1、1第 3 讲 函数的奇偶性与周期性考纲解读 1.了解函数奇偶性的含义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性(重点)考向预测 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点预测2020 年高考会侧重以下三点：函数奇偶性的判断及应用；函数周期性的判断及应用；综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x)01 f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称02 奇函数一般地，如果
2、对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x)03 f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于 原点对称04 2周期性(1)周期函数：对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的01 周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数，那么这02 个 最小正数就叫做 f(x)的最小正周期03 1概念辨析(1)若函数 y f(x a)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a 对称( )(2)函数 f(x)在定义域上满足 f
3、(x a) f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数( )(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )(4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ， n0)也是函数的周期( )2答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)下列函数中为奇函数的是( )A y x2sinx B y x2cosxC y|ln x| D y2 x答案 A解析 A 是奇函数，B 是偶函数，C，D 是非奇非偶函数(2)奇函数 y f(x)的局部图象如图所示，则( )A f(2)0f(4)B f(2)f(4)0D f(2)0 f(2)，所以 f(4)0 f(2)，即 f(2)0f(4
4、)(3)若函数 f(x) ax2 bx1 是定义在1 a,2a上的偶函数，则该函数的最大值为_答案 5解析 由函数 f(x) ax2 bx1 是定义在1 a,2a上的偶函数，可得 b0，且1 a2 a0，解得 a1，所以函数 f(x) x21， x2,2，故该函数的最大值为 5.(4)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4) f(x2)若当 x3,0时，f(x)6 x，则 f(919)_.答案 6解析 因为 f(x4) f(x2)，所以函数 f(x)是周期为 6 的周期函数，所以 f(919) f(61531) f(1)，又因为当 x3,0时， f(x)6 x，且 f(x)是偶函
5、数，所以f(919) f(1) f(1)6.题型 函数的奇偶性一3角度 1 判断函数的奇偶性1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ；3 x2 x2 3(2)f(x)(1 x) ；1 x1 x(3)f(x) ；lg 1 x2|x 2| 2(4)f(x)Error!解 (1)由Error!得 x23，解得 x ，3即函数 f(x)的定义域为 ， ，3 3 f(x) 0.3 x2 x2 3 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由 0 得1 x0，则 f( x)( x)2 x x2 x f(x)；当 x0 时， x0 时， f(x) x3 x1，则当
6、 x0.4因为 f(x)是偶函数，且当 x0 时， f(x) x3 x1，所以 f(x) f( x)( x)3( x)1 x3 x1.(2)f(x) f( x) 2，2x 24x 1 2 x 24 x 1 2 24x4x 1而 ln ( a)ln ( a)ln 10，a2 1 a2 1因此 f(ln ( a) f(ln ( a)2，a2 1 a2 1f(ln ( a)213.a2 1(3)令 u(x)1 ，a2 1ex 1根据函数 f(x) x 为偶函数，(1a2 1ex 1)可知 u(x)1 为奇函数，a2 1ex 1利用 u(0)1 0，a2 1e0 1可得 a21，所以 a1 或 a1.
7、1判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法52函数奇偶性的应用(1)求函数解析式将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式如举例说明 2(1)(2)求参数值在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足 f( x) f(x)或偶函数满足f( x) f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含 0，可以根据 f(0)0 列式求解，若不能确定则不可用此法如举例说明 2(3)注意：利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则 f(x)max f(x)min0”的性质解决有关
8、最值问题 1已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)log 3(x1) a，则f(8)( )A3 a B3 a C2 D2答案 C解析 由题意得 f(0)log 31 a0，所以 a0.所以当 x0 时， f(x)log 3(x1)，又因为 f(x)是奇函数，所以 f(8) f(8)log 392.2设函数 f(x)， g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A f(x)g(x)是偶函数 B| f(x)|g(x)是奇函数C f(x)|g(x)|是奇函数 D| f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析 对于 A，令
9、h(x) f(x)g(x)，则 h( x) f( x)g( x) f(x)g(x) h(x)， h(x)是奇函数，A 错误；对于 B，令 h(x)| f(x)|g(x)，则 h( x)| f( x)|g( x)| f(x)|g(x)| f(x)|g(x) h(x)， h(x)是偶函数，B 错误；6对于 C，令 h(x) f(x)|g(x)|，则 h( x) f( x)|g( x)| f(x)|g(x)|， h(x)是奇函数，C 正确；对于 D，令 h(x)| f(x)g(x)|，则 h( x)| f( x)g( x)| f(x)g(x)| f(x)g(x)| h(x)， h(x)为偶函数，D
