1、1山东省济南外国语学校 2019 届高三数学 1 月份阶段模拟测试试卷 文（含解析）第 I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数 z 满足 ，则的虚部为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，结合虚部概念得答案【详解】由（1+ i） z4+2 i，得 z ， z 的虚部为1故选： D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.已知集合 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合 A 和 B，利用交集定义能求出 A B【详解】集合 ，A=x|x| 2，
2、B=x|x2-x-2 0 A x| ， B x|x1 或 x2，- 2 x 2 A B x| - 2 x -1故选： C【点睛】本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题23.已知 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）x,yx+y10x3y+30,x2y10 z= x2+y2A. B. C. 1 D. 12 22 2【答案】B【解析】【分析】由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值【详解】由已知得到可行域如图：目标函数 的几何意义是区域内的点到原点距离，所以原点到图中 OP 的距离即为z= x2+y2所求， d ，=12
3、=22所以目标函数 的最小值为： ；z= x2+y222故选： B【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4.若函数 在 R 上为减函数，则函数 的图象可以是( )f(x)=axax(a0且 a1) y=loga(|x|1)A. B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的性质求出 a 的范围，利用对数函数的定义域，结合图象变换判断函数的图象即可【详解】由函数 f（ x） ax a x（ a
4、0 且 a1）在 R 上为减函数，故 0 a1函数 ylog a（| x|1）是偶函数，定义域为 x1 或 x1，函数 ylog a（| x|1）的图象， x1 时是把函数 ylog ax 的图象向右平移 1 个单位得到的，故选： D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题5.已知等差数列 的公差为 成等比数列，则 的前 n 项和 ( )an 2,a2,a3,a6 an Sn=A. B. C. D. n(n2) n(n1) n(n+1) n(n+2)【答案】A【解析】【分析】由等差数列 an的公差为 成等比数列，列出方程求出 a11，由
5、此能求出 an的2,a2,a3,a6前 n 项和 Sn【详解】等差数列 an的公差为 2， a2， a3， a6成等比数列，（ a1+4） 2（ a1+2） （ a1+10） ，解得 a11， an的前 n 项和 Sn n+n2 n n22 n n（ n2） =n(-1)+n(n-1)2 2=-故选： A【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和的求法，考查等比数列、等差数列性质等基础知识，4考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6.对于实数 ，定义一种新运算“ ”： ，其运算原理如下面的程序框图所示，a,b y=ab则 ( )53+24=A. 26 B. 32 C. 40 D. 46【答
6、案】C【解析】【分析】模拟程序的运行，打开程序框图的功能是求 y 的值，由此计算式子=b(a+1) a ba2+b ab 53+24 的值，可得答案【详解】由程序框图知：算法的功能是求 y 的值，=b(a+1) a ba2+b ab 式子 53+245 2+3+4（ 2+1）40故选： C【点睛】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题7.若函数 为奇函数，则 ( )f(x)=log3x-2,x0g(x)， x0,|b0) F1,F2,O，连接 轴于 M 点，若 ，则该椭圆的离心率为( )F1AF2=2 AF2交 y 3|OM|=|OF2|A. B. C.
