1、1第 10 讲 导数的概念及运算考纲解读 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义2能根据导数的定义求函数 y c(c 为常数)， y x， y x2， y x3， y ， y 的导1x x数3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数，并对导数的几何意义和物理意义做充分理解考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容预测 2020 年高考将会涉及导数的运算及几何意义以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.1变化
2、率与导数(1)平均变化率概念 对于函数 y f(x)， 叫做函数 y f(x)从 x101 f x2 f x1x2 x1 y x到 x2的平均变化率几何意义 函数 y f(x)图象上两点( x1， f(x1)，( x2， f(x2)连线的 斜率02 物理意义若函数 y f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则 就是该质点在 y xx1， x2上的 平均速度03 (2)导数22导数的运算341概念辨析(1)f( x0)与( f(x0)表示的意义相同( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( )(3)曲线 y f(x)在点 P(x0， y0)处的切线与过点 P(x0， y0)的切线相
3、同( )(4)函数 f(x)e x的导数是 f( x)e x.( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为( )(3 x)3 xlog3e；(log 2x) ；(e 1 x)e 1 x； x.1xln 2 ( 1ln x)A1 B2 C3 D4答案 A解析 中，(3 x)3 xln 3，错误；中，(log 2x) ，正确；中，1xln 25(e1 x)e 1 x，错误；中， ，错误，因此求导(1ln x) 0ln x 1x ln x 2 1x ln x 2运算正确的个数为 1.(2)有一机器人的运动方程为 s t2 (t 是时间， s 是位移)，则该机
4、器人在时刻3tt2 时的瞬时速度为( )A. B. C. D.194 174 154 134答案 D解析 s 2 t ，当 t2 时， s22 ，所以该机器人在(t23t) 3t2 322 134t2 时的瞬时速度为 .134(3)函数 f(x) x34 x5 的图象在 x1 处的切线在 x 轴上的截距为( )A10 B5 C1 D37答案 D解析 f(x) x34 x5， f( x)3 x24， f(1)7，即切线的斜率为 7，又 f(1)10，故切点坐标为(1,10)，切线的方程为 y107( x1)，当 y0 时， x ，切线在 x 轴上的截距为 .37 37(4)曲线 y 在 x 处的
5、切线方程为_sinxx 2答案 y x4 2 4解析 因为 y ，(sinxx ) xcosx sinxx2当 x 时， y ， 2 2cos 2 sin 2( 2)2 4 2所以曲线 y 在 x 处的切线方程为sinxx 2y ，sin 2 2 4 2(x 2)整理得 y x .4 2 46题型 导数的运算一1(2019湖南十二校联考)若函数 f(x)ln x f(1) x23 x4，则 f(1)_.答案 8解析 因为 f( x) 2 f(1) x3，1x所以 f(1)12 f(1)3，解得 f(1)2，所以 f(1)1438.2求下列函数的导数：(1)y(2 x21)(3 x1)；(2)y
6、 xsin2 xcos2x；(3)ye xcosx；(4)y .ln 2x 1x解 (1)因为 y(2 x21)(3 x1)6 x32 x23 x1，所以 y18 x24 x3.(2)因为 y xsin2 xcos2x，所以 y x sin4x，12所以 y1 cos4x412cos4 x.12(3)y(e xcosx)(e x)cos xe x(cosx)e xcosxe xsinxe x(cosxsin x)(4)y ln 2x 1x ln 2x 1 x x ln 2x 1x2 2x 1 2x 1 x ln 2x 1x22x2x 1 ln 2x 1x2 .2x 2x 1 ln 2x 1 2
7、x 1 x271谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导2熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导3求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系注意内层函数通常为一次函数(2)由外向内逐层求导如举例说明 2(4)中对 ln (2x1)的求导 求下列函数的导数：(1)yln x ；(2) y
8、 ；1x sinxx(3)y( x22 x1)e 2 x.解 (1) y (ln x) .(ln x1x) (1x) 1x 1x2(2)y .(sinxx ) sinx x sinxxx2 xcosx sinxx2(3)y( x22 x1)e 2 x( x22 x1)(e 2 x)(2 x2)e 2 x( x22 x1)(e 2 x)(3 x2)e2 x.题型 导数的几何意义二角度 1 求切线方程1过点(1，2)且与 y x33 x 相切的直线方程为( )A y2 或 9x4 y10B y2C9 x4 y10D y0 或 9x4 y10答案 A解析 y3 x23，设切点坐标为( x0， x 3
9、 x0)，此时在切点处的斜率为30y| x x 3 x 3，所以切线方程为 y( x 3 x0)(3 x 3)( x x0)，将点(1，2)代0 20 30 20入切线方程，整理得 2x 3 x 10，即( x01) 2(2x01)0，解得 x01 或 x0 ，30 2012分别代入切线方程可得 y2 或 9x4 y10.82(2018全国卷)曲线 y2ln ( x1)在点(0,0)处的切线方程为_答案 y2 x解析 y ， k 2，所以切线方程为 y02( x0)，即 y2 x.2x 1 20 1角度 2 求切点坐标(多维探究)3(2019广州模拟)设函数 f(x) x3 ax2，若曲线 y
10、 f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线方程为 x y0，则点 P 的坐标为( )A(0,0) B(1，1)C(1,1) D(1，1)或(1,1)答案 D解析 f( x)( x3 ax2)3 x22 ax，由题意得 f( x0)1， x0 f(x0)0，所以Error!由知 x00，故可化为 1 x ax00，所以 ax01 x 代入得20 203x 2(1 x )1，即 x 1，20 20 20解得 x01.当 x01 时， a2， f(x0) x ax 1；30 20当 x01 时， a2， f(x0) x ax 1，30 20所以点 P 的坐标为(1，1)或(1,1)条件探究 在举
