1、1第 2 讲 函数的单调性与最值考纲解读 1.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值(重点)2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义(重点)3.能够运用函数图象理解和研究函数的性质(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测 2020 年高考将主要考查函数单调性的应用、比较大小、函数最值的求解、根据函数的单调性求参数的取值范围等问题.1函数的单调性(1)增函数、减函数(2)单调区间的定义如果函数 y f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性区间 D 叫做函数 y f(x)的 单调区
2、间06 07 22函数的最值前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件 对于任意的 x I，都有 f(x) M；01 存在 x0 I，使得 f(x0) M02 对于任意 x I，都有 f(x) M；03 存在 x0 I，使得 f(x0) M04 结论 M 为函数 y f(x)的最大值 M 为函数 y f(x)的最小值1概念辨析(1)函数 y 的单调递减区间是(，0)(0，)( )1x(2)设任意 x1， x2 a， b且 x1 x2，那么 f(x)在 a， b上是增函数0(x1 x2)f(x1) f(x2)0.( )f x1 f x2x1 x2(3)函数 y f(x)
3、在0，)上为增函数，则函数 y f(x)的增区间为0，)( )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A y| x| B y3 xC y D y3 x21x答案 A解析 y| x|在(0,1)上是增函数， y3 x， y ， y3 x2在(0,1)上都是减函数1x(2)设定义在1,7上的函数 y f(x)的图象如图所示，则函数 y f(x)的增区间为_答案 1,1，5,7解析 由图可知函数的单调递增区间为1,1和5,7(3)函数 f(x)2 x2， x1,2的最大值为_，最小值为
4、_答案 2 2解析 f(x)2 x2在1,0上是增函数，在0,2上是减函数， f(1)1， f(0)2， f(2)2，所以最大值为 2，最小值为2.3(4)函数 y 在(0，)上是增函数，则 k 的取值范围是_2k 1x答案 ( ， 12)解析 因为函数 y 在(0，)上是增函数，所以 2k10，得 x4 或 x0， x110 时， f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增条件探究 将举例说明 1 中“ f(x)| x2| x”改为“ f(x) x22| x|”，试写出其单调区间
5、解 f(x) x22| x|Error! 作出此函数的图象如右：观察图象可知，此函数的单调递减区间是(，1，(0,1；单调递增区间是(1,0，(1，)1确定函数单调性(区间)的三种常用方法(1)定义法：一般步骤：任取 x1， x2 D，且 x10，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k1 时，(x1x2)f(x)0.判断 f(x)的单调性解 设 x1x20，则 1，当 x1 时， f(x)0，x1x2 f(x1) f(x2) f 0， f(x1)f(x2)，(x1x2)函数 f(x)在区间(0，)上为增函数题型 求函数的最值(值域)二1(2018上饶模拟)函数 f(x) x 在 上的最大
6、值是( )1x 2， 13A. B C2 D232 83答案 A解析 因为函数 f(x) x 在 上是减函数，1x 2， 13所以 f(x)max f(2)2 .12 322函数 y x 的最小值为_x 1答案 34解析 令 t ，则 t0 且 x t21，x 1所以 y t21 t 2 ， t0，(t12) 346所以当 t 时， ymin .12 343函数 y 的值域为_2x2 2x 3x2 x 1答案 (2，103解析 y 2 ，2x2 2x 3x2 x 1 2 x2 x 1 1x2 x 1 1x2 x 1由 xR 得 x2 x1 2 ，(x12) 34 34， )所以 ，1x2 x
7、1 (0， 43所以 y 的值域是 .2x2 2x 3x2 x 1 (2， 1034(2018石家庄模拟)对于任意实数 a， b，定义 mina， bError!设函数 f(x) x3， g(x)log 2x，则函数 h(x)min f(x)， g(x)的最大值是_答案 1解析 解法一：在同一坐标系中，作函数 f(x)， g(x)的图象，依题意， h(x)的图象如图所示易知点 A(2,1)为图象的最高点，因此 h(x)的最大值为 h(2)1.解法二：依题意， h(x)Error!当 02 时， h(x)3 x 是减函数，所以 h(x)在 x2 时取得最大值 h(2)1.条件探究 1 将举例说明
8、 1 中“ f(x) x ”改为“ f(x) x ”，其他条件不变，1x 1x如何解答？解 f(x) x 在2，1上是减函数，在 上是增函数，且 f(2)1x 1， 13 ， f ，所以 f(x)max .52 ( 13) 103 103条件探究 2 将举例说明 2 中“ y x ”改为“ y x ”，其他条件不变，x 1 1 x27如何解答？解 由 1 x20 可得1 x1.可令 xcos ， 0，则 ycos sin sin ， 0，2 ( 4)所以1 y ，故所求函数的最小值是1.2条件探究 3 将举例说明 3 中“ y ”改为“ y ”，其他条件不变，2x2 2x 3x2 x 1 1
9、x21 x2如何解答？解 由 y 得 x2 ，1 x21 x2 1 y1 y由 x20 知 0，解得10，1sin x1 等)确定x函数的值域(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值如举例说明 4.(4)换元法：形如求 y ( cx d)(ac0)的函数的值域或最值，常用代数换元ax b法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解如举例说明 2.(5)分离常数法：形如求 y (ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求cx dax b解如举例说明 3.另外，基本不等式法、导数法求函数值域或
10、最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述 1已知函数 f(x) axlog ax(a0，且 a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则 a 的值为_答案 2解析 因为 f(x) axlog ax(a0 且 a1)在1,2上为单调函数，所以由题意可得f(1) f(2) a a2log a2log a26，所以 a a26，解得 a2 或 a3(舍去)，所以a2.2已知定义在 D4,4上的函数 f(x)Error!对任意 x D，存在 x1， x2 D，使得 f(x1) f(x) f(x2)，则| x1 x2|的最大值8与最小值之和为_答案 9解析 作出函数 f(x)的图象如图所示，由
11、任意 x D， f(x1) f(x) f(x2)知， f(x1)，f(x2)分别为 f(x)的最小值和最大值，由图可知| x1 x2|max8，| x1 x2|min1，所以|x1 x2|的最大值与最小值之和为 9.题型 函数单调性的应用三角度 1 比较函数值的大小1已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2x11 时， f(x2) f(x1)(x2 x1)ab B cba C acb D bac答案 D解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数，所以 a f f ，且 2ac.(12) (52) 52角度 2 解不等式2已
12、知函数 f(x)Error!则不等式 f(1 x2)f(2x)的 x 的取值范围是( )A(0， 1) B(1， 1)2 2C(0， 1) D(1， 1)2 2答案 D解析 作出函数 f(x)的图象如图所示则不等式 f(1 x2)f(2x)等价于Error!或Error!解得1 1， clog 2 log |3x1|1 的解集为( )1212A(2，) B(，2)C(0,1)(1,2) D(，0)(0,2)答案 D解析 由对任意 x112log |3x1|1 等价于 g(log |3x1| g(3)，所以 log |3x1|3log 8，所以121212120|3x1|8，解得 x2 且 x0，故所求不等式的解集是(，0)(0,2)
