1、- 1 -2018-2019 学年河南省信阳市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合 Mx|x3，Nx|x2，则 MN 等于（ ）A. B. x|0x3 C. x|1x3 D. x|2 x3【答案】D【解析】【分析】直接利用交集运算得答案【详解】 ，MN x|2 x3故选： D【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若函数 y f（ x）的定义域是0，2，则函数 f（2 x）的定义域是（ ）A. 0，1 B. 0，1） C. 0，1（1，4 D. （0
2、，1）【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域可知22 x+12，求出 x 的范围并用区间表示，是所求函数的定义域【详解】函数 f（ x）的定义域为0，2，02 x2，解得：0 x1，函数 y f（2 x）的定义域是0，1，故选： A【点睛】本题的考点是抽象函数的定义域的求法，总结两种类型：已知 f（ x）定义域为D，则 f（ g（ x） ）的定义域是使 g（ x） D 有意义的 x 的集合，已知 f（ g（ x） ）的定义域为 D，则 g（ x）在 D 上的值域，即为 f（ x）定义域3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. 和 B. 和C. 和 D. 和- 2 -【答案】D【解析】
3、对于 A， 和 定义域不相同，不是同一函数；对于 B， 和 定义域不相同，不是同一函数；对于 C， 和 定义域不相同，不是同一函数；对于 D， 和 定义域相同，对应法则相同，是同一函数故选：D点睛：判断两个函数是否为同一函数需要注意三点：第一点抓定义域是否相同；第二点抓对应法则是否相同；第三点抓值域是否相同.一般只需考虑前两个即可.4.定义运算 ，则函数 的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用新的定义求解，首先判断 2x与 1 的大小关系，分类讨论.【详解】 = ，若 x0 可得，2 x1，f（x）=1 2x=1；若 x0 可得，2 x1，f（x）=1 2x=2
4、x.故选 B- 3 -【点睛】本题主要考查函数单调性的性质，对于新定义的题，注意认真理解题意，是一道基础题.5.式子 经过计算可得到（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用被开方数非负，推出 a 的范围，然后求解即可【详解】因为 ，所以 a0，所以 故选： D【点睛】本题考查有理指数幂的运算，属于基本知识的考查6.若函数 y f（ x）的图象与函数 y ax（ a0 且 a1）的图象关于直线 y x 对称，且f（3）1，则 f（ x）（ ）A. log3x B. （ ） x C. D. 3x【答案】A【解析】【分析】由题意可知函数 y f（ x）与函数 y ax（ a0 且
5、 a1）互为反函数，求出 y ax的反函数，再由 f（3）1 求出 a 值得答案【详解】函数 y f（ x）的图象与函数 y ax（ a0 且 a1）的图象关于直线 y x 对称，函数 y f（ x）与函数 y ax（ a0 且 a1）互为反函数，由 y ax（ a0 且 a1） ，得 xlog ay，则 f（ x）log ax，由 f（3）1，得 loga31， a3 f（ x）log 3x- 4 -故选： A【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题7.函数 f（ x） 的奇偶性为（ ）A. 是奇函数 B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既
6、不是奇函数又不是偶函数【答案】A【解析】【分析】先求出定义域为2，0）（0，2，再根据定义域化简解析式，观察可知为奇函数【详解】 f（ x） 的定义域为2，0）（0，2，所以 f（ x） =- =-f(-x) f（ x）为奇函数故选： A【点睛】本题考查了函数的奇偶性，属中档题8.函数 f(x)ln| x1|的图象大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据特殊值，代入检验，排除不合要求的选项即可。【详解】当 x=0 时，f(x)=0，排除 D 选项当 时， 排除 C 选项根据定义域 可排除 B 选项所以 A 选项为正确选项- 5 -所以选 A【点睛】本题考查了根据解析式
7、判断函数的图像，从特殊值、单调性、奇偶性等方面考虑，属于基础题。9.定义在 上的偶函数 在 上递增, ,则满足 的 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意， ，利用定义在 上的偶函数 在 上递增，可得不等式，从而可求 的取值范围【详解】由题意，函数 是定义在 上的偶函数，且 .函数 在 上递增 或 或 的取值范围是故选 B.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关键解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函- 6 -数在对称区间上的单调性（偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数在对称区
