAOC=DOB,AOCDOB.3【例 2】如图, 1=
3、2,添加一个条件使得ADEACB, .【标准解答】1=2,1+BAE=2+BAE,即DAE=CAB.当D=C 或E=B 或 = 时,ADEACB.AA答案:D=C(不唯一)【例 3】如图在ABC 中 D 是 AB 边上一点,连接 CD,要使ADC 与ABC 相似,应添加的条件是 .【标准解答】ABC 和ACD 中,DAC=CAB,若要ADC 与ABC 相似,需添加的条件为:ADC=ACB;ACD=B; = 或 AC2=ABAD.AA答案:ADC=ACB(不唯一)2.添平行线构造相似三角形的方法:(1)相似三角形中,往往碰到要证的问题与三角形相似联系不上,或者说图中根本不存在相似三角形.为此我们
4、通常过某一点作某条线段的平行线,构造出“A”型或“X”型,通过相似三角形转化为线段的比,从而解决问题.【例 4】在图 1 至图 3 中,直线 MN 与线段 AB 相交于点 O,1=2=45.(1)如图 1,若 AO=OB,请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系.(2)将图 1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 2,其中 AO=OB.求证:AC=BD,ACBD.4(3)将图 2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图 3,求 的值.B【标准解答】(1)AO=BD,AOBD.(2)如图,过点 B 作 BECA 交 DO 于 E,ACO=BEO.又AO=OB,AOC=BOE,AOCB
5、OE.AC=BE.又1=45,ACO=BEO=135,DEB=45.2=45,BE=BD,EBD=90.AC=BD.延长 AC 交 DB 的延长线于 F,如图:BEAC,AFD=90.ACBD.(3)如图,过点 B 作 BECA 交 DO 于 E,BEO=ACO.又BOE=AOC,BOEAOC. = .BB又OB=kAO,5由(2)的方法易得 BE=BD. =k.B(2)在添加相关的平行线时,应尽量使所求结论的比例关系快捷地展现在平行线中,且最大限度地保留已知条件,尤其是比例关系在平行线中的简洁展现.(3)在直角三角形或有垂线时,往往作垂线,得到辅助线与已知垂直线段平行.【例 5】如图(1),
6、在直角ABC 中,ACB=90,CDAB,垂足为 D,点 E 在 AC 上,BE 交 CD 于点 G,EFBE 交AB 于点 F,若 AC=mBC,CE=nEA(m,n 为实数).试探究线段 EF 与 EG 的数量关系.(1)如图(2),当 m=1,n=1 时,EF 与 EG 的数量关系是 .证明:(2)如图(3),当 m=1,n 为任意实数时,EF 与 EG 的数量关系是 .证明:(3)如图(1),当 m,n 均为任意实数时,EF 与 EG 的数量关系是 .(写出关系式,不必证明)【标准解答】(1)如图,连接 DE,AC=mBC,CDAB,当 m=1,n=1 时,AD=BD,ACD=45,C
7、D=AD= AB,12AE=nEC,DE=AE=EC= AC,126EDC=45,DEAC,A=45,A=EDG,EFBE,AEF+FED=FED+DEG=90,AEF=DEG,AEFDEG,EF=EG.(2)EF= EG.证明:作 EMAB 于点 M,ENCD 于点 N,1EMCD,AEMACD, = = ,EA1+1即 EM= CD,1+1同理可得,EN= AD,n+1ACB=90,CDAB,tanA= = =1,CB = ,E1又EMAB,ENCD,EMF=ENG=90,EFBE,FEM=GEN,EFMEGN,7 = = ,EE1即 EF= EG.1(3)EF= EG.11.如图,在AB
8、C 中,DEBC, = ,则下列结论中正确的是 ( )A12A. =A12B. =D12C. = 的周 长的周 长 13D. = 的面 积的面 积 132.如图,已知 AB,CD,EF 都与 BD 垂直,垂足分别是 B,D,F,且 AB=1,CD=3,那么 EF 的长是 ( )A. B. C. D.13 23 34 453.如图,下列条件不能判定ADBABC 的是 ( )8A.ABD=ACBB.ADB=ABCC.AB2=ADACD. =AA4.在ABC 中,DEBC,AEEC=23,DE=4,则 BC 等于 ( )A.10 B.8C.9 D.65.如图,已知ABC 中,点 D 在 AC 上,且
