1、11.5.2 综合法和分析法1.理解综合法和分析法的概念.2.会用综合法、分析法证明较为简单的不等式.自学导引1. 综合法：就是要从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题.2.分析法：从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或一个明显的事实).基础自测1.设 a， bR ， A ， B ，则 A、 B 的大小关系是( )a b a bA.a B B.A BC.AB D.A ，a b a b只须证 a b2 a b，ab即 2 0， a， bR ，2 0，ab a
2、b AB，选 C.答案 C2.若 1x，lg x2lg x(lg x)2，lg x2(lg x)2lg(lg x)，选 D.答案 D3.已知 a， b， m 都是正数，在空白处填上适当的不等号.(1)当 a_b 时， ，aba mb m(2)当 a_b 时， .ab a mb m2解析 当 ab 时，才有 ，aba mb m当 a 8.(1x 1)(1y 1)(1z 1)证明 x、 y、 z 是互不相等的正数，且 x y z1. 1 ， 1 1x y zx 2yzx 1z x yz 2xyz1 1y x zy 2xzy又01.1x3同理 1， 11z 1y 8.(1x 1)(1y 1)(1z
3、1)知识点 2 分析法证明不等式【例 2】 已知函数 f(x)lg ， x ，若 x1， x2 且 x1 x2，求证：(1x 1) (0， 12) (0， 12)f(x1) f(x2)f .12 (x1 x22 )证明 要证明原不等式，只需证明 .(1x1 1)(1x2 1)( 2x1 x2 1)2 事实上：00，（ x1 x2） 2（ 1 x1 x2）x1x2（ x1 x2） 2 .(1x1 1)(1x2 1)( 2x1 x2 1)2 即有 lg lg ，(1x1 1)(1x2 1) ( 2x1 x2 1)2 故 f(x1) f(x2)f .12 (x1 x22 )反思感悟：在分析法中，每次
4、所寻求的应是使上一个结论成立的充分条件或充要条件，若只找到结论成立的必要条件则不一定能得到相应的结论.从而造成证明上的逻辑错误.2.若 a、 bR ，且 a b1，求证： 2.a 12 b 12证明 2a 12 b 12a b12 4a 12 b 12 1a 12 b 12ab 1a b2 144ab .14 ab 成立.(a b2 )2 14原不等式成立.知识点 3 综合利用综合法与分析法证明不等式【例 3】 在某两个正数 x， y 之间，若插入一个数 a，使 x， a， y 成等差数列；若插入两个数 b， c，使 x， b， c， y 成等比数列，求证：( a1) 2( b1)( c1).
5、证明 由条件，得 2a x yb2 cxc2 by)消去 x， y，即得 2a ，b2c c2b且有 a0， b0， c0.要证( a1) 2( b1)( c1)只需证 a1 （ b 1） （ c 1） （ b 1） （ c 1）（ b 1） （ c 1）2要证 2a b c，而 2a ，b2c c2b只需证 b cb2c c2b即 b3 c3 bc(b c)， b2 c2 bc bc(b c)20，上式显然成立( a1) 2( b1)( c1)得证.反思感悟：综合法和分析法是思路完全相反的两种方法.分析法易于探求解题思路.综合法易于表述，在证明较复杂的不等式时，有时把分析法和综合法结合起来使
6、用.3.已知 a、 b 是不等的正数，且 a3 b3 a2 b2.求证：1a2 ab b2 a b，且 a b0，两边同除以 a b，得 a b1.5欲证 a b0，43可证 3(a b)20.(a b)20， a b，则不等式成立，故 a b0 B.logablog ba20C.logablog ba20 D.logablog ba20解析 00， y0，证明：(1 x y2)(1 x2 y)9 xy.证明 因为 x0， y0，6所以 1 x y23 0，1 x2 y3 0，3xy2 3x2y故(1 x y2)(1 x2 y)3 3 9 xy.3xy2 3x2y基础达标1.a0， b0，下列
