1、- 1 -凌源市二高中 2018-2019 学年度上学期期末考试高三数学试卷（理科）考试时间：120 分钟 试题分数：150 分 参考公式：球的体积公式： ，其中 为半径.34VR卷一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集 ，集合 ，则 等于 RU 06|,42|2xBxA )(BCARA B C D)2,1()4,3()3,1()4,3(,12.已知 若 为实数，则实数 的值为 ,21,1izimz1zmA2 B C D 23.已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 ba,)(a|,1|babA B C
2、D43634.已知 ，则 等于 1)2sin()2cos(A B C D97979325. 的展开式中的常数项为 43)(xA32 B64 C D32646. “ ”是“直线 与直线 平行”的 2m0)7()1(myx 032myxA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7. 由直线 及曲线 围成的封闭图形的面积为 xy24xyA1 B3 C6 D98. 某四面体的三视图如图所示，其主视图、左视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A B C D3423- 2 -9. 若执行右面的程序框图，则输出的 k值是 A4 B. 5 C. 6 D.
3、 710. 从抛物线 图象上一点 引抛物线准线的垂线，垂xy42P足为 ，且 ，设抛物线的焦点为 ，则M|PF的面积为 FA10 B20 C40 D8011. 实数 满足条件 ，则 的最小值yx,*024Nyxyyxz为 A B C0 D12112. 已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， 成)(xfy),()0,(x0)(xff立（其中 是 的导函数） ，若 ,3(logl),3.0. bfa，则 的大小关系是 )91(log)(l33fccba,A B C Dcbacca卷二填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分）13等差数列 的前 项和为 ，且 ，则公差 等于_. n
4、anS4613ad14已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该渐近线与圆)0,(12bayx )6,3(相交所得的弦长为_.6)2(x15定义运算： ，例如： ， ，则函数)0( xy344)2(的)2()(xf最大值为_. - 3 -16设 是等比数列，公比 ， 为 的前 项和.记 ，na2qnSan*12,7NnaSTn设 为数列 的最大项，则 _. 0nTn0nT三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 （本小题满分 12 分） 已知 分别为 三个内角 所对的边长，且cba,ABCB, .53cosAbBa（）求 的值；tn（）若 ，求 的
5、值.6022sincba18 （本小题满分 12 分） 为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有 50 名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20 人 30 人 50 人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?（）若参与班级宣传的志愿者中有 12 名男生，8
6、名女生，从中选出 2 名志愿者，用 表X示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量 的分布列及数学期望.X19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，侧面 底面PABCDPAB，且 ， ，ABCD90/C， 是 的中点2PE- 4 -（）求证： 平面 ；DEPBC（）求二面角 的余弦值A20 （本小题满分 12 分） 平面直角坐标系 中，经过椭圆 ： 的一个焦点的直线xOyC21(0)xyab与 相交于 两点， 为 的中点，且 斜率是 30xy,MNPOP14()求椭圆 的方程；C()直线 分别与椭圆 和圆 ： 相切于点 ，求 的lD22()xyrbaAB、 |最大值21 （本小题满分 1
7、2 分） 设函数 .xaxf1ln)()若 ，求函数 的单调区间；a)(f()若 ，函数 ，若存在 ，332xag2,1,x使得 成立，求 的取值范围.9|)(|21xf请考生在 22，23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半l21xty x轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，.C24(sinco)40（）写出直线 的极坐标方程；l（）求直线 与曲线 交点的极坐标 (0,)23 （本小题满分 1
8、0 分）选修 45：不等式选讲已知 ， ， ，且 0ab0c1abc- 5 -（I）求证： ；2213abc（II）求证： 高三数学试卷（理科）参考答案一选择题1B 2D 3B 4A 5C 6A 7D 8C 9A 10A 11C 12B二填空题13 14 154 16 5192三解答题17解：（）由正弦定理 ，得CcBbAasinisin ,sin53cosincsi CABA又 ，Co)i(sin可得 (6 分),csi58co52B.4cosinta（）若 ，则 ，得60A3tanA,43B，bcC2cos 2351tan21)tan(21tcosini2 BACa(12 分)18. 解：
9、（）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 50所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有 人，12参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有 人，2 分3故“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率是 4 分235710CP（）女生志愿者人数 0,12X则 2103()95CP12804()95CP- 6 -9 分28014()95CPX 的分布列为 10 分0 1 2P3954895 的数学期望为 12 分X348176()0295EX19. （）证明：侧面 底面 ，且 ， ，ABCD90PABC/ADB所以 ， ， ，如图，以点 为坐标原点，分别以直线 ，PA， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角
10、坐标系. 2 分Bxyz设 ， 是 的中点，则有， ， ，2CE(0,2)(1,0)， ， ，于是 ，(0,2)(,0)(1,)(,1)D， ，PBP因为 ， ，所以 ，DECEPB，且 ，C因此 平面 PB6 分（）由（）可知平面 的一个法向量为AD，设平面 的法向量为(0,2)A1nC， ， ，2xyz(1,2)P(,2)P则 2,DC所以 0,xzy不妨设 ，则 ，12(,1)n于是 ， 10 分16cos,由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角 的余弦值为 12APDE6- 7 -分20. 解：（1）设 ， ，则1(,)Mxy2(,)Ny， ， ， ，214yx1212xab21xya
11、b由此可得 ， ，212124yybaxx2又由题意知， 的右焦点是 ，故 ，C(3,0)23ab因此 ， ，所以椭圆 的方程是 ；（6 分）24a21b214xy（2）设 分别为直线 与椭圆和圆的切点， ，,ABl 0(,)A直线 的方程为： ，代入 得lykxm214xy，22(14)840kx判别式 ，得 ，01k，0214kmx2041kmyx直线 与 相切，所以 ，lr2|1rk即 ，再由得 ， ，22(1)mk224r234rm，220|ABxyr261k221634r245()r因为 ，当 时取等号，所以 ，42422rr2(,)r2()1r因此当 时， 的最大值是 1（12 分
12、）(1,)|AB21. 解：()函数的定义域为 ，),0(- 8 -，222 )1()(11)( xaxaxaxf 令 ，得 .( （2 分）0,1当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单)(f),(,0)1,(a调递减；（3 分）当 ，即 时，函数 在 上单调递增；（4 分）1a2a)(xf),当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调,1(0a)1,(a递减；（5 分）（）当 ，即 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，3a21)(xf,22,(所以函数 在 上的最大值为 （6 分）)(xf,.01af因为函数 在 上单调递增， 所以 的最小值为 ，（7 分）g2,1)(xg0
13、34)21(ag所以 在 上恒成立. （8 分）)(xf,2要存在 ，使得 成立，只需要 ，,1,2 9|)(|21xgf 9)1(2fg即 ，解得 （11 分）934a48a又 ，所以 的取值范围是 （12 分）).,3(22. 解：（）将 消去参数 ，化为普通方程21xtyt 20xy再将 代入 ，得 5cosinx20xcosin分（）联立直线 与曲线 的极坐标方程lC2cosin24(cos)40因为 ，所以可解得 或 ，0,12- 9 -因此 与 交点的极坐标分别为 ， 10 分lC(2,0),23. 证明：（I） ， ， ，2abcb2ac ，2ca ， ，2()1221 ，即 ； 5 分3ab13bc（II） ， ， ，2a22ac ，即 ，22()()abcbcb22bac ， 10 分1221a