9、ABD=C,求证:AB 2=ADAC.6.如图,已知 ABCD,AD 与 BC 相交于点 E,BF 平分ABC 交 AD 于点 F.(1)当 CE= BE 时,线段 CD 与 AB 之间有怎样的数量关系?请写出你的结论并给予证明.12(2)当 AF= AD 时,线段 AB,BC,CD 之间有怎样的数量关系?请写出你的结论并给予证明.1297.如图,四边形 ABCD 中,ACBD 交 BD 于点 E,点 F,M 分别是 AB,BC 的中点,BN 平分ABE 交 AM 于点N,AB=AC=BD,连接 MF,NF.(1)判断BMN 的形状,并证明你的结论.(2)判断MFN 与BDC 之间的关系,并说
10、明理由.8.如图,已知 B,C,E 三点在同一条直线上,ABC 与DCE 都是等边三角形.其中线段 BD 交 AC 于点 G,线段AE 交 CD 于点 F.求证:(1)ACEBCD.(2) = .AA109.如图,ABC 中,CD 是边 AB 上的高,且 = .AC(1)求证:ACDCBD.(2)求ACB 的大小.10.如图,在ABC 中,AB=AC,点 P,D 分别是 BC,AC 边上的点,且APD=B.11(1)求证:ACCD=CPBP.(2)若 AB=10,BC=12,当 PDAB 时,求 BP 的长.3.位似变换平面直角坐标系中的位似变换一般有两种情况:(1)位似变换是以原点为位似中心
11、:相似比为 k,则位似图形对应点坐标的比等于 k 或-k.(2)位似变换的位似中心不在原点:此时抓住对应线段的比等于相似比,再把点的坐标转化为一些线段长度,即向 x 轴、y 轴分别作出垂线段,找到相似三角形,再计算一些长度.(3)两个位似图形的主要特征是:每对位似对应点与位似中心共线;不经过位似中心的对应线段平行,则位似中心就是两对对应点的连线所在直线的交点,有时要分类讨论了.【例 1】已知:A(-4,2),B(-1,-1),以原点 O 为位似中心,相似比为 12,把ABO 缩小,则点 A 的对应点A的坐标为 .【标准解答】因为以原点 O 为位似中心,相似比为 12,所以点 A 的对应点 A的
12、坐标为(-2,1)或(2,-1).答案:(-2,1)或(2,-1)【例 2】在 1313 的网格中,已知ABC 和点 M(1,2).(1)以点 M 为位似中心,相似比为 21,画出ABC 的位似图形ABC.(2)写出ABC的各顶点坐标.12【标准解答】(1)如图:(2)A(3,6),B(5,2),C(11,4).【例 3】如图,ABC 中,A,B 两个顶点在 x 轴的上方,点 C 的坐标是(-1,0).以点 C 为位似中心,在 x 轴的下方作ABC 的位似图形ABC,并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍.设点 B 的对应点 B的横坐标是 a,则点 B 的横坐标是 ( )A.- B.- (a+
13、1)a2 12C.- (a-1) D.- (a+3)12 12【标准解答】选 D.点 C 的坐标是(-1,0).以点 C 为位似中心,在 x 轴的下方作ABC 的位似图形ABC,并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍.点 B 的对应点 B的横坐标是 a,FO=a,CF=a+1,点 B 的横坐标是:- (a+1)-1=- (a+3).故选 D.12 12131.如图,线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(6,6),B(8,2),以原点 O 为位似中心,在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD,则端点 C 的坐标12为 ( )A.(3,3) B.(4,3)C.(3,1) D.(4,
14、1)2.如图,OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形,相似比为 12,OCD=90,CO=CD.若 B(1,0),则点 C 的坐标为 ( )A.(1,2) B.(1,1)C.( , ) D.(2,1)2 23.如图,以点 O 为位似中心,将ABC 放大得到DEF.若 AD=OA,则ABC 与DEF 的面积之比为 ( )A.12 B.14C.15 D.164.如图,正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形,点 O 为位似中心,相似比为 1 ,点 A 的坐标为(0,1),214则点 E 的坐标是 .5.如图,ABC 与DEF 位似,位似中心为点 O,且ABC 的面积等于DEF
