1、13.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【选题明细表】知识点、方法 题号常用函数的导数 1,3,8导数的计算 2,7导数的几何意义 4,5,10综合问题 6,9,11,12,13【基础巩固】1.下列结论(sin x)=-cos x;( )= ;(log 3x)= ;(ln x)= .其中正确的有( B )(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个解析:在中(sin x)=cos x,在中( )=- ,在中(log 3x)= ,正确.故选 B.2.已知 f(x)=x2,则 f(3)等于( C )(A)0 (B)2x (C)6
2、 (D)9解析:因为 f(x)=x2,所以 f(x)=2x,所以 f(3)=6.故选 C.3.函数 y=x2sin x 的导数为( A )(A)y=2xsin x+x 2cos x(B)y=2xsin x-x 2cos x(C)y=x 2sin x+2xcos x(D)y=x 2sin x-2xcos x解析:因为 y=x2sin x,所以 y=(x 2)sin x+x 2(sin x)=2xsin x+x 2cos x.故选 A.4.已知 f(x)=x3的切线的斜率等于 1,则其切线方程有( B )(A)1 个 (B)2 个(C)多于两个 (D)不能确定解析:因为 f(x)=3x 2,所以令
3、 3x2=1,得 x= .所以可得切点坐标为( , )和(- ,- ).2所以 f(x)=x3有两条斜率为 1 的切线.故有两个切线方程.故选 B.5.(2018大理高二检测)曲线 y= 在点( , )处切线的倾斜角为( B )(A) (B) (C) (D)解析:由于 y= ,所以 y= ,于是 y =1,所以曲线在点( , )处的切线的斜率等于 1,倾斜角为 .故选 B.6.(2018葫芦岛高二检测)曲线 y=ex在(2,e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )(A) e2 (B)2e2 (C)e2 (D)解析:y=e x,所以 y x=2=e2,所以切线方程为 y-e2=e2(
4、x-2),即 y=e2x-e2.当 x=0 时,y=-e 2;当 y=0 时,x=1.所以 S 三角形 = 1|-e2|= .故选 D.7.(2018大连高二双基检测)已知 f(x)= x3+3xf(0),则 f(1)= . 解析:由于 f(0)是一常数,所以 f(x)=x 2+3f(0),令 x=0,则 f(0)=0,所以 f(1)=1 2+3f(0)=1.答案:18.求下列函数的导数:(1)y= -ln x;(2)y=(x2+1)(x-1);(3)y= ;(4)y= .解:(1)y=( -ln x)=( )-(ln x)= - .(2)y=(x 2+1)(x-1)=(x 3-x2+x-1)
5、=(x3)-(x 2)+x-1=3x2-2x+1.3(3)y= = .(4)y= = .【能力提升】9.(2018昆明高二质检)设 f0(x)=sin x,f1(x)=f 0(x),f2(x)=f 1(x), (x)=f n(x),nN,则 f2 018(x)等于( B )(A)sin x (B)-sin x (C)cos x (D)-cos x解析:因为 f0(x)=sin x,所以 f1(x)=f 0(x)=(sin x)=cos x,f2(x)=f 1(x)=(cos x)=-sin x,f3(x)=f 2(x)=(-sin x)=-cos x,f4(x)=f 3(x)=(-cos x)
6、=sin x,所以 4 为最小正周期,所以 f2 018(x)=f2(x)=-sin x.故选 B.10.(2018桂林高二检测)若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 f(x)=x3-3x2+2x 和 y=x2+a 都相切,则 a 的值是( C )(A)1 (B) (C)1 或 (D)1 或-解析:因为(0,0)在 f(x)上,当 O(0,0)为 f(x)的切点时,因为 k=f(0)=2,所以 l 方程为 y=2x,又 l 与 y=x2+a 相切,所以 x2+a-2x=0 满足 =4-4a=0,得 a=1;当 O(0,0)不是 f(x)的切点时,设切点为(x 0, -3 +2x0),则
7、k=3 -6x0+2,所以 =3 -6x0+2,得 x0= ,所以 k=- ,所以 l:y=- x.由得 x2+ x+a=0,由题意得 = -4a=0,所以 a= .综上得 a=1 或 a= .故选 C.11.已知 f(x)=cos x,g(x)=x,则关于 x 的不等式 f(x)+g(x)0 的解集为 . 解析:f(x)+g(x)=-sin x+10,所以 sin x1,又 sin x1,所以 sin x=1,所以 x= +2k,kZ.答案:x x= +2k,kZ12.(2018银川高二月考)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.
8、(1)求 f(x)的解析式;4(2)证明:曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:f(x)=a+ .因为点(2,f(2)在切线 7x-4y-12=0 上,所以 f(2)= = .又曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0,所以 所以 f(x)的解析式为 f(x)=x- .(2)证明:设(x 0,x0- )为曲线 y=f(x)上任意一点,则切线斜率 k=1+ ,切线方程为y-(x0- )=(1+ )(x-x0),令 x=0,得 y=- .由 得所以曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线
9、 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积S= |2x0| - =6,为定值.【探究创新】13.(2018武夷山高二检测)已知直线 x-2y-4=0 与抛物线 y2=x 相交于 A,B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧 AOB 上求一点 P,使ABP 的面积最大,并求最大值.解:设 P(x0,y0),过点 P 作与 AB 平行的直线为 l,如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),5联立方程组,得得 x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16,所以|AB|= |x1-x2|= = =10,要使ABP 的面积最大,只要点 P 到 AB 的距离最大,而 P 点是抛物 线的弧 AOB 上的一点,因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的 切点,由图知点 P 在 x 轴上方,y= ,y= ,由题意知 kAB= .所以 kl= = ,即 x0=1,所以 y0=1.所以 P(1,1).又点 P 到直线 AB 的距离 d= = = ,所以 SPAB = |AB|d= 10 =5 .故所求点为 P(1,1),ABP 的面积最大值为 5 .
