1、13.3.3 函数的最大(小)值与导数【选题明细表】知识点、方法 题号函数极值与最值的关系 1函数的最值 2,3,6,13由函数最值求参数(或范围) 4,5,7,10函数最值的应用 9,11综合应用 8,12【基础巩固】1.下列说法正确的是( D )(A)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值(B)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值(C)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值(D)若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则可有多个极值解析:由极值与最值的区别知选 D.2.函数 f(x)=x3
2、-3x(|x|0,10 对于任意 x(1,+)恒成立,则 a 的取值范围为( C )(A)(-,2 (B)(-,1(C)(-,-1 (D)(-,0解析:由已知得,a1),则 f(x)=ln x+2x-1,f(x)0,f(x)在(1,+)递增,故 f(x)-1,故 a-1.故选 C.6.函数 f(x)= ,x-2,2的最大值是 ,最小值是 . 解析:因为 y= = ,令 y=0 可得 x=1 或-1.又因为 f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)= ,f(-2)=- ,所以最大值为 2,最小值为-2.答案:2 -27.(2018包头高二月考)函数 f(x)=x2+2ax+1 在0,1上的最小值
3、为 f(1),则 a 的取值范围为 . 解析:f(x)=2x+2a,f(x)在0,1上的最小值为 f(1),说明 f(x)在0,1上单调递减,所以 x0,1时,f(x)0 恒成立,f(1)=2+2a0,所以 a-1.答案:(-,-18.(2018北海高二检测)已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求 f(x)的单调递减区间;(2)若 f(x)在区间-2,2上的最大值为 20,求它在该区间上的最 小值.解:(1)f(x)定义域为 R,因为 f(x)=-3x 2+6x+9.令 f(x)3,所以函数 f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).(2)由(1)及已知,f(x)在-2
4、,-1上是减函数,在-1,2上是增函数,因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以 f(2)f(-2).于是有 22+a=20,所以 a=-2.所以 f(x)=-x3+3x2+9x-2.所以 f(-1)=1+3-9-2=-7,即 f(x)最小值为-7.【能力提升】9.已知函数 f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且 f(x)0,f(x)=x+ = ;对于 x1,e,有 f(x)0,所以 f(x)在区间1,e上为增函数,所以 f(x)max=f(e)=1+ ,f(x)min=f(1)= .(2)令 g(x)=f(x)-2ax=
5、(a- )x2-2ax+ln x,在区间(1,+)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方,等价于 g(x) ,令 g(x)=0,得 x1=1,x2= ,4当 x2x1=1,即 0,此时 g(x)在区间(x 2,+)上是增函数,当 x+时,有(a- )x2-2ax+,ln x+,g(x)g(x 2),+),不合题意;当 x2x 1=1,即 a1 时,同理可知,g(x)在区间(1,+)上是增函数,当 x+时,有(a- )x2-2ax+,ln x+,g(x)(g(1),+),也不合题意.若 a ,则 2a-10,此时在区间(1,+)上恒有 g(x)0),求函数在1,2上的最大值.解:因为
6、 f(x)=x2e-ax(a0),所以 f(x)=2xe -ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).令 f(x)0,即 e-ax(-ax2+2x)0,得 0x .所以 f(x)在(-,0),( ,+)上是减函数,在(0, )上是增函数.当 0 1,即 a2 时,f(x)在1,2上是减函数,所以 f(x)max=f(1)=e-a.当 1 2,即 1a2 时,f(x)在(1, )上是增函数,在( ,2)上是减函数,5所以 f(x)max=f( )= e-2.当 2,即 0a1 时,f(x)在1,2上是增函数,所以 f(x)max=f(2)=4e-2a.综上所述,当 0a1 时,f(x)的最大值为 4e-2a;当 1a2 时,f(x)的最大值为 e-2;当 a2 时,f(x)的最大值为 e-a.