8、间上的单调性相同） ，然后再根据单调性列不等式求解.10.设函数 ， ，则函数 的零点个数是（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】函数 的零点个数就是函数 的图象和函数 的图象的交点个数，分别画出函数 的图象和函数 的图象,如图，由图知，它们的交点个数是 ，函数 的零点个数是 ,故选 B.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象
9、，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .11.如图，平面图形中阴影部分面积 S 是 h（h0，H）的函数，则该函数的图象大致是（ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图象可知， S 随着 h 的增加而减少，并且减小的趋势在减小，可得选项.【详解】由图中可知， S 随着 h 的增加而减少，并且减小的趋势在减小，当 时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，故选： D【点睛】本题考查了函数图象的识别，属于基础题.12.若 y f（ x）是奇函数，当
10、x0 时， f（ x）2 x+1，则 （ ）A. 7 B. C. 4 D. 【答案】C【解析】【分析】判断出 0，再利用符号转化为大于零，再代入解析式根据“ ”进行求解【详解】 0，且 y f（ x）是奇函数， f（ ）当 x0 时， f（ x）2 x+1， （ 1）4，故选： C【点睛】本题考查了偶函数的性质和对数运算性质，即根据偶函数对应的关系式，将所求的函数值进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.计算 2log210+log20.04_【答案】2【解析】- 8 -【分析】根据对数运算法则化简即可【详解】2log
11、210+log20.04log 2100+log20.04log 21000.04log 242，故答案为：2【点睛】本题考查对数运算法则，要求能熟练应用公式,属于简单题.14.已知幂函数 的图象过点 ,则 _.【答案】3【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数 的解析式，再求 的值.【详解】设 ，由于图象过点 ,得 ，故答案为 3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.15.已知二次函数 f（ x）2 x24 x，则 f（ x）在1， 上的最大值为_【答案】6【解析】【分析】根据题意，求出二次函数的对称轴，据此分析
12、可得 f（ x）在区间1，1上递减，在1， 上单调递增，计算 f（1）与 f（ ）值，比较即可得答案【详解】根据题意，二次函数 f（ x）2 x24 x，其对称轴 x1，在区间1，1上递减，在1， 上单调递增，且 f（1）6， f（ ） ，则有 f（1） f（ ） ，- 9 -则函数 f（ x）在区间1， 上的最大值 f（1）6.故答案为：6.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析函数 f（ x）在区间上的单调性16.设 a 为常数且 a0， y f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f（ x） x+ 2若 f（ x） a+1 对一切 x0 都成立，则 a 的取值范围为_【答案
13、】【解析】【分析】分 x0 和 x0 两种情况求出表达式，代入 f（ x） a+1 恒成立，利用 f（ x）最值可求得 a范围【详解】当 x0 时， f（ x）0，则 0 a+1，解得 a1；当 x0 时， x0， f（ x） x 2，则 f（ x） f（ x） x 2由函数的图象或增减性可知，当 x |a| a 时，有 f（ x） min2 a+2，所以2 a+2 a+1，解得 a ，又 a0，所以 a1，故答案为：（，1【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知集合 Ax|1x3，
14、Bx|x2（）分别求 AB， （ RB）A；（）已知集合 Cx|1xa，若 CA，求实数 a 的取值集合【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（I）求出集合 A x|1 x3， B x|x2，由此能求出 A B， RB， （ RB） A（）由集合 C x|1 x a，集合 A x|1 x3， CA，得当 C 时， a1；当 C- 10 -时， 由此能求出 a 的取值范围【详解】 （ I）集合 A x|1 x3， B x|x2 A B x|2x3，又 RB x|x2，（ RB） A x|x2 x|1 x3 x|x3（）集合 C x|1 x a，集合 A x|1 x3， CA，当 C时， a1，
15、成立；当 C时， ，解得 1a3综上， a 的取值范围是（，3【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，是基础题18.设函数 y f（ x）的定义域为 R，并且满足 f（ x+y） f（ x）+ f（ y） ， f（ ）1，当x0 时， f（ x）0（1）求 f（0）的值；（2）判断函数的奇偶性；（3）如果 f（ x）+ f（2+ x）2，求 x 的取值范围【答案】 （1）0（2）奇函数 （3）【解析】【分析】1）函数 y f（ x）的定义域为 R，赋值令 x y0，则可求 f（0）的值；（2）令 y x，结合 f（0）的值，可得结论