7、D. 13 33 58 104【答案】D【解析】8【分析】设 AF1 m， AF2 n如图所示，Rt AF1F2Rt OMF2，可得 可得AF1AF2=OMOF2=13m+n2 a， m2+n24 c2， n3 m化简解出即可得出【详解】设 AF1 m， AF2 n如图所示，由题意可得：Rt AF1F2Rt OMF2， AF1AF2=OMOF2=13则 m+n2 a， m2+n24 c2， n3 m化为： m2 ， n29 m26 b2=2b23 6b24 c22b23+ c2，5(a2-c2)3 =化为： ca=104故选： D【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离
8、心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；e=ca只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 a2 c2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)12.函数 在 R 上为偶函数且在 单调递减，若 时，不等式y=f(x) 0,+ x1,3恒成立，则实数 m 的取值范围为( )f(2mxlnx3)2f(3)f(lnx+32mx)A. B. 12e,ln6+66 12e,ln3+66C. D. 1e,ln6+66 1e,ln3+669【答案】B【解析】
9、【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法，结合函数的最值，利用导数求得相应的最大值和最小值，从而求得 m 的范围【详解】函数 f（ x）为偶函数，若不等式 f（2 mx lnx3）2 f（3） f（2 mx+lnx+3）对 x1，3恒成立，等价为 f（2 mx lnx3）2 f（3） f（2 mx lnx3）即 2f（2 mx lnx3）2 f（3）对 x1，3恒成立即 f（2 mx lnx3） f（3）对 x1，3恒成立 f（ x）在0，+）单调递减，32 mx lnx33 对 x1，3恒成立，即 02 mx lnx6 对 x1，3恒成立，即 2m 且 2m 对 x1
10、，3恒成立lnxx 6+lnxx令 g（ x） ，则 g（ x） ，在1， e上递增，在 e，3上递减，则 g（ x）的最大=lnxx =1-lnxx2值为 g（ e） ，=1eh（ x） ，则 h（ x） 0，则函数 h（ x）在1，3上递减，则 h（ x）的最小=6+lnxx =-5-lnxx2值为 h（3） ，=6+ln33则 ，得 ，即 m ，2m1e2m6+ln33 m12em6+ln36 12e 6+ln36故选： B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，函数的导数的应用，利用参数分离法转化为最值问题是解决本题的关键第卷二、填空题13.数列 _.an
11、满 足 an+1= an2an+1,a3=15， 则 a1=【答案】1【解析】10【分析】根据 ，令 n2，可得 an的值，在令 n1，即可求解 a3=15 a1【详解】由题意：足 ，an+1=an2an+1， a3=15令 n2，可得 ，解得： 15= a22a2+1 a2=13令 n1，可得 ，解得： a1113= a12a2+1故答案为：1【点睛】本题考查了递推公式定义和计算，属于基础题14.已知 O 为坐标原点，向量 _OA=(1,2),OB=(2,1),若 2AP=AB， 则 |OP|=【答案】102【解析】【分析】设出 P 的坐标，得到关于 x， y 的方程，解出即可【详解】设 P
12、（ x， y） ，则 （ x+1， y2） ，AP=而 （3，1）AB=若 ，2AP=AB则 2（ x+1）3，2（ y2）1，解得： x ， y ，=12 =32故| | ，OP = 14+94=102故答案为： 102【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是一道基础题15.已知抛物线 的准线为 与圆 相交所得弦长为 ，则y=ax2(a0) l,若 l C： (x3)2+y2=1 3_a=【答案】12【解析】11【分析】利用弦心距、半弦长与半径之间的关系计算即得结论；【详解】抛物线 y ax2（ a0）的准线 l： y ，圆心（3，0）到其距离为 d=-14a.1(32)2=121
13、4a=12a=12故答案为 .12【点睛】本题考查抛物线的性质和圆中垂径定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题16.已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱 为上底面 上的动点，ABCDA1B1C1D1 AA1=1,P A1B1C1D1给出下列四个结论：若 PD=3，则满足条件的 P 点有且只有一个；若 ，则点 P 的轨迹是一段圆弧；PD= 3若 PD平面 ，则 DP 长的最小值为 2；ACB1若 PD平面 ，且 ，则平面 BDP 截正四棱柱 的外接球所得图形ACB1 PD= 3 ABCDA1B1C1D1的面积为 94其中所有正确结论的序号为_【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，求出 D
14、与上底面点的最大值判断；由 ，求得 PD1为定值判断PD= 3；找出满足 PD平面 ACB1的 P 的轨迹，求出 DP 长的最小值判断；由已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断【详解】如图，12正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为 2， ，又侧棱 AA11，B1D1=22 ，则 P 与 B1重合时 PD3，此时 P 点唯一，故正确；DB1= (22)2+12=3 （ 1，3） ， DD11 ，则 ，即点 P 的轨迹是一段圆弧，故 正确；PD= 3 PD1= 2连接 DA1， DC1，可得平面 A1DC1平面 ACB1，则当 P 为 A1C1中点时， DP 有最小值为
