1、1课时跟踪检测（八） 直线与椭圆的位置关系（习题课）层级一 学业水平达标1直线 y kx k1 与椭圆 1 的位置关系为( )x29 y24A相切 B相交C相离 D不确定解析：选 B 直线 y kx k1 可变形为 y1 k(x1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆 1 内部，x29 y24所以直线 y kx k1 与椭圆 1 相交，故选 B.x29 y242过椭圆 1( ab0)的焦点 F(c,0)的弦中最短弦长是( )x2a2 y2b2A. B.2b2a 2a2bC. D.2c2a 2c2b解析：选 A 最短弦是过焦点 F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦将点( c， y)的坐标代入
2、椭圆 1，得 y ，故最短弦长是 .x2a2 y2b2 b2a 2b2a3若直线 kx y30 与椭圆 1 有两个公共点，则实数 k 的取值范围是( )x216 y24A.(54， 54)B.54， 54C. ( ， 54) (54， )D. ( ， 54) ( 54， 54)解析：选 C 由Error!得(4 k21) x224 kx200，当 16(16 k25)0，即 k 或 k0，0b0)过点(0,4)，离心率为 .x2a2 y2b2 35(1)求 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标454解：(1)将(0,4)代入 C 的方程得 1， b4.1
3、6b2又 e ，得 ，即 1 ，ca 35 a2 b2a2 925 16a2 925 a5， C 的方程为 1.x225 y216(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y (x3)45 45设直线与 C 的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线方程 y (x3)代入 C 的方程，得 1，45 x225 x 3 225即 x23 x80，解得 x1 x23， AB 的中点坐标 x0 ， y0 (x1 x26) ，x1 x22 32 y1 y22 25 65即中点坐标为 .(32， 65)10.如图，已知椭圆 1( ab0)， F1， F2分别为椭圆的左、x2a2 y2b2
4、右焦点， A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若 F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为 2，且 2 ，求椭圆的方程AF2 F2B 解：(1)若 F1AB90，则 AOF2为等腰直角三角形所以有| OA| OF2|，即 b c.所以 a c， e .2ca 22(2)由题知 A(0， b)， F2(1,0)，设 B(x， y)，由 2 ，解得 x ， y .AF2 F2B 32 b2代入 1，得 1，即 1，x2a2 y2b2 94a2 b24b2 94a2 14解得 a23， b22，所以椭圆方程为 1.x23 y22层级二 应试能力达标1若直线 mx ny
5、4 和圆 O： x2 y24 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 1 的交点个数为( )x29 y245A2 B1C0 D0 或 1解析：选 A 由题意，得 2，所以 m2 n2b0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A， B 两x2a2 y2b2点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x245 y236 x236 y227C. 1 D. 1x227 y218 x218 y29解析：选 D 因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y (x3)，12代入椭圆方程 1 消去 y，x2a2 y2b2
6、得 x2 a2x a2 a2b20，(a24 b2) 32 94所以 AB 的中点的横坐标为 1，即 a22 b2，32a22(a24 b2)又 a2 b2 c2，所以 b c3.所以 E 的方程为 1.x218 y295过点 M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆 C： 1( ab0)相交于 A， B 两点，若12 x2a2 y2b2M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，分别代入椭圆方程相减得 0， x1 x2 x1 x2a2 y1 y2 y1 y2b2根据题意有 x1 x2212， y1 y2212，且 ，y1 y2x1 x2
7、12所以 0，得 a22 b2，所以 a22( a2 c2)，2a2 2b2 ( 12)整理得 a22 c2，所以 ，即 e .ca 22 22答案：226在离心率为 的椭圆 1( ab0)上任取一点 M，过 M 作 MN 垂直 y 轴于点 N，32 x2a2 y2b2若 ，点 P 的轨迹图形的面积为 ，则 a 的值为_MP 12MN 7解析：设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(0， y0)，由条件 可知点 P 是线段 MN 的中点，MP 12MN 故Error! 即Error!由离心率为 ，ca 32可得 4c23 a2，即 4a24 b23 a2，故 a2 b.故椭圆方程为
8、1，x24b2 y2b2把点 M(x0， y0)代入可得 1， 2x 24b2 y2b2即 x2 y2 b2，表示半径为 b 的圆，面积为 b2.故 b1， a2 b2.答案：27在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0， )，(0， )的距离之和等于 4，设3 3点 P 的轨迹为 C.(1)求 C 的方程；(2)设直线 y kx1 与 C 交于 A， B 两点， k 为何值时 ？此时| AB|的值是多OA OB 少解：(1)设 P(x， y)，由椭圆的定义知，点 P 的轨迹 C 是以(0， )，(0， )为焦点，3 3长半轴长为 2 的椭圆，它的短半轴长 b 1.22 3 2故曲线
9、C 的方程为 x21.y24(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error!消去 y，并整理，得( k24) x22 kx30.由根与系数的关系得x1 x2 ， x1x2 .2kk2 4 3k2 4若 ，则 x1x2 y1y20.OA OB 因为 y1y2( kx11)( kx21) k2x1x2 k(x1 x2)1，所以 x1x2 y1y2 13k2 4 3k2k2 4 2k2k2 4 0，所以 k .4k2 1k2 4 12当 k 时， x1 x2 ， x1x2 .12 417 12178所以| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 .54(417)2 4121
10、7 465178在直角坐标平面内，已知点 A(2,0)， B(2,0)， P 是平面内一动点，直线 PA， PB斜率之积为 .34(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 作直线 l 与轨迹 C 交于 E， F 两点，线段 EF 的中点为 M，求直线 MA 的斜(12， 0)率 k 的取值范围解：(1)设 P 点的坐标为( x， y)，依题意，有 (x2)，yx 2 yx 2 34化简并整理，得 1( x2)x24 y23动点 P 的轨迹 C 的方程是 1( x2)x24 y23(2)依题意，直线 l 过点 且斜率不为零，故可设其方程为 x my ，(12， 0) 12联立Error! 消去 x，并整理得 4(3m24) y212 my450， 0 恒成立设 E(x1， y1)， F(x2， y2)， M(x0， y0)，则 y1 y2 ， y0 ，3m3m2 4 y1 y22 3m2 3m2 4 x0 my0 ， k .12 23m2 4 y0x0 2 m4m2 4当 m0 时， k0；当 m0 时， k .14m 4m 4| m| 8，0 ，|4m4m| 4|m| 1|4m 4m| 180| k| ， k 且 k0.18 18 18综合可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是 .18， 189
