1、1课时跟踪训练(十七) 曲线的交点1曲线 x2 xy y23 x4 y40 与 x 轴的交点坐标是_2曲线 x2 y24 与曲线 x2 1 的交点个数为_y293设抛物线 y28 x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_4曲线 y x2 x2 和 y x m 有两个不同的公共点，则实数 m 的范围是_5如果椭圆 1 的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是x236 y29_6已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 4 ，离心率为 .264(1)求椭圆的标准方程；(2)直线 l 与该椭圆交于 M、 N 两点
2、， MN 的中点为 A(2，1)，求直线 l 的方程7已知椭圆 C1与抛物线 C2的焦点均在 x 轴上， C1的中心和 C2的顶点均为原点 O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 2 4 2y 230 4 22(1)求 C1， C2的标准方程；(2)请问是否存在直线 l 满足条件：过 C2的焦点 F；与 C1交于不同两点 M， N 且满足 OM N？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由28已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l： y kx m 与椭圆
3、C 相交于 A， B 两点( A， B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标答 案1解析：当 y0 时，得 x23 x40，解得 x14 或 x21.所以交点坐标为(4,0)和(1,0)答案：(4,0)，(1,0)2解析：由数形结合可知两曲线有 4 个交点答案：43解析：由 y28 x，得准线方程为 x2.则 Q 点坐标为(2,0)设直线y k(x2)由Error!得 k2x2(4 k28) x4 k20.若直线 l 与 y28 x 有公共点，则 (4 k28) 216 k40.解得1 k1.答案：1,14解析：由Error!消去
4、 y，得 x22 x2 m0.若有两个不同的公共点，则 44(2 m)0， m1.答案：(1，)5解析：设直线与椭圆的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2) P(4,2)为 AB 中点， x1 x28， y1 y24.又 A， B 在椭圆上， x 4 y 36， x 4 y 36.两式相减得21 21 2 2(x x )4( y y )0，即( x1 x2)(x1 x2)4( y1 y2)(y1 y2)0， 21 2 21 2y1 y2x1 x2 .即直线 l 的斜率为 .所求直线方程为 x2 y80. x1 x24 y1 y2 12 12答案： x2 y806解：(1)由题意 2a
5、4 ，2 a2 ，又 e ，2ca c22 643 c .3 b2 a2 c2835.故所求椭圆的标准方程为 1.x28 y25(2)点 A 在椭圆内部，过 A 点的直线必与椭圆有两交点当直线斜率不存在时， A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为 y1 k(x2)，它与椭圆的交点分别为 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则Error! 消去 y 得(8k25) x216 k(2k1) x8(2 k1) 250， x1 x2 ，16k 2k 18k2 5又 A(2，1)为弦 MN 的中点， x1 x24，即 4，16k 2k 18k2 5 k ，从而直线方程为 5x4 y140.547
6、解：(1)设抛物线 C2： y22 px(p0)，则有 2 p(x0)，据此验证 4 个点知y2x(3，2 )，(4，4)在抛物线上，易求 C2： y24 x.3设 C1： 1( ab0)，把点(2,0)， 代入得Error!解得Error!x2a2 y2b2 (2， 22) C1的方程为 y21.x24(2)容易验证直线 l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线 l 的斜率存在时，假设存在直线 l 过抛物线焦点 F(1,0)，设其方程为y k(x1)，与 C1的交点坐标为 M(x1， y1)， N(x2， y2)由Error! 消去 y 得，(14 k2)x28 k2x4( k21)0，于是
7、x1 x2 ， x1x2 . 8k21 4k2 4 k2 11 4k2所以 y1y2 k(x11) k(x21) k2x1x2( x1 x2)1 k2 . (4 k2 11 4k2 8k21 4k2 1) 3k21 4k2由 OM N，即O0，得 x1x2 y1y20. 4将代入式得， 0，解得 k2.4 k2 11 4k2 3k21 4k2 k2 41 4k2所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为： y2 x2 或 y2 x2.8解：(1)由题意设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由题意得 a c3， a c1， a2， c1， b23.椭圆的标准方程为 1.x2
8、4 y23(2)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得，(34 k2)x28 mkx4( m23)0， 64 m2k216(34 k2)(m23)0，即 34 k2 m20. x1 x2 ， x1x2 .8mk3 4k2 4 m2 33 4k2y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 mk(x1 x2) m2 .3 m2 4k23 4k2以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)，kADkBD1， 1，化简得y1x1 2 y2x2 2y1y2 x1x22( x1 x2)40，即 40，3 m2 4k23 4k2 4 m2 33 4k2 16mk3 4k2化简得 7m216 mk4 k20，解得 m12 k， m2 ，且满足 34 k2 m20.2k7当 m2 k 时， l： y k(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当 m 时， l： y k ，直线过定点 .2k7 (x 27) (27， 0)综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 .(27， 0)5
