1、1第 3课时 导数的综合应用题型 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题一1(2018厦门模拟)定义在(0，)上的函数 f(x)满足 f(x) xf( x) ， f(1)1x0，若关于 x的方程| f(x)| a0 有 3个实根，则 a的取值范围是( )A. B(0,1)(0，1e)C. D(1，)(1e， 1)答案 A解析 令 g(x) xf(x)，则 g( x) f(x) xf( x) ，1x g(x)ln x c，即 xf(x)ln x c，又 f(1)0， c0，可得 f(x) .ln xx则 f( x) ，可知当 x(0，e)时， f( x)0，1 ln xx2当 x(e，)时， f
2、( x) 时， f( x)0， f(x)递增；当 x0，且 b0，即 b0，所以 2e x x2 k，ln xx令 h(x) 2e x x2，ln xx则 h( x) 2e2 x 2(e x)，1 ln xx2 1 ln xx2令 h( x)0，解得 xe，故当 x(0，e)时， h( x)0，当 xe时， h( x)0，故函数 g(x)在0，e上是增函数，1eg(x)max g(e)2e 31.故选 D.2.(2018咸阳二模)已知函数 f(x) 2ln x(aR， a0)x2a(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)有最小值，记为 g(a)，关于 a的方程 g(a) a 1
3、 m有三个不同29a的实数根，求实数 m的取值范围解 (1) f( x) (x0)，当 a0时， f( x) ，知 f(x)在(0， )上是递减的，在(2 x a x aax a，)上是递增的a(2)由(1)知， a0， f(x)min f( )1ln a，即 g(a)1ln a，a方程 g(a) a 1 m，即 m aln a (a0)，29a 29a令 F(a) aln a (a0)，29a4则 F( a)1 ，1a 29a2 3a 1 3a 29a2知 F(a)在 和 上是递增的，在 上是递减的，(0，13) (23， ) (13， 23)F(a)极大 F ln 3， F(a)极小 F
4、ln 2ln 3，依题意得 ln 2ln (13) 13 (23) 13 1332.解 (1)由 f(x) aln x bx3 知 f( x) ，a 1 xx当 a0时，函数 f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，)，当 ax20， g(x1)0， g(x2)0，ln x1 bx10，ln x2 bx20，ln x1ln x2 b(x1 x2)，ln x1ln x2 b(x1 x2)，要证 ln x1ln x22，即证 b(x1 x2)2，即 ，即 ln ，设 t 1，上式转化为 ln tln x1 ln x2x1 x2 2x1 x2 x1x22 x1 x2x1 x2 x1x2，
5、 t1.2 t 1t 1设 h(t)ln t ， h( t) 0，2 t 1t 1 t 1 2t t 1 2 h(t)在(1，)上单调递增， h(t)h(1)0，ln t ，ln x1ln x22.2 t 1t 1条件探究 1 举例说明 1中，若 a b1， g(x) f(x)2.求证：对任意 x0，总有g(x)0.证明 若 a b1，则 g(x) f(x)2ln x x32 xln x1，所以 g( x)1 .1x由 g( x)0 得 x1，当 x(0,1)时， g( x)0， g(x)单调递增，所以 g(x)min g(1)0，所以对任意 x0，总有 g(x)0.条件探究 2 利用条件探究
6、 1的结论求证：对于任意正整数 n， (112)(1 122)0.令 x1 ，得 ln 1 恒成立，求实数 a的取值范围解 (1) f( x) ，x2 2x 2aex当 a 时， x22 x2 a0，故 f( x)0，12函数 f(x)在(，)上单调递增，当 a 时，函数 f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间12当 a 时，令 x22 x2 a0 x11 ， x21 ，12 2a 1 2a 1列表如下：由表可知，当 a 时，函数 f(x)的单调递增区间为(，1 )和(112 2a 1，)，单调递减区间为(1 ，1 )2a 1 2a 1 2a 16(2) f(x)1 12 ax2e x
7、，2a x2ex由条件 2ax2e x，对 x1 成立令 g(x) x2e x， h(x) g( x)2 xe x， h( x)2e x，当 x1，)时， h( x)2e x2e1 在1，)上恒成立，只需 2ag(x)max1e， a ，即实数 a的取值范围是 .1 e2 (1 e2， )角度 3 不等式存在性成立问题3.已知函数 f(x) x( a1)ln x (aR)， g(x) x2e x xex.ax 12(1)当 x1，e时，求 f(x)的最小值；(2)当 a ，ae e2 2ee 1所以 a的取值范围为 .(e2 2ee 1， 1)1.利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接
8、将不等式转化成某个函数最值问题若证明 f(x)g(x)恒成立 F(x)min0. F x f x g x (4)任意 x1 M，任意 x2 N， f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max；任意 x1 M，存在x2 N， f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min；存在 x1 M，存在 x2 N， f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min；存在 x1 M，任意 x2 N， f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max.1.(2019渭南模拟)设函数 f(x)( x a)2(3ln x3 a)2，若存在 x0，使 f(x0) ，则实数 a的值为( )910
