1、1山东省济南外国语学校 2019 届高三数学 1 月份阶段模拟测试试卷 理（含解析）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解出集合 A 和集合 B，根据子集的定义和交并运算检验选项即可得到答案.【详解】由 得 ,由 得 ,则 =R,故选：D.【点睛】本题考查集合的包含关系以及集合的交并运算，属于基础题.2.已知
2、命题 命题 q: ，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D. pq p(q) p(q) (p)q【答案】D【解析】【分析】命题 是假命题，命题 是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.【详解】因为 ，故命题 是假命题，又命题 是真命题，故 为假， 为假， 为假， 为真命题，故选 D.【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：（1） 或 ：一真比真，全假才假；（2） 且 ：全真才真，一假比假；p q p q2（3） ：真假相反.p3.已知 ，则（ ）a=30.4,b=0.43,c=log0.43A. B. C. D. b30=1是定义域上的减函数，y=0.4x01 g(x)0 g(x)当 时
3、，函数 取得最小值，为 .x=1 g(x) g(1)=2设 ，当 时，函数 取得最小值，为 ，h(x)=x22x x=1 h(x) 1若 ，函数 与函数 没有交点；a0 h(x) ag(x)若 ，当 时，函数 和 有一个交点，a0) C2:x23y2b2=1双曲线 的一条渐近线的距离为 1，则 的焦点 F 到其准线的距离为 _.C2 C1【答案】4【解析】【分析】求得抛物线的焦点，可得 p2 c，再由焦点到渐近线的距离为 1 可得 b 值，结合 ，c2=a2+b2得到 c，从而得到答案.【详解】抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合,则 ，又C1:y2=2px(p0) C2:x23-y2b2=
4、1 p2=c，c2=3+b2=p24点 F 到双曲线渐近线 的距离为 1，即 ，又 ，解得 ,即(c,0) bx3y=0bc3+b2=1 c2=3+b2 b=1c=2,所以 p=2c=4,故抛物线的焦点到准线的距离 p=4.故答案为：4.【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式16.已知函数 ，且 ，其中 为奇函数， 为偶函数。若关于 x 的f(x)=2x f(x)=g(x)+h(x) g(x) h(x)方程上 在 有解，则实数 a 的取值范围是 _.2ag(x)+h(2x)=0 (0,2【答案】(-,- 2【解析】【分析】先根据已知结合函数
5、的奇偶性求出函数 g（x）与 f（x）的解析式，然后再代入到2ag（x）+h（2x）=0 中，分离参数 a，将问题转化为函数的最值问题来解11【详解】由已知得 g（x）+h（x）2 x，所以 g（x）+h（x）2 x ，又因为 g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，所以g（x）+h（x）2 x ，联立解得 ， h(x)=12(2x+2x) g(x)=12(2x2x)代入等式 2ag（x）+h（2x）=0 得：a（2 x2 x ）+ （2 2x+22x ）=0 在 上有解12 (0,2令 ，则 22x+22x t 2+2t=2x2x(0,154则原式可化为 ， a=t2+22t =12(t+2t)
6、 t(0,154当 t 时，右式取得最大值为- ，即有 a - 2 2 2故答案为：(-,- 2【点睛】本题考查函数奇偶性性质的应用以及方程有解问题转化为函数最值问题，属于基础题.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. ABC 的内角 的对边分别为 ,已知 ABC 的面积为A、B、C a、b、ca23sinA(1)求 ;sinBsinC(2)若 求 ABC 的周长.6cosBcosC=1,a=3,【答案】(1) (2) .sinBsinC=23 3+ 33【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式 ，再利用正弦定理将边化成角，12ac
7、sinB= a23sinA从而得出 的值；（2）由 和 计算出 ，从而求sinBsinC cosBcosC=16 sinBsinC=23 cos(B+C)=12出角 ，根据题设和余弦定理可以求出 和 的值，从而求出 的周长为 .A bc b+c ABC 3+ 33试题解析：（1）由题设得 ，即 .12acsinB= a23sinA 12csinB= a3sinA由正弦定理得 .12sinCsinB=sinA3sinA故 .sinBsinC=23（2）由题设及（1）得 ，即 .cosBcosC-sinBsinC=-12, cos(B+C)=-1212所以 ，故 .B+C=23 A=3由题设得 ，
8、即 .12bcsinA= a23sinA bc=8由余弦定理得 ，即 ，得 .b2+c2-bc=9 (b+c)2-3bc=9 b+c= 33故 的周长为 .ABC 3+ 33点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值” ，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如 ，从而求出范围，或利用余弦定理以及
