1、13.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【选题明细表】 知识点、方法 题号两直线的交点 1,2,5,6,9两点间的距离 3,7对称问题 11,13综合应用问题 4,8,10,121.过两直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程为( D )(A)19x-9y=0 (B)9x+19y=0(C)19x-3y=0 (D)3x+19y=0解析:法一 由得则所求直线方程为 y= x=- x,即 3x+19y=0.法二 设直线方程为 x-3y+4+(2x+y+5)=0,即(1+2)x-(3-)y+4+5=0,又直线过点(0,0),所以(1+2)0-(3
2、-)0+4+5=0,解得 =- ,故所求直线方程为 3x+19y=0.2.(2018广州二模)已知三条直线 l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0,l3:mx-y-1=0 不能构成三角形,则实数 m 的取值集合为( D )(A)- , (B) ,- (C)- , , (D)- ,- , 解析:因为三条直线不能围成一个三角形,所以分 3 种情况进行讨论.2(1)若 l1l 3,此时 m= .(2)若 l2l 3,此时 m=- .(3)若 l1,l2,l3相交于一点,2x-3y+1=0 与 4x+3y+5=0 交点是(-1,- ),代入 mx-y-1=0,则 m=-.综上,m 取- ,
3、- , .故选 D.3.已知ABC 的三个顶点是 A(-a,0),B(a,0)和 C( , a),则ABC 的形状是( C )(A)等腰三角形 (B)等边三角形(C)直角三角形 (D)斜三角形解析:因为 kAC= = ,kBC= =- ,kACkBC=-1,所以 ACBC,又|AC|= |a|.|BC|= =|a|.所以ABC 为直角三角形.4.已知直线 l1过点(-2,0)且倾斜角为 30,直线 l2过点(2,0)且与直线 l1垂直,则直线 l1与直线 l2的交点坐标为( C )(A)(3, ) (B)(2, )(C)(1, ) (D)(1, )解析:直线 l1的斜率为 k1=tan 30=
4、 ,因为直线 l2与直线 l1垂直,所以 k2=- =- ,所以直线 l1的方程为 y= (x+2),直线 l2的方程为 y=- (x-2).两式联立,解得即直线 l1与直线 l2的交点坐标为(1, ).故选 C.5.(2018广东广州荔湾区期末)若直线 y=-2x+3k+14 与直线 x-4y=-3k-2 的交点位于第四象限,则实数 k 的取值范围是( A )3(A)-6-2解析:解方程组 得 x=k+6,y=k+2.因为直线 y=-2x+3k+14 与直线 x-4y=-3k-2 的交点位于第四象限,所以 x=k+60,y=k+20,所以-6k-2.故选 A.6.(2018四川雅安期末)不论
5、 k 为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 恒通过一个定点,这个定点的坐标是 . 解析:直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即 k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据 k 的任意性可得 解得所以不论 k 取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 都经过一个定点(2,3).答案:(2,3)7.(2018甘肃武威凉州区期末)已知点 A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则ABC 中,BC 边上的中线长为 . 解析:BC 中点为(-1,2),所以 BC 边上中线长为 = .答案:8.(2018宁夏石嘴山第三中学高二上期末
6、)已知ABC 的顶点坐标 A(5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为 2x-y-5=0, AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求顶点 C 的坐标,及直线 BC 的方程.解:因为 ACBH,所以由 kBH= 得 kAC=-2,因此 AC 方程为 y-1=-2(x-5),化简得 2x+y-11=0,与 2x-y-5=0 联立,可解得 C 坐标为(4,3),因为 B 在高 BH 上,所以设 B 坐标为(2y+5,y),则 AB 中点 M 的坐标为(y+5, ),而 M 在直线 2x-y-5=0 上,所以 2(y+5)- -5=0,解得y=-3,因此 B(-1,-3),所以
7、,由两点式可得 BC 方程为 = 化简得 6x-5y-9=0.9.(2018江西师大附中高一测试)ABC 的三个顶点分别为 A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线 x=a,将ABC 分割成面积相等的两部分,那么实数 a 的值等于( A )(A) (B)1+(C)1+ (D)2-4解析:因为 SABC = ,AC: + =1,即 3x+2y-6=0.由 得 由题意得 a(3- )= ,得 a= 或 a=- (舍去).10.(2017辽宁抚顺高一期末)直线 y=- x+1 和 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,以线段 AB 为一边在第一象限内作等边ABC,则点 C 的坐标为 . 解析:
8、由题意得 A( ,0),B(0,1),则|AB|=2,易知 ACx 轴,所以点 C 的坐标为( ,2).答案:( ,2)11.(2018重庆万州区期末)若ABC 的一个顶点是 A(3,-1),B, C 的角平分线方程分别为 x=0,y=x,则 BC 边所在的直线方程为 . 解析:因为B,C 的平分线分别是 x=0,y=x,所以 AB 与 BC 关于 x=0 对称,AC 与 BC 关于 y=x 对称.则 A(3,-1)关于 x=0 的对称点 A(-3,-1)在直线 BC 上,A 关于 y=x 的对称点 A(-1,3)也在直线 BC 上,由两点式得, = ,所求直线 BC 的方程为 2x-y+5=
9、0.答案:2x-y+5=012.(2018广东台山华侨中学高二上期末)矩形 ABCD 的两条边 AB 和 AD 所在直线的方程分别是 x-2y+4=0 和 2x+y-7=0,它的对角线的交点 M 的坐标是(-1,1),求边 BC 和边 CD 所在直线的方程.解:联立方程组 得所以点 A 的坐标为 A(2,3).因为点 M(-1,1)是 AC 的中点,设点 C 的坐标为 C(x0,y0),则有 =-1 且 =1 解得x0=-4,y0=-1,所以点 C 的坐标为(-4,-1),因为 CDAB,BCAD,所以 kBC=kAD=-2,kCD=kAB= ,所以直线 BC 的方程是 y-(-1)=-2x-
10、(-4),即 2x+y+9=0,直线 CD 的方程是 y-(-1)= x-(-4),即 x-2y+2=0.13.已知两点 A(2,3),B(4,1),直线 l:x+2y-2=0,在直线 l 上求一点 P.5(1)使|PA|+|PB|最小;(2)使|PA|-|PB|最大.解:(1)可判断 A,B 在直线 l 的同侧,设 A 点关于 l 的对称点 A1的坐标为(x 1,y1),则有解得由直线的两点式方程得直线 A1B 的方程为 = ,即 y= (x-4)+1,由 得直线 A1B 与 l 的交点为 P( ,- ),由平面几何知识可知,此时|PA|+|PB|最小.(2)由直线的两点式方程求得直线 AB 的方程为 = ,即 x+y-5=0.由 得直线 AB 与 l 的交点为 P(8,-3),此时|PA|-|PB|最大.
