1、12.3.1 抛物线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法 题号待定系数法求抛物线的标准方程 3,8抛物线的焦点与准线 2抛物线定义及其应用 1,4,5,6抛物线的实际应用 7综合应用 9,10,11,12,13【基础巩固】1.若 A 是定直线 l 外一定点,则过点 A 且与直线 l 相切的圆的圆心轨迹为( D )(A)直线 (B)椭圆 (C)线段 (D)抛物线解析:因为圆过点 A,所以圆心到 A 的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点 A 是定直线 l 外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选 D.2.如果抛物线 y2=2px 的准线是直线 x=-2,那么它的
2、焦点坐标为( B )(A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(-1,0)解析:因为准线方程为 x=-2=- ,所以焦点为( ,0),即(2,0).故选 B.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x2+y2-2x+6y+9=0 的圆心的抛物线的方程是( D )(A)y=-3x2 (B)y2=9x(C)y2=-9x 或 y=3x2 (D)y=-3x2或 y2=9x解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在 x 轴上时设抛物线的方程是 y2=ax,将(1,-3)代入得 a=9,所以方程为 y2=9x,当焦点在 y 轴上时设抛物线的方程是 x2=my,将(1,-3)代入得 m
3、=-,所以方程为 y=-3x2.故选 D.4.(2018南昌高二月考)已知 P(8,a)在抛物线 y2=4px 上,且 P 到焦点的距离为 10,则焦点到准线的距离为( B )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:根据题意可知,P 点到准线的距离为 8+p=10,可得 p=2,所以焦点到准线的距离为 2p=4,选 B.5.(2017海南高二期中)过点 F(0,3),且和直线 y+3=0 相切的动圆圆心轨迹方程是( D )(A)y2=12x (B)y2=-12x(C)x2=-12y (D)x2=12y解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点 F(0,3)为焦点,直线 y=-3 为准线的抛物线
4、,故其方程为 x2=12y.故选 D.6.(2016泉州南安三中期中)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )2(A) (B)3 (C) (D)解析:依题设 P 在抛物线准线的投影为 P,抛物线的焦点为 F,则 F( ,0),依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P到该抛物线准线的距离之和 d=|PF|+|PA|AF|= = .故选 A.7. (2018贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4米,
5、水位下降 1 米后,水面宽 米. 解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为 y 轴建立直角坐标系(图略),设抛物线方程为 x2=-2py(p0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得 p=1,抛物线方程为 x2=-2y.当 y=-3 时,x 2=6,解得 x= .所以水面宽为 2 米.答案:28.已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离是 5.(1)求抛物线方程和 m 值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)因为点(-3,m)在 y 轴左侧,抛物线焦点在 x 轴上,所以抛物线开口向左.设方程为 y2=-2px(p0),因为 M 到焦点的距离为 5,所以 3+ =
6、5,所以 p=4.所以抛物线的方程为 y2=-8x.把点 M(-3,m)代入抛物线方程得 m2=24.所以 m=2 .(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为 x=2.【能力提升】9.(2018杭州高二质检)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线PF 与 C 的一个交点,若 =4 ,则|QF|等于( C )(A) (B) (C)3 (D)2解析:过点 Q 作 QQl 交 l 于点 Q,因为 =4 ,3所以|PQ|PF|=34,又焦点 F 到准线 l 的距离为 4,所以|QF|=|QQ|=3.故选 C.10.(2017衡水金卷)已知抛物线 y2=
7、4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 + 的最小值为( D )(A)12 (B)24 (C)16 (D)32解析:当直线的斜率不存在时,其方程为 x=4,由 得 y1=-4,y2=4,所以 + =32.当直线的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-4),由 得 ky2-4y-16k=0,所以 y1+y2= ,y1y2=-16,所以 + =(y1+y2)2-2y1y2= +3232,综上可知, + 32.所以 + 的最小值为 32.故选 D.11.(2018成都诊断)已知抛物线方程为 y2=-4x,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,在抛物线上
8、有一动点 A,点 A 到 y 轴的距离为 m,到直线 l 的距离为 n,则 m+n 的最小值为 . 解析:如图,过 A 作 AHl,AN 垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接 AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当 A,F,H 三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1 取得最小值,最小值为 F 到直线 l 的距离,即 = ,即 m+n 的最小值为 -1.4答案: -112.(2017孝感高二期中)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的准线是直线 l:x=-2,焦点是 F.(1)求抛物线 C 的方程;(2)若 l 与 x 轴交于点 A,点 M 在抛物
9、线 C 上,且 M 到焦点 F 的距离为 8,求AFM 的面积 S.解:(1)由已知得- =-2,所以 p=4,所以抛物线 C 的方程是 y2=8x.(2)由已知得 A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4,设抛物线上的点 M(x0,y0),由抛物线的定义知|MF|=x 0+ =x0+2=8,所以 x0=6,代入 y2=8x,得 =86=48,所以|y 0|=4 ,所以 S= |AF|y0|= 44 =8 .【探究创新】13.(2018沈阳高二质检)已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 - =1(a0,b0)交于 A,B 两点,点 F 为抛物线的焦点,若FAB 为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是 . 解析:抛物线焦点 F(1,0),由题意 05,故 e .5答案:( ,+)