15、面积的 ,则 ABDE= .496.如图,在边上为 1 个单位长度的小正方形网格中:(1)画出ABC 向上平移 6 个单位长度,再向右平移 5 个单位长度后的A 1B1C1.(2)以点 B 为位似中心,将ABC 放大为原来的 2 倍,得到A 2B2C2,请在网格中画出A 2B2C2.(3)求CC 1C2的面积.15跟踪训练答案解析2.添平行线构造相似三角形的方法【跟踪训练】1.【解析】选 C.ADDB=12,ADAB=13.DEBC,ADE=B,AED=C,ADEABC,相似比为 .故答案为 C.132.【解析】选 C.AB,CD,EF 都与 BD 垂直,ABCDEF,DEFDAB,BEFBC
16、D, = , = ,EDEB + = + = =1.EEDBBAB=1,CD=3, + =1,E1E3EF= .343.【解析】选 D.在ADB 和ABC 中,A 是它们的公共角,那么当 = 时,才能使ADBABC,不是AA= .AA4.【解析】选 A.DEBC,ADEABC, = . = .AD 22+34BC=10.故选 A.165.【证明】ABD=C,A 是公共角,ABDACB, = ,AAAB 2=ADAC.6.【解析】(1)CE= BE, = ,12 C12又CDAB,ECDEBA, = = .CC12(2)当 AF= AD 时,AB=BC+CD.12证明:取 BD 的中点为 K,连
17、接 FK 交 BC 于 G 点,由中位线定理,得 FKABCD,G 为 BC 的中点,GFB=FBA,又BF 平分ABC,FBA=GBF,GFB=GBF,FG=BG= BC,而 GK= CD,KF= AB,12 12 12KF=FG+GK,即 AB= BC+ CD,12 12 12AB=BC+CD.7.【解析】(1)BMN 是等腰直角三角形.AB=AC,点 M 是 BC 的中点,AMBC,AM 平分BAC.BN 平分ABE,ACBD,17MNB=NAB+ABN= (BAE+ABE)=45.12BMN 是等腰直角三角形.(2)MFNBDC.理由如下:点 F,M 分别是 AB,BC 的中点,FMA
18、C,FM= AC.12AC=BD,FM= BD,即 = .12 F12BMN 是等腰直角三角形.NM=BM= BC,即 = .12 N12 = .FNAMBC,NMF+FMB=90.FMAC,FMBE.CBD+FMB=90.NMF=CBD.MFNBDC.8.【证明】(1)ABC 与CDE 都是等边三角形,AC=BC,CE=CD,ACB=DCE=60,ACB+ACD=DCE+ACD,即ACE=BCD,ACEBCD(SAS).(2)ABC 与CDE 都是等边三角形,AB=AC,CD=ED,ABC=DCE=60, = ,ABDC,AAABG=GDC,BAG=GCD,18ABGCDG, = .AA同理
19、, = .AA = .AA9.【解析】(1)CD 是边 AB 上的高,ADC=CDB=90, = .ACACDCBD.(2)ACDCBD,A=BCD,在ACD 中,ADC=90,A+ACD=90,BCD+ACD=90,即ACB=90.10.【解析】(1)AB=AC,B=C.APD=B,APD=B=C.APC=BAP+B,APC=APD+DPC,BAP=DPC,ABPPCD, = ,BAABCD=CPBP.AB=AC,ACCD=CPBP.(2)PDAB,APD=BAP.APD=C,19BAP=C.B=B,BAPBCA, = .BBAB=10,BC=12, = ,1012B10BP= .2533.
20、位似变换【跟踪训练】1.【解析】选 A.线段 AB 的两个端点坐标分别为 A(6,6),B(8,2),以原点 O 为位似中心,在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD,12端点 C 的坐标为(3,3).2.【解析】选 B.OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形,相似比为 12,OB= OD,12CO=CD,CBOD,B(1,0),OB=CB=1,点 C 的坐标为(1,1).3.【解析】选 B.以点 O 为位似中心,将ABC 放大得到DEF,AD=OA,OAOD=12,ABC 与DEF 的面积之比为:14.4.【解析】正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形,O 为位似中心,相似比为 1 ,OAOD=1 ,2 2点 A 的坐标为(0,1),即 OA=1,20OD= ,2四边形 ODEF 是正方形,DE=OD= .2E 点的坐标为( , ).2 2答案:( , )2 25.【解析】ABC 与DEF 位似,位似中心为点 O,ABCDEF,ABC 的面积:DEF 面积= = ,(A)249ABDE=23.答案:236.【解析】(1)如图所示:(2)如图所示:(3)如图所示:21CC 1C2的面积为 36=9.12