9、基本y=Asin(x+)+b不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18.已知函数 =“4tan“ xsin（ ）cos（ ） .f(x)2x x3 3（）求 f（x）的定义域与最小正周期；（）讨论 f（x）在区间 上的单调性.4,4【答案】 （） ， ；（）在区间 上单调递增, 在区间 上x|x2+k,kZ 12,4 4，12单调递减.【解析】试题分析：（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数： ，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（）根据（）f(x)=2sin（2x3）的结论，研究函数 f（x）在区间 上单调性.4,4试题解析：（） 的定
10、义域为 .f(x) x|x2+k,kZf(x)=4tanxcosxcos(x3)3=4sinxcos(x3)3=4sinx(12cosx+32sinx)3=2sinxcosx+23sin2x3.=sin2x+ 3(1cos2x)3=sin2x3cos2x=2sin（2x3）所以, 的最小正周期f(x) T=22=.13（）令 函数 的单调递增区间是z=2x3, y=2sinz 2+2k,2+2k,kZ.由 ,得2+2k2x32+2k 12+kx512+k,kZ.设 ，易知 .A=4,4,B=x|12+kx512+k,kZ AB=12,4所以, 当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
11、x4,4 f(x) 12,4 4，12【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为 yAsin（x）k 的形式，再利用三角函数的性质求解三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种
12、三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式【此处有视频，请去附件查看】19.如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 的中点PABCD ABCD PA ABCD E PD（）证明： 平面 ；PB AEC（）设二面角 为 60， =1， = ，求三棱锥 的体积DAEC AP AD 3 EACD【答案】 （1）证明见解析；（2） 38【解析】试题分析：（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质定理找到，设 与 交点为 ，过 的平面 与平面 的交线BD AC O PB PBD AEC就是 ，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（ 2）要求三棱锥 的体
13、积，关OE EACD键是求得底面三角形 的面积（高为 到底面的距离，即为 的一半） ，已知条件是二面ACD E PA14角 大小为 ，为此可以 为 轴建立空间直角坐标系，设 DAEC3 AB,AD,AP x,y,z B(m,0,0)，写出各点坐标，求得平面 和平面 的法向量，由法向量的夹角与二面角相(m0) DAE CAE等或互补可求得 ，从而可求得底面积，体积m试题解析：（1）证明：连 ，设 ，连 ，BD BDAC=O EO 是 的中点， ，E PD EOPB 平面 ， 平面 ，EO AEC PB AEC 平面 ；PB AEC（2）建立如图所示的空间直角坐标系 ，则AxyzD(0, 3,0)
14、,E(0,32,12),AE=(0, 32,12)设 则 B(m,0,0) (m0) C(m, 3,0),AC=(m, 3,0)设 为平面 的法向量，则n1=(x,y,z) AEC取 n1AC=mx+ 3y=0n1AE=32y+12z=0 n1=(3m,1, 3)又 为平面 的一个法向量，n2=(1,0,0) DAE ， |cos|=33+4m2=12 m=32因为 为 的中点，所以三棱锥 的高为 ，E PD EACD12 VEACD=13123212=38考点：线面平行的判定，二面角20.（本小题满分 12 分） 为数列 的前 项和.已知 0， = .Sn an n an a2n+2an4S
15、n+315（）求 的通项公式；an（）设 ,求数列 的前 项和.bn=1anan+1 bn n【答案】 （） （）2n+11614n+6【解析】试题分析：（）先用数列第 项与前 项和的关系求出数列 的递推公式，可以判断数n n an列 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 的通项公式；（）根据an an（）数列 的通项公式，再用拆项消去法求其前 项和.bn n试题解析：（）当 时， ，因为 ，所以 =3，n=1 a21+2a1=4S1+3=4a1+3 an0 a1当 时， = = ，即 ，因n2 a2n+ana2n1an14Sn+34Sn134an (an+an1)(anan1)=2
16、(an+an1)为 ，所以 =2，an0 anan1所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，an所以 = ；an2n+1（）由（）知， = ，bn1(2n+1)(2n+3)=12( 12n+112n+3)所以数列 前 n 项和为 = = .bn b1+b2+bn12(1315)+(1517)+( 12n+112n+3) 1614n+6考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法【此处有视频，请去附件查看】21.已知点 A(0，2)，椭圆 E： (ab0)的离心率为 ， F 是椭圆 E 的右焦点，直x2a2+y2b2=1 32线 AF 的斜率为 ， O 为