10、错误3(2018安徽合肥月考)已知函数 f(x) x3sin x1( xR)，若 f(a)2，则f( a)的值为( )A3 B0 C1 D2答案 B解析 设 F(x) f(x)1 x3sin x，显然 F(x)为奇函数，又 F(a) f(a)11，所以 F( a) f( a)11，从而 f( a)0.故选 B.题型 函数的周期性二1(2019陕西咸阳模拟)已知奇函数 f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，则( )A函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数B函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数C函数 f(x1)是奇函数D函数 f(x2)是偶函数答案 B解析 根据题意，定义在 R 上的函数
11、 f(x)是奇函数，则满足 f( x) f(x)0，即f( x) f(x)，又由 f(1 x) f(1 x)，则 f(x2) f1( x1) f1( x1) f( x) f(x)，所以 f(x4) f(x2) f(x)，故函数的周期为 4.2(2018安徽淮南二模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2) ，当1f xx0,2)时， f(x) xe x，则 f(2018)_.答案 1解析 因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2) ，1f x所以 f(x4) f(x)，1f x 2所以函数 f(x)的周期为 4.当 x0,2)时， f(x) xe x，所以 f(2018) f
12、(50442) f(2) 1.1f 0 10 e0条件探究 1 举例说明 2 中的“ f(x2) ”改为“ f(x1) ”，其1f x 1 f x1 f x他条件不变，求 f(2019)7解 因为 f(x2) 1 f x 11 f x 11 1 f x1 f x1 1 f x1 f x ，1 f x 1 f x1 f x 1 f x 1f x所以 f(x4) f(x)1f x 2故函数 f(x)的周期为 4.所以 f(2019) f(50443) f(3) .1f 1 1e 1条件探究 2 举例说明 2 中的“e”改为“2” ，其他条件不变，求 f(1) f(2) f(3) f(2018)的值
13、解 因为函数 f(x)的周期为 4，且 f(1)123， f(2) 1， f(3)1f 0 120 ， f(4) 1，1f 1 13 1f 2所以 f(1) f(2) f(3) f(2018)504 f(1) f(2) f(3) f(4) f(1) f(2)504 31(3 113 1)2692.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明 f(x T) f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T.(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期 1(201
14、9温州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)的最小正周期等于 T，则下列函数的最小正周期一定等于 的是( )T2A f(2x) B f(x2)C2 f(x) D f(x2)答案 A解析 由已知得 f(x T) f(x)，所以 f(2x T) f(2x)，即 f f(2x)，所以(2(xT2)函数 f(2x)的周期是 ； f f ，即 f f ，所以函数 f 的周期是T2 (x2 T) (x2) (12 x 2T ) (x2) (x2)82T；2 f(x T)2 f(x)，所以函数 2f(x)的周期是 T.函数 f(x2)不一定是周期函数2若 f(x)是定义在 R 上的周期为 4 的函数，且在
15、0,2上的解析式为 f(x)Error!则f _.f(293)答案 14解析 因为 f(x)的周期为 4，则 f f f cos cos ，所以 f(293) (8 53) (53) 53 3 12 f .f(293) (12) 12 (1 12) 143已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x0 B减函数且 f(x)0 D增函数且 f(x)0答案 D解析 当 x 时， x .因为当 x 时， f(x)log (1 x)且 f(x)是12， 0) (0， 12 (0， 12 12定义在 R 上的奇函数，所以 f(x) f( x)log (1 x)，所以 f(x)在 上
16、是12 12， 0)增函数，当 x 时，1 x ，所以 log (1 x)(0,1，log (1 x)12， 0) 12， 1) 12 121,0)因为 f f(x)，所以函数 f(x)的周期是 ，所以 f(x)在区间 上的图(x32) 32 (1， 32)象与在区间 上的图象相同，所以 f(x)在区间 内是增函数且 f(x)0.(12， 0) (1， 32)函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性如举例说明 1.(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自
17、变量转化到已知解析式的函数定义域内求解如举例说明 2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解如举例说明 3. 1(2017全国卷)函数 f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1 f(x2)1 的 x 的取值范围是( )10A2,2 B1,1C0,4 D1,3答案 D解析 f(x)为奇函数， f( x) f(x) f(1)1， f(1) f(1)1.故由1 f(x2)1，得 f(1) f(x2) f(1)又 f(x)在(，)上单调递减，1 x21，1 x3.故选 D.2已知定义在 R 上的奇函数 f(x
18、)满足 f(x4) f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )A f(25) f(11)f(80)B f(80)f(11)f(25)C f(11)f(80)f(25)D f(25) f(80)f(11)答案 D解析 因为 f(x4) f(x)，所以 f(x8) f(x4) f(x)，所以函数 f(x)的周期 T8，所以 f(25) f(1)， f(11) f(3) f(1) f(1)， f(80) f(0)，又奇函数 f(x)在区间0,2上是增函数，所以 f(x)在区间2,2上是增函数，所以 f(1) f(0)f(1)，所以 f(25) f(80)f(11)3已知定义在 R 上的奇函数 f(
19、x)满足 f f(x)， f(2)3.数列 an的前 n(32 x)项和为 Sn，且 a11， Sn2 an n，则 f(a5) f(a6)_.答案 3解析 f(x)为奇函数， f( x) f(x)，又 f f(x)， f f( x)(32 x) (32 x) f(3 x) f32 ( 32 x) f f( x) f(x)32 x f(x)是以 3 为周期的周期函数数列 an满足 a11，且 Sn2 an n，当 n2 时， Sn1 2 an1 n1，则 an2 an2 an1 1，即 an2 an1 1， an12( an1 1)( n2)，则 an122 n1 2 n， an12 n.上式对 n1 也成立 a531， a663. f(a5) f(a6) f(31) f(63)11 f(2) f(0) f(2) f(2)3.
