1、14.2.1 研究机械能守恒定律(一)机械能守恒定律及其应用学习目标 1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题一、动能与势能的相互转化1重力势能与动能的转化只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能，若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能2弹性势能与动能的转化只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧
2、的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能3机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能二、机械能守恒定律1内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变2表达式： E Ek Ep恒量即学即用1判断下列说法的正误2(1)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用()(2)合力为零，物体的机械能一定守恒()(3)合力做功为零，物体的机械能保持不变()(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒()2如图 1 所示，桌面高为 h，质量为 m 的小球从离桌面高为 H 处自由下落，不计空气阻力，
3、假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为_(重力加速度为 g)图 1答案 mgH一、机械能守恒定律导学探究 如图 2 所示，质量为 m 的物体自由下落的过程中，下落到高度为 h1的 A 处时速度为 v1，下落到高度为 h2的 B 处时速度为 v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面图 2(1)求物体在 A、 B 处的机械能 EA、 EB；(2)比较物体在 A、 B 处的机械能的大小答案 (1)物体在 A 处的机械能 EA mgh1 mv1212物体在 B 处的机械能 EB mgh2 mv2212(2)根据动能定理 WG mv22 mv1212 12下落过程中重力对物体做功，重力做
4、的功等于物体重力势能的减少量，则WG mgh1 mgh2由以上两式可得： mv22 mv12 mgh1 mgh212 123移项得 mv12 mgh1 mv22 mgh212 12由此可知物体在 A、 B 两处的机械能相等知识深化1对机械能守恒条件的理解(1)物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒(3)重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程
5、中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒(4)除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零如物体在沿斜面的拉力 F 的作用下沿斜面运动，拉力与摩擦力的大小相等，方向相反，在此运动过程中，其机械能守恒2判断机械能是否守恒的方法(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，机械能不变若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒例 1 (
6、多选)如图 3 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )图 3A甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体机械能守恒B乙图中，物体在大小等于摩擦力的拉力 F 作用下沿斜面下滑时，物体机械能守恒C丙图中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体机械能守恒D丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒答案 BD解析 弄清楚机械能守恒的条件是分析此问题的关键表解如下：选项 结论 分析A 物体压缩弹簧的过程中，物体所受重力和弹簧的弹力都对其做功，所以物体机械能不守恒4B 物体沿光滑斜面下滑过程中，除重力做功外，其他力做功的代数和始终为零，所以物体机械能守恒C 物体沿斜面匀速下滑的过程中动能不变
7、，重力势能减小，所以物体机械能不守恒D 物体沿光滑斜面下滑过程中，只有重力对其做功，所以物体机械能守恒【考点】机械能守恒条件的判断【题点】单物体和地球系统的机械能守恒条件的判断针对训练 1 (多选)如图 4 所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方 A 处自由下落，到达 B 处开始与弹簧接触，到达 C 处速度为 0，不计空气阻力，则在小球从 B 到 C 的过程中( )图 4A弹簧的弹性势能不断增加B弹簧的弹性势能不断减少C小球和弹簧组成的系统机械能不断减少D小球和弹簧组成的系统机械能保持不变答案 AD解析 从 B 到 C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A 正确，B 错误；对小球、
8、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C 错误，D 正确【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒条件的判断二、机械能守恒定律的应用1机械能守恒定律常用的三种表达式(1)从不同状态看： Ek1 Ep1 Ek2 Ep2(或 E1 E2)此式表示系统的两个状态的机械能总量相等(2)从能的转化角度看： Ek Ep此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量(3)从能的转移角度看： EA 增 EB 减此式表示系统 A 部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即 B 部分机械能的减少量2机械能守恒定律的应用步骤5首先对研究对象进行正确的受力分析，判断各个力是否