16、；（3）利用单调性的定义，结合足 f（ x+y） f（ x）+ f（ y） ，可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解【详解】 （1）函数 y f（ x）的定义域为 R，令 x y0，则 f（0） f（0）+ f（0） ， f（0）0；（2）令 y x，得 f（0） f（ x）+ f（ x）0， f（ x） f（ x） ，故函数 f（ x）是 R 上的奇函数；（3） f（ x）是 R 上的增函数，证明如下：- 11 -任取 x1， x2R， x1 x2，则 x2 x10 f（ x2） f（ x1） f（ x2 x1+x1） f（ x1） f（ x2 x1）+ f（ x1）
17、f（ x1） f（ x2 x1）0 f（ x1） f（ x2）故 f（ x）是 R 上的增函数由 f（ ）1， f（ ） f（ ） f（ ）+ f（ ）2那么 f（ x）+ f（2+ x）2，可得 f（2+2 x） f（ ） f（ x）是 R 上的增函数2+2x ，解得：x ，故得 x 的取值范围是（， ）.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键19.若函数 ，（）在给定的平面直角坐标系中画出函数 f（ x）图象；（）利用图象写出函数 f（ x）的值域、单调区间- 12 -【答案】 （）（II）值域为（，1（1，+） ，单调递减区间为1，0
18、，单调递增区间为（，1）和（0，+）.【解析】【分析】（I）利用指数函数和二次函数图象的画法，分段画出 f（ x）的图象即可；（II）由图象看，函数的值域即函数图象的纵向分布，函数的单调区间即函数随自变量增大的变化趋势，由图象读出这些信息即可.【详解】 （）函数图象如图所示；（II）由图象可得函数的值域为（，1（1，+） ，单调递减区间为1，0，单调递增区间为（，1）和（0，+）.【点睛】本题主要考查了分段函数函数图象的画法，函数的值域及函数单调性的直观意义，辨清函数概念和性质是解决本题的关键.20.已知函数 .- 13 -（1）求函数 的值域；（2）若 时，函数 的最小值为-7，求 的值和函
19、数 的最大值.【答案】 （1）(，1)（2）【解析】试题分析：（1）解本小题的关键是利用 ,把原函数转化为关于 t 的二次函数， 的值域问题.（2）在（1）的基础上可确定 在 上是减函数,然后根据 f(x)的最小值为-7,建立关于 a 的方程求出 a 值，从而得到函数 f(x)的最大值.设（1）对称轴 在 上是减函数所以值域为 - 6（2） 由所以 在 上是减函数或 （不合题意舍去）-11当 时 有最大值，即 -13考点：本小题考查了复合函数的值域问题，同时考查了换元法.点评：解决此类复合函数问题，最好采用换元法转化为常见函数来解决.易错点是容易忽视新变量的范围.21.已知幂函数 在 上是增函
20、数，又 .（1）求函数 的解析式；（2）当 时， 的值域为 ，试求 与 的值.【答案】 （1） ；（2） ， .- 14 -【解析】试题分析：（1） 是幂函数，且在 上是增函数，列出方程，求解 的值，即可求解函数 的解析式；（2）由 可解得 ，或 ，得 的定义域是，再利用函数的单调性和值域，列出方程，即可求解 与 的值试题解析： 是幂函数，且在 上是增函数， ，解得 ， ，（2）由 可解得 ，或 ， 的定义域是 ，又 ， 可得 ，设 ， ，且 ，于是 ， ， ， ， ，由 ，有 ，即 在 时减函数，又 的值域是 ， ，得 ，可化为 ，解得 ， ， ，综上， ， 考点：函数的解析式；函数的单调性
21、的应用【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的解析式的求解，函数的单调性的判定及其应用，函数的定义域和函数的值域等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确理解题意，根据题设条件列出等式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题22.某专营店经销某商品，当售价不高于 10 元时，每天能销售 100 件，当价格高于 10 元时，每提高 1 元，销量减少 3 件，若该专营店每日费用支出为 500 元，用 x 表示该商品定价， y表示该专营店一天的净收入（除去每日的费用支出后的收入） （1）把 y 表示成 x 的函数；（2
22、）试确定该商品定价为多少元时，一天的净收入最高？并求出净收入的最大值【答案】 （1）见解析（2）定价为 22 元时，最大值 908 元.【解析】- 15 -【分析】（1）根据条件建立分段函数关系即可；（2）结合一元二次函数的最值性质即可求出函数的最值【详解】 （1）当 0 x10， y100 x500，当 x10，销量为 1003（ x10）3 x+130，此时 y（3 x+130）x5003 x2+130x500，故 y （2）当 0 x10， y100 x500500，当 x10， y3 x2+130x5003（ x ） 2+ （ ） 2500， xN，当 x22 时，函数取得最大值，此时 y322 2+13022500908，综上当商品定价为 22 元时，一天的净收入最高，净收入的最大值为 908【点睛】本题主要考查函数应用问题，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数的性质求最值是解决本题的关键- 16 -
