1、1第 1章 导数及其应用对应学生用书 P31一、导数的概念1导数函数 y f(x)在区间( a， b)上有定义， x0( a， b)，当 x无限趋近于 0时，比值 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在点 x x0处可导，称常数 A y x f(x0 x) f(x0) x为函数 f(x)在点 x x0处的导数，记作 f( x0)2导函数若 f(x)对于区间( a， b)内任一点都可导，则 f( x)在各点的导数中随着自变量 x的变化而变化，因而也是自变量 x的函数，该函数称为 f(x)的导函数记作 f( x)二、导数的几何意义 1 f( x0)是函数 y f(x)在 x0处切线的斜率，这是导
2、数的几何意义2求切线方程：常见的类型有两种：一是函数 y f(x)“在点 x x0处的切线方程” ，这种类型中( x0， f(x0)是曲线上的点，其切线方程为y f(x0) f( x0)(x x0)二是函数 y f(x)“过某点的切线方程” ，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为 Q(x1， y1)，则切线方程为 y y1 f( x1)(x x1)，再由切线过点 P(x0， y0)得y0 y1 f( x1)(x0 x1)，又 y1 f(x1)，由上面两个方程可解得 x1， y1的值，即求出了过点 P(x0， y0)的切线方程三、导数的运算1基本初等函数的导数(1)f(x) C，则 f(
3、x)0( C为常数)；(2)f(x) x ，则 f( x) x 1 ( 为常数)；(3)f(x) ax(a0且 a1)，则 f( x) axln a；(4)f(x)log ax(a0，且 a1)，则 f( x) ；1xln a(5)f(x)sin x，则 f( x)cos x；(6)f(x)cos x，则 f( x)sin x.2导数四则运算法则(1)f(x)g(x) f( x)g( x)；2(2)f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x)；(3) (g(x)0)f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)g2(x)四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：
4、(1)求导数 f( x)；(2)解不等式 f( x)0或 f( x)0，当 0 时， f( x)0， f(x)为增函数，依题意得Error!1 k0得 x3；令 g( x)0得 0x3.函数 g(x)在(，0)上为增函数，在(0,3)上为减函数，在(3，)上为增函数函数在 x0 处取得极大值，在 x3 处取得极小值要使 g(x)有三个零点，只需Error!解得 m5.128实数 m的取值范围为 .(12， 5)18(本小题满分 16分)已知函数 f(x) xln x， g(x) x2 ax2(e2.71， aR)(1)判断曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线与曲线 y g(x)的公共
5、点个数；(2)当 x 时，若函数 y f(x) g(x)有两个零点，求 a的取值范围1e， e解：(1) f( x)ln x1，所以斜率 k f(1)1.又 f(1)0，曲线在点(1,0)处的切线方程为 y x1.由Error! x2(1 a)x10.由 (1 a)24 a22 a3 可知：当 0 时，即 a1 或 a3 时，有两个公共点；当 0 时，即 a1 或 a3 时，有一个公共点；当 0 时，即1 a3 时，没有公共点(2)y f(x) g(x) x2 ax2 xln x，由 y0 得 a x ln x.2x令 h(x) x ln x，2x则 h( x) .(x 1)(x 2)x2当
6、x ，由 h( x)0 得 x1.1e， e所以 h(x)在 上单调递减，在1，e上单调递增，1e， 1故 hmin(x) h(1)3.由 h 2e1， h(e)e 1，(1e) 1e 2e比较可知 h h(e)(1e)所以，当 3 ae 1 时，函数 y f(x) g(x)有两个零点2e19(本题满分 16分)某公司将进货单价为 a元( a为常数，3 a6)一件的商品按 x元(7 x10)一件销售，一个月的销售量为(12 x)2万件(1)求该公司经销此种商品一个月的利润 L(x)(万元)与每件商品的售价 x(元)的函数关系式；(2)当每件商品的售价为多少元时， L(x)取得最大值？并求 L(
7、x)的最大值9解：(1) L(x)( x a)(12 x)2(7 x10)(2)L( x)(12 x)2( x a)(2x24)(12 x)(122 a3 x)令 L( x)0 得 x 或 x12.2a 123由 a3,6得 6,82a 123当 6,7，即 3 a 时，2a 123 92L(x)在7,10上是减函数，L(x)的最大值为 L(7)25(7 a)；当 (7,8，即 a6 时，2a 123 92L(x)在 上是增函数，(7，2a 123 )在 ，10上是减函数2a 123L(x)的最大值为 L (2a 123 ) 4(12 a)327综上可知，若 3 a ，则当 x7 时，92L(
8、x)取得最大值，最大值是 25(7 a)；若 a6，则当 x 时， L(x)取得最大值，最大值是 .92 2a 123 4(12 a)32720(本小题满分 16分)(山东高考)设函数 f(x) aln x ，其中 a 为常数x 1x 1(1)若 a0，求曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性解：(1)由题意知 a0 时， f(x) ， x(0，)x 1x 1此时 f( x) .2(x 1)2可得 f(1) ，又 f(1)0，12所以曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 x2 y10.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)f( x)
9、 .ax 2(x 1)2 ax2 (2a 2)x ax(x 1)2当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增10当 a0 时，令 g(x) ax2(2 a2) x a，由于 (2 a2) 24 a24(2 a1)，当 a 时， 0，12f( x) 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减 12(x 1)2x(x 1)2当 a 时， 0， g(x)0，12f( x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当 a0， 0.12设 x1， x2(x1 x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1 ， x2 . (a 1) 2a 1a (a 1) 2a 1a由 x1a 1 2a 1 a 0，a2 2a 1 2a 1 a所以 x(0， x1)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)单调递减，x( x1， x2)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)单调递增，x( x2，)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)单调递减，综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a 时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；12当 a0 时， f(x)在 ，12 (0， (a 1) 2a 1a )上单调递减，( (a 1) 2a 1a ， )在 上单调递增( (a 1) 2a 1a ， (a 1) 2a 1a )11