11、例说明 3 中增加条件“ a0”，若曲线 y f(x)在点 Q(x1， f(x1)处的切线与直线 x4 y0 垂直，求点 Q 的坐标解 由举例说明 3 知 f(x) x32 x2，f( x)3 x24 x.由题意得 f( x1)4，所以 3x 4 x14，21解得 x12 或 x1 ，23f(2)(2) 32(2) 20，f 32 2 ，(23) (23) (23) 3227所以点 Q 的坐标为(2,0)或 .(23， 3227)角度 3 求参数的值(范围)4(2018成都诊断)若曲线 y f(x)ln x ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是( )A. B.(
12、12， ) 12， )C(0，) D0，)答案 D解析 f( x) 2 ax (x0)，根据题意有 f( x)0( x0)恒成立，所以1x 2ax2 1x92ax210( x0)恒成立，即 2a (x0)恒成立，所以 a0，故实数 a 的取值范围为1x20，)5直线 y kx1 与曲线 y x3 ax b 相切于点 A(1,3)，则 2a b_.答案 1解析 由题意知， y x3 ax b 的导数 y3 x2 a，则Error! 由此解得 k2， a1， b3，2 a b1.求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线 y f(x)上一点 P(x0， y0)处的切线方程：点 P(x0， y
13、0)为切点，切线斜率为 k f( x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为 y y0 f( x0)(x x0)如举例说明 2.(2)求“过”曲线 y f(x)上一点 P(x0， y0)的切线方程：切线经过点 P，点 P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条如举例说明 1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法” ，即：设切点 A(x1， y1)，则以 A 为切点的切线方程为 y y1 f( x1)(x x1)；根据题意知点 P(x0， y0)在切线上，点 A(x1， y1)在曲线 y f(x)上，得到方程组Error!求出切点 A(x1， y1)，代入方程 y y1 f( x1
14、)(x x1)，化简即得所求的切线方程 1曲线 f(x)2 xe x与 y 轴的交点为 P，则曲线在点 P 处的切线方程为( )A x y10 B x y10C x y10 D x y10答案 C解析 因为 f(0)20e 01，所以点 P 的坐标为(0，1)因为 f( x)(2 xe x)2e x，所以 f(0)2e 01，所以曲线 y f(x)在点 P 处的切线方程为 y(1)1( x0)，整理得 x y10.故选 C.2若曲线 y x2与曲线 y aln x 在它们的公共点 P(s， t)处具有公共切线，则实数12ea( )A1 B. C1 D212答案 A解析 y ，(12ex2) x
15、ey( aln x) ，ax由题意得Error!10由得 s2 ae 代入得 t .a2代入得 aln s， s ，a2 e所以( )2 ae， a1.e3已知函数 f(x)e 2x2e x ax1，曲线 y f(x)上存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a 的取值范围为( )A(3，) B.(3，72)C. D(0,3)( ，72)答案 B解析 f(x)e 2x2e x ax1 的导函数为 f( x)2e 2x2e x a，由题意可得2e2x2e x a3 的解有两个，即有 2 ，即为 ex 或 ex (ex12) 7 2a4 12 7 2a2 12，即有 72 a0 且 7 2a1，解得
16、3a .7 2a2 72高频考点 导数的几何意义及其应用考点分析 导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也可能出现在解答题中常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线问题求参数；(4)切线的综合应用典例 1 (2018全国卷)设函数 f(x) x3( a1) x2 ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A y2 x B y x C y2 x D y x答案 D解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 a10，解得 a1，所以 f(x) x3 x， f( x)3 x21，所以 f(0)1，所以曲线 y f(x
17、)在点(0,0)处的切线方程为 y x，故选 D.典例 2 设函数 g(x) x3 x23ln x b(bR)，若曲线 y g(x)在 x1 处的切线52过点(0，5)，则 b( )A. B. C. D.72 52 32 12答案 B解析 g( x)3 x25 x ，则 g(1)11，又 g(1) b，故曲线 y g(x)在3x 72x1 处的切线方程为 y 11( x1)，由该切线过点(0，5)，得 b .(72 b) 52典例 3 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)11已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A y x3 x2 x B
18、 y x3 x23 x12 12 12 12C y x3 x D y x3 x22 x14 14 12答案 A解析 设所求函数解析式为 f(x) ax3 bx2 cx d(a0)，则 f( x)3 ax22 bx c(a0)，由题意知Error!解得Error! f(x) x3 x2 x.12 12方法指导 1.一个核心要素,求切线方程的核心要素是切点的横坐标 x0，因为 x0可“一点两代” ，代入到原函数，即可得切点的纵坐标 f x0 ，代入到导函数中可得切线的斜率 f x0 k.一点一斜率即可用点斜式写出切线的方程.2.一个易错点,在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点， “在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论.12