15、，故错误；( 2)2+12= 3由知，平面 BDP 即为平面 BDD1B1，平面 BDP 截正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为 ，面积为 ，故正确1222+22+12=32 94正确结论的序号是故答案为：【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 的内角 A，B，C 的对边分别为 ，已知 .ABC a,b,c (a+2c)cosB+bcosA=0（I）求 B；（II）若 的周长为 的面积.b=3,ABC 3+23， 求 ABC【答案】 （） ()
16、B=23 SABC=334【解析】【分析】（）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出 B 的值；（）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果13【详解】 （） ,(a+2c)cosB+bcosA=0，(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0，sin(A+B)+2cosBsinC=0.sin(A+B)=sinC,cosB=-12.00.6826， P(1012 PMN并求出此时 P 点坐标.【答案】 （） （II） 的最小值为 2，x2=2y SPMN P( 2,1)【解析】【分析】（）根据题意可得 x02+（
17、 y0 ） 2 ， |1 |x0| ， x022 py0，即可解得 p1；-p2 =25p24 12 -p2 =12（II）设 P（ x0， y0） ， M（0， b） ， N（0， c） ，且 b c，则直线 PM 的方程可得，由题设知，圆心（0，1）到直线 PM 的距离为 1，把 x0， y0代入化简整理可得（2 y01）b22 y0b y020，同理可得（2 y01） c22 y0c y020，进而可知 b， c 为（2 y01）x22 y0x y020 的两根，根据求根公式，可求得 b c，进而可得 PMN 的面积的表达式，根据均值不等式可得【详解】 （）由题意知： F(0,p2),C
18、(0,1),012,x021设两切线斜率为 ，k1.k2则k1+k2=2x0(y0-1)x02-1,k1k2=y02-2y0x02-1，SPMN=12|(y0-k1x0)-(y0-k2x0)|x0|=12|k1-k2|x02，|k1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2，=4x02(y0-1)2(x02-1)2-4(y02-2y0)x02-1 = 4y02(x02-1)2，|k1-k2|=2y0x02-1则 ， SPMN=2y022y0-1令 ，则2y0-1=t(t0) y0=t+12，f(t)=2(t+12)2t =t2+2t+12t =t2+12t+1而 t2+12t+12t212t+1
19、=2当且仅当 ，即 t=1 时， “=”成立.t2=12t此时， P( 2,1)的最小值为 2，SPMN P( 2,1)【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系直线与圆锥曲线的问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点18问题，垂直问题，对称问题与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向21.已知函数 f(x)=x2+alnx(I)若 ，判断 上的单调性；a=2 f(x)在 (1， +)()求函数 上的最小值；f(x)在 1， e(III)当 时，是否存在正整数 n，使 恒成立？若存在，求出a=1 f(x)exnxx2+x2,
20、对 x(0,+)n 的最大值；若不存在，说明理由【答案】(I)见解析；()见解析； (III)见解析【解析】【分析】（ I）根据 f（ x）的符号得出结论；（ II）讨论 a 的范围，得出 f（ x）在1， e上单调性，根据单调性得出最小值；（ III）化简不等式可得 n+xlnx ，根据两侧函数的单调性得出两函数在极值点处的函数exx值的大小，从而得出 n 的范围【详解】 （）当 时，a=-2 f(x)=2x-2x=2(x2-1)x由于 ，故 ，x(1,+) f(x)0在 单调递增. f(x) (1,+)() f(x)=2x+ax=2x2+ax当 时， 在 上单调递增， a0 f(x)0,f
21、(x) 1,e，fmin(x)=f(1)=1当 时，由 解得 （负值舍去）a0,f(x)，fmin(x)=f(1)=1若 ，即 时 10,h(x) (0,+)故 h(x)h(0)=10即 ex-x0所以当 时， 单调递减，x(0,2) g(x)0,g(x)故 g(x)g(2)=e2-4-4ln24 2.72-4-4ln24 3-4ln24 0即 时， ，对 恒成立，n=2 lnxexx2-2x x(0,+)所以存在正整数 n，且 n 的最大值为 2，满足题意.20【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论、等价转化思想，考查运算求解能力，属于中档题22.在平面直角坐标系
22、 中，直线 l 的参数方程为 (为参数，0 )，在以xOy x=1+tcosy=tsin 0),g(x)=x2+x(I)当 a=1 时，求不等式 的解集；g(x)f(x)()已知 的取值范围f(x)32， 求 a【答案】() 或 . () x |x-3 x1 a22【解析】【分析】（）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可；（）求出 f（ x）的分段函数的形式，通过讨论 a 的范围，求出 f（ x）的最小值即可【详解】 （）当 时，不等式 即 ，a=1 g(x)f(x) x2+x|x+1|+|x-1|当 时， 或x1 x2+x2x,x2-x0,x1 x0此时， ， x1不等式的解集为 或 .() 若 则22解得： 或 ，若 则，综上所述，【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.