17、坐标原点. 233(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点.当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.【答案】 （1） （2） x24+y2=1 y=72x2【解析】试题分析：设出 ，由直线 的斜率为 求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得 ，即F AF233 b16可求椭圆方程；（2）点 轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线 ，联lx l:y=kx2立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得 的范围，再由弦长公式求得 ，由点到直k |PQ|线的距离公式求得 到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得O最值，进一步求出 值，则直线
18、方程可求.k试题解析：（1）设 ，因为直线 的斜率为 ，F(c,0) AF233 A(0,-2)所以 ， . 2c=233 c= 3又ca=32,b2=a2-c2解得 ，a=2,b=1所以椭圆 的方程为 .Ex24+y2=1（2）解：设 P(x1,y1),Q(x2,y2)由题意可设直线的方程为： ，y=kx-2联立 消去 得 ，x24+y2=1，y=kx-2, y (1+4k2)x2-16kx+12=0当 ，所以 ，即 或 时=16(4k2-3)0 k234 k32.x1+x2=16k1+4k2,x1x2= 121+4k2所以 |PQ|= 1+k2(x1+x2)2-4x1x2= 1+k2( 1
19、6k1+4k2)2- 481+4k2=41+k24k2-31+4k2点 到直线的距离O d=2k2+1所以 ，SOPQ=12d|PQ|=44k2-31+4k2设 ，则 ，4k2-3=t0 4k2=t2+3，SOPQ= 4tt2+4=4t+4t424=1当且仅当 ，即 ，t=2 4k2-3=2解得 时取等号，k=7217满足 k234所以 的面积最大时直线的方程为： 或 .OPQ y=72x-2 y=- 72x-2【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙
20、；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.【此处有视频，请去附件查看】22.已知函数 f(x)=(x1)ex12ax2(aR)（1）当 时，求 的单调区间；a1 f(x)（2）当 时， 的图象恒在 的图象上方，求 a 的取值范围.x(0,+) y=f(x) y=ax3+x2(a1)x【答案】()详见解析() (,12【解析】【分析】（1）首先求出 f（x）导数，分类讨论 a 来判断函数单调性；（2）利用转化思想 yf（x）的图象恒在 yax
21、3+x2（a1）x 的图象上方，即 xexaxax 3+x2（a1）x 对 x（0，+）恒成立；即 exax 2x10 对 x（0，+）恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到 a 的范围.【详解】 （1）f（x）xe xaxx（e xa）当 a0 时，e xa0，x（，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；当 0a1 时，令 f（x）0 得 x0 或 xlna（i） 当 0a1 时，lna0，故：x（，lna）时，f（x）0，f（x）单调递增，x（lna，0）时，f（x）0，f（x）单调递减，x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； （ii）
22、 当 a1 时，lna0，f（x）xe xaxx（e x1）0 恒成立，f（x）在18（，+）上单调递增，无减区间； 综上，当 a0 时，f（x）的单调增区间是（0，+） ，单调减区间是（，0） ；当 0a1 时，f（x）的单调增区间是（，lna）和（0，+） ，单调减区间是（lna，0） ；当 a1 时，f（x）的单调增区间是（，+） ，无减区间（2）由（I）知 f（x）xe xax当 x（0，+）时，yf（x）的图象恒在 yax 3+x2（a1）x 的图象上方；即 xexaxax 3+x2（a1）x 对 x（0，+）恒成立；即 e xax 2x10 对 x（0，+）恒成立； 记 g（x）e
23、 xax 2x1（x0） ，g（x）e x2ax1h（x） ；h（x）e x2a；（i） 当 时，h（x） ex2a0 恒成立，g（x）在（ 0，+）上单调递增，a12g（x）g（0）0；g（x）在（0，+）上单调递增；g（x）g（0）0，符合题意； （ii）当 时，令 h（x）0 得 xln（2a） ；x（0，ln（2a） ）时，h（x）0，g（x）在（0，ln（2a） ）上单调递减；x（0，ln（2a） ）时，g（x）g（0）0；g（x）在（0，ln（2a） ）上单调递减，x（0，ln（2a） ）时，g（x）g（0）0，不符合题意； 综上可得 a 的取值范围是 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等题型