9、做功，并分析是否符合机械能守恒的条件若机械能守恒，则根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程进行求解例 2 如图 5 所示为某游乐场的过山车的简化模型，竖直圆形轨道的半径为 R，轨道最下端与水平地面相切现有一节车厢(可视为质点)，质量为 m，从高处由静止滑下，不计摩擦和空气阻力图 5(1)要使车厢通过圆形轨道的最高点，车厢开始下滑时距地面的高度至少应多大？(2)若车厢恰好通过圆形轨道的最高点，则车厢在轨道最低处时对轨道的压力是多少(重力加速度为 g)?答案 (1) R (2)6 mg52解析 (1)设车厢开始下滑时距地面的高度为 h，运动到圆形轨道最高点时的速度为 v，要使车厢通过圆形轨道
10、的最高点，应有 mgmv2R车厢在下滑过程中，只有重力做功，故机械能守恒，选取轨道最低点所在平面为零势能参考平面，由机械能守恒定律得mv2 mg2R mgh12联立以上两式解得 h R52因此车厢开始下滑时距地面的高度至少为 R.52(2)设车厢到达轨道最低点时的速度为 v，受到的支持力为 FN，则由机械能守恒定律得 mv 2 mgh12再由牛顿第二定律得 N mgmv 2R由以上两式解得 N mg mg6 mg(2hR 1) (252RR 1)由牛顿第三定律知，车厢对轨道的压力 N N6 mg【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用针对训练 2 如图 6
11、所示，质量 m50 kg 的跳水运动员从距水面高 h10 m 的跳台上以6v05 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中，若忽略运动员的身高，取 g10 m/s2，不计空气阻力求：图 6(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为零势能参考平面)；(2)运动员起跳时的动能；(3)运动员入水时的速度大小答案 (1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s解析 (1)以水面为零势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep mgh5 000 J.(2)运动员起跳时的速度为 v05 m/s，则运动员起跳时的动能为 Ek mv02625 J.12(3)运动员从起跳到入水过程中，只有
12、重力做功，运动员的机械能守恒，则 mgh mv02 mv2，12 12解得 v15 m/s.【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在抛体运动中的应用1(机械能是否守恒的判断)关于机械能守恒，下列说法正确的是( )A做自由落体运动的物体，机械能一定守恒B人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒C物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒D合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒答案 A解析 做自由落体运动的物体，只受重力作用，机械能守恒，A 正确；人乘电梯加速上升的过程，电梯对人的支持力做功，故人的机械能不守恒，B 错误；物体只有重力做功时，其他力也可存在，当它们不做功或做功之和为
13、 0 时，机械能也守恒，故 C 错误；合外力对物体做7功为零，物体的动能不变，机械能不一定守恒，D 错误【考点】机械能守恒条件的判断【题点】单物体和地球系统的机械能守恒条件的判断2(机械能守恒定律的应用)以相同大小的初速度 v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图 7 所示，三种情况达到的最大高度分别为 h1、 h2和h3，不计空气阻力，则( )图 7A h1 h2 h3 B h1 h2 h3C h1 h3 h2 D h1 h3 h2答案 D解析 竖直上抛的物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为 0，由机械能守恒定 律 得 mgh mv02， 所 以
14、 h ； 斜 上 抛 的 物 体 在 最 高 点 速 度 不 为 零 ， 设 为 v1， 则12 v022gmgh2 mv02 mv12，所以 h2 h1 h3，D 正确12 12【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律的简单应用3.(机械能守恒定律的应用)如图 8 所示，由距离地面 h21 m 的高度处以 v04 m/s 的速度斜向上抛出质量为 m1 kg 的物体，当其上升的高度为 h10.4 m 时到达最高点，最终落在水平地面上，现以过抛出点的水平面为零势能面，取重力加速度 g10 m/s2，不计空气阻力，则( )图 8A物体在最大高度处的重力势能为 14 JB物体在最大
15、高度处的机械能为 16 JC物体在地面处的机械能为 8 JD物体在地面处的动能为 8 J答案 C解析 物体在最高点时具有的重力势能 Ep1 mgh11100.4 J4 J，A 错误；物体在最高点时具有的机械能等于刚抛出时的动能，即 8 J，B 错误；物体在下落过程中，机械能守8恒，任意位置的机械能都等于 8 J，C 正确；物体落地时的动能 Ek E Ep2 E mgh28 J110(1) J18 J，D 错误【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律的简单应用4(机械能守恒定律的应用)如图 9 所示，在竖直平面内有由 圆弧 AB 和 圆弧 BC 组成的光14 12滑固定轨道，两
16、者在最低点 B 平滑连接 AB 弧的半径为 R， BC 弧的半径为 .一小球在 A 点R2正上方与 A 相距 处由静止开始自由下落，经 A 点沿圆弧轨道运动(不计空气阻力)R4图 9(1)求小球在 B、 A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到 C 点答案 (1)51 (2)见解析解析 (1)设小球的质量为 m，小球在 A 点的动能为 EkA，由机械能守恒定律得 EkA mg R4设小球在 B 点的动能为 EkB，同理有 EkB mg 5R4由式得 5.EkBEkA(2)若小球能沿轨道运动到 C 点，则小球在 C 点所受轨道的正压力 N 应满足 N0设小球在 C 点的速度大小