9、A. B. C. D1110 14 12答案 A解析 分别令 g(x)3ln x， h(x)3 x，设过点 P(x0,3ln x0)的函数 g(x)的切线 l平行于直线 y3 x.8g( x) ，由 3，解得 x01.切点 P(1,0)3x 3x0点 P到直线 y3 x的距离 d .310存在 x01，使 f(x0) ，910过点 P且与直线 y3 x垂直的直线方程为 y (x1)13联立Error! 解得 x ， y .110 310则实数 a .故选 A.1102.(2018兰州双基测试)定义在实数集上的函数 f(x) x2 x，g( x) x32 x m.13(1)求函数 f(x)的图象
10、在 x1 处的切线方程；(2)若 f(x)g( x)对任意的 x4,4恒成立，求实数 m的取值范围解 (1) f(x) x2 x， f(1)2. f( x)2 x1， f(1)3.所求切线方程为 y23( x1)，即 3xy10.(2)令 h(x)g( x) f(x) x3 x23 x m，13则 h( x)( x3)( x1)当4 x1 时， h( x)0；当10.要使 f(x)g( x)恒成立，即 h(x)max0，由上知 h(x)的最大值在 x1 或 x4 处取得，而 h(1) m ， h(4) m ，53 203 h(x)的最大值为 m ，53 m 0，即 m .53 53实数 m的取
11、值范围为 .( ， 533.(2018乐山模拟)已知函数 f(x) x2(a2) xa ln x(aR)(1)求函数 y f(x)的单调区间；(2)当 a1 时，证明：对任意的 x0， f(x)e xx2 x2.解 (1)函数 f(x)的定义域是(0，)，f( x)2 x( a2) ，ax x 1 2x ax9当 a0 时， f( x)0对任意 x(0，)恒成立，所以，函数 f(x)在区间(0，)上单调递增；当 a0时，由 f( x)0得 x ，a2由 f( x)x2 x2，只需证明 exln x20，设 g(x)e xln x2，则问题转化为证明对任意的 x0， g(x)0，令 g( x)e
12、 x 0，得 ex ，1x 1x容易知道该方程有唯一解，不妨设为 x0，则 x0满足 ex0 ，1x0当 x变化时， g( x)和 g(x)变化情况如下表：g(x)min g(x0)e x0ln x02 x02，1x0因为 x00，且 x01，所以 g(x)min2 20，因此不等式得证.1题型 利用导数求解生活中的优化问题三(2018徐州模拟)如图 1是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为 r分米的半圆，及矩形 ABCD组成，其中 AD长为 a分米，如图 2为了美观，要求 r a2 r.已知该首饰盒的长为 4r分米，容积为 4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，
13、下半部分(箱体)的制作费用为每平方分米 1百元，上半部分(箱盖)制作费用为每平方分米 2百元，设该首饰盒的制作费用为 y百元10(1)写出 y关于 r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)当 r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？解 (1)由题意可知，44 r 2 r38 ar2，(12 r2 2ar)所以 a .4 2 r38r2 2 r34r2又因为 r a2 r，得 r .3 28 3 24 所以 y4 r(2a2 r)4 ar2( r4r r2)12 ar8 r210 r212 r 8 r210 r2 (87) r2，2 r34r2 6r定义域为 .3 28 ， 3 24 (2)令 f
14、(r) (87) r2，6r所以 f( r) (1614) r，6r2令 f( r)0，即 (1614) r，解之得 r ，6r2 3 38 7当 r 时， f( r)0，函数 y f(r)为增函数；3 38 7当 r 时， f( r)0，函数 y f(r)为减函数3 38 7又因为 r ，所以函数 y f(r)在 上为增函数，3 28 3 24 3 28 ， 3 24 所以当 r 时，首饰盒制作费用最低3 28 答：当 r 时，该首饰的盒制作费用最低.3 28 111.利用导数解决生活中的实际应用问题的四步骤2利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、
15、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 y 10( x6) 2，其中 3x6， a为常数已知销售价ax 3格为 5元/千克时，每日可售出该商品 11千克(1)求 a的值；(2)若该商品的成本为 3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解 (1)因为当 x5 时， y11，所以 1011，解得 a2.a2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y 10( x6) 2.2x 3所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)( x3) 2x 3 10 x 6 2210( x3)( x6) 2,3x6.则 f( x)10( x6) 22( x3)( x6)30( x4)( x6)于是，当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：12由上表可得，当 x4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值所以当 x4 时，函数 f(x)取得最大值且最大值等于 42.答：当销售价格为 4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