7、不等式中不成立的是( )A. 2 B.a2 b22 abba abC. a b D. 2b2a a2b 1a 1b 2a b解析 由 (0，)且 (0，)，得 2 ，所以 A 成立，B 显然成立，不ba ab ba ab baab等式 C 可变形为 a3 b3 a2b ab2(a2 b2)(a b)0.答案 D2.设 a、 b、 x、 y 均为正数，且 a、 b 为常数， x、 y 为变量，若 x y1，则 的最ax by大值为( )A. B.a b2 a b 12C. D.a b（ a b） 22解析 ，故选 B.ax bya x2 b y2 a b 12答案 B3.已知 xyz，且 x y
8、 z0，下列不等式中成立的是( )A.xyyz B.xzyzC.xyxz D.x|y|z|y|解析 由已知 3xx y z0，3 z0， zxz.x0yz)答案 C4.已知 x0， y0， M ， N ，则 M、 N 的大小关系是_.x y2 x y x2 x y2 y解析 N x2 x y2 y 2x xy 2y xy（ 2 x） （ 2 y）2（ x y xy）（ 2 x） （ 2 y）N M74x 4y 8xy 2x2 2x2y 2y2 2xy2 （ 4x 4y 4xy 2x2 2y2 x2y xy2）（ 2 x y） （ 2 x） （ 2 y） 0， NM.4xy x2y xy2（ 2
9、 x y） （ 2 x） （ 2 y）答案 NM5.设 a、 b、 cR，且 a、 b、 c 不全相等，则不等式 a3 b3 c33 abc 成立的一个充要条件是_.解析 a3 b3 c33 abc( a b c)(a2 b2 c2 ab ac bc) (a b c)(a b)122( b c)2( a c)2而 a、 b、 c 不全相等( a b)2( b c)2( a c)20 a3 b3 c33 abca b c0.答案 a b c06.已知| a|0，也就是(1 a2)(1 b2)0，| a|bc，则 与 的大小关系为_.（ a b） （ b c）a c2解析 a b0， b c0，
10、（ a b） （ b c）（ a b） （ b c）2 a c2 .（ a b） （ b c）a c2答案 （ a b） （ b c）a c210.设 a b c，且 恒成立，则 m 的取值范围是_.1a b 1b c ma c解析 a b c， a b0， b c0， a c0.又( a c) ( a b)( b c) 2 2(1a b 1b c) ( 1a b 1b c) （ a b） （ b c）4， m(，4.1a b1b c答案 (，411.已知实数 a， b， c， d，且 a2 b21， c2 d21，求证：| ac bd|1.证明 方法一：(分析法)要证| ac bd|1，只需
11、证明( ac bd)21.即证 a2c22 abcd b2d21. a2 b21， c2 d21.上式即证 a2c22 abcd b2d2( a2 b2)(c2 d2)，即证( ad bc)20. a， b， c， d 都是实数，( ad bc)20 成立.| ac bd|1.方法二：(综合法)9 a， b， c， d 都是实数，且 a2 b21， c2 d21，| ac bd| ac| bd| a2 c22 b2 d22 1.a2 b2 c2 d22方法三：(三角换元法) a2 b21， c2 d21，可令 asin ， bcos ， csin ， dcos ，| ac bd|sin sin
12、 cos cos |cos( )|1.12.设 a， b， c， d 均为正数，且 a b c d.证明：(1)若 ab cd，则 ；a b c d(2) 是| a b| c d|的充要条件.a b c d证明 (1)因为( )2 a b2 ，( )2 c d2 ，a b ab c d cd由题设 a b c d， ab cd，得( )2( )2.a b c d因此 .a b c d(2)若| a b| c d|，则( a b)2( c d)2, 即( a b)24 ab( c d)24 cd.因为 a b c d，所以 ab cd.由(1)，得 .a b c d若 ，则( )2( )2，a b c d a b c d即 a b2 c d2 .ab cd因为 a b c d，所以 ab cd，于是( a b)2( a b)24 ab( c d)24 cd( c d)2.因此| a b| c d|.综上， 是| a b| c d|的充要条件.a b c d