17、为 vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N mg m vC2R2由式得： vC应满足 mg m 2vC2R由机械能守恒定律得 mg mvC2R4 12由式可知，小球恰好可以沿轨道运动到 C 点【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用9一、选择题考点一 机械能是否守恒的判断1下列运动的物体，机械能守恒的是( )A物体沿斜面匀速下滑B物体从高处以 0.9g 的加速度竖直下落C物体沿光滑曲面自由滑下D拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升答案 C解析 物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小，A 错误物体以 0.9g 的加速度竖直下落时，除重力外，
18、其他力的合力向上，大小为 0.1mg，其他力的合力在物体下落时对物体做负功，物体的机械能不守恒，B 错误物体沿光滑曲面自由滑下时，只有重力做功，机械能守恒，C 正确拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体的机械能不守恒，D 错误【考点】机械能守恒条件的判断【题点】单物体和地球系统的机械能守恒条件的判断2.(多选)如图 1 所示，一轻弹簧固定于 O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点 O 在同一水平面且弹簧保持原长的 A 点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由 A 点摆向最低点的过程中( )图 1A重物的机械能减少B重物与弹簧组成的系统的机械能不变C重物与弹簧组成的系统的机械能
19、增加D重物与弹簧组成的系统的机械能减少答案 AB解析 重物自由摆下的过程中，弹簧拉力对重物做负功，重物的机械能减少，选项 A 正确；对重物与弹簧组成的系统而言，除重力、弹力外，无其他外力做功，故系统的机械能守恒，选项 B 正确10【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断3.木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起摆到一定高度，如图 2 所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是( )图 2A子弹的机械能守恒B木块的机械能守恒C子弹和木块的总机械能守恒D以上说法都不对答案 D解析 子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做
20、功产生热能，故系统机械能不守恒，子弹的机械能不守恒，木块的机械能不守恒故选 D.【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断4(多选)竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图3 所示则迅速放手后(不计空气阻力)( )图 3A放手瞬间小球的加速度等于重力加速度B小球、弹簧与地球组成的系统机械能守恒C小球的机械能守恒D小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大答案 BD解析 放手瞬间小球的加速度大于重力加速度，A 错误；整个系统(包括地球)的机械能守恒，但小球的机械能不守恒，B 正确，C 错误；向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球
21、的动能与弹簧弹性势能之和不断增大，D 正确【考点】机械能守恒条件的判断11【题点】多物体系统的机械能守恒的判断考点二 机械能守恒定律的应用5(多选)把质量为 m 的石块从高 h 的山崖上沿与水平方向成 角的斜向上的方向抛出(如图 4 所示)，抛出的初速度为 v0，石块落地时的速度大小与下面哪些量无关(不计空气阻力)( )图 4A石块的质量 B石块初速度的大小C石块初速度的仰角 D石块抛出时的高度答案 AC解析 以地面为参考平面，石块运动过程中机械能守恒，则 mgh mv02 mv212 12即 v22 gh v02，所以 v v02 2gh由此可知， v 与石块的初速度大小 v0和高度 h 有
22、关，而与石块的质量和初速度的方向无关故选 A、C.【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在抛体运动中的应用6如图 5 所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施管道除 D 点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失地连续滑入第一个、第二个圆管形管道 A、 B 内部(管道 A 比管道 B 高)某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过管道 A 内部最高点时，对管壁恰好无压力则这名挑战者( )图 5A经过管道 A 最高点时的机械能大于经过管道 B 最低点时的机械能B经过管道 A 最高点时的动能大于经过管道 B 最低点时的动能C经过管道 B 最高点时
23、对管外侧壁有压力D不能经过管道 B 的最高点答案 C12【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用7.如图 6 所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为 m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为 L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )图 6A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了 mgL3C圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变答案 B解析 圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势
24、能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度h L，所以圆环重力势能减少了 mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹2L2 L2 3 3性势能增加了 mgL.故选 B.3【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用8(多选)图 7 是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部 B 处安装一个压力传感器，其示数 N 表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度 h 处由静止下滑，通过 B 处时，下列表述正确的有( )图 7A N 小于滑块重力 B N 大于滑块重力C N 越大表明 h 越
25、大 D N 越大表明 h 越小答案 BC解析 设滑块在 B 点的速度大小为 v，选 B 处所在平面为零势能面，从开始下滑到 B 处，由13机械能守恒定律得 mgh mv2，在 B 处由牛顿第二定律得 N mg m ，又根据牛顿第三定12 v2r律 N N，因而选 B、C.【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律的简单应用9(多选)质量相同的小球 A 和 B 分别悬挂在长为 L 和 2L 的不同长绳上，先将小球拉至同一水平位置(如图 8 所示)从静止释放，当两绳竖直时，不计空气阻力，则( )图 8A两球的速率一样大B两球的动能一样大C两球的机械能一样大D两球所受的拉力一样大答案
26、 CD解析 两球在下落过程中机械能守恒，开始下落时，重力势能相等，动能都为零，所以机械能相等，下落到最低点时的机械能也一样大，选项 C 正确选取小球 A 为研究对象，设小球到达最低点时的速度大小为 vA，动能为 EkA，小球所受的拉力大小为 FA，则mgL mvA2， FA mg ，可得 vA ， EkA mgL， FA3 mg；同理可得12 mvA2L 2gLvB2 ， EkB2 mgL， FB3 mg，故选项 A、B 错误，D 正确gL【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律的简单应用10.如图 9 所示，用长为 L 的细线，一端系于悬点 A，另一端拴住一质量为 m 的小
27、球，先将小球拉至水平位置并使细线绷直，在悬点 A 的正下方 O 点钉有一小钉子，今将小球由静止释放，要使小球能在竖直平面内做完整圆周运动， OA 的最小距离是( )图 9A. B.L2 L3C. L D. L23 3514答案 D解析 设小球做完整圆周运动的轨道半径为 R，小球刚好过最高点的条件为 mgmv02R解得 v0 gR小球由静止释放到运动至圆周最高点的过程中，只有重力做功，因而机械能守恒，取初位置所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得 mv02 mg(L2 R)12解得 R L25所以 OA 的最小距离为 L R L，故 D 正确35【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械
28、能守恒定律在圆周运动中的应用二、非选择题11(机械能守恒定律的应用)如图 10 所示，让摆球从图中 A 位置由静止开始下摆，正好摆到最低点 B 位置时摆线被拉断设摆线长 l1.6 m， O 点离地高 H5.8 m，不计摆线断时的机械能损失，不计空气阻力， g 取 10 m/s2，求：图 10(1)摆球刚到达 B 点时的速度大小；(2)落到地面 D 点时摆球的速度大小答案 (1)4 m/s (2)10 m/s解析 (1)摆球由 A 到 B 的过程中只有重力做功，故机械能守恒根据机械能守恒定律得mg(1sin 30) l mvB2，12解得 vB 4 m/s.2gl1 sin 30(2)摆球由 B
29、 到 D 过程中只有重力做功，机械能守恒根据机械能守恒定律得mvD2 mvB2 mg(H l)12 12解得 vD 10 m/s.vB2 2gH l【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用15【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题12(机械能守恒定律的应用)如图 11 所示，竖直平面内有一半径 R0.5 m 的光滑圆弧槽BCD， B 点与圆心 O 等高，一水平面与圆弧槽相接于 D 点，质量 m0.5 kg 的小球从 B 点正上方 H 高处的 A 点自由下落，由 B 点进入圆弧轨道，从 D 点飞出后落在水平面上的 Q 点， DQ间的距离 x2.4 m，球从 D 点飞出后的运动过程中相对水
30、平面上升的最大高度 h0.8 m，取 g10 m/s 2，不计空气阻力，求：图 11(1)小球释放点到 B 点的高度 H；(2)经过圆弧槽最低点 C 时轨道对小球的支持力大小 N.答案 (1)0.95 m (2)34 N解析 (1)设小球在飞行过程中通过最高点 P 的速度为 v0， P 到 D 和 P 到 Q 可视为两个对称的平抛运动，则有： h gt2， v0t，可得： v0 3 m/s12 x2 x2 g2h在 D 点有： vy gt4 m/s在 D 点的合速度大小为： v 5 m/sv02 v2y设 v 与水平方向夹角为 ，cos v0v 35A 到 D 过程机械能守恒： mgH mgRcos mv212联立解得： H0.95 m(2)设小球经过 C 点时速度为 vC， A 到 C 过程机械能守恒： mg(H R) mv12 C2由牛顿第二定律有， N mg mvC2R联立解得 N34 N.【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题
