1、11.1 两个基本计数原理第 1 课时 分类计数原理与分步计数原理12016 年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有 7 次航班，5 列火车问题 1：该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？提示：两类，即乘飞机、乘火车问题 2：这几类方法相同吗？提示：不同问题 3：该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7512(种)2甲盒中有 3 个不同的红球，乙盒中有 5 个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球问题 4：不同的摸法有多少种？提示：358(种)3某班有男生 26 人，女生 24 人，从中选一位同学为生活委员问题 5：不同选法的种数为多
2、少？提示：262450.完成一件事，有 n 类方式，在第 1 类方式中有 m1种不同的方法，在第 2 类方式中有 m2种不同的方法，在第 n 类方式中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法.212016 年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有 7 次航班，从天津到南京有 5 列火车问题 1：该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？提示：两个，即从北京到天津、从天津到南京问题 2：这几个步骤之间相互有影响吗？提示：没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系问题 3：该志愿者从
3、北京到南京共有多少种不同的方法？提示：7535 种2若 x2，3，5， y6，7，8问题 4：能组成的集合 x， y的个数为多少？提示：339(个)3某班有男生 26 人，女生 24 人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员问题 5：不同的选法的种数为多少？提示：2624624 种完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1m2mn种不同的方法1分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情2分类计
4、数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积3例 1 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有 29 人，A 型血的共有 7 人，B 型血的共有 9 人，AB 型血的共有 3 人，从中任选 1 人去献血，共有多少种不同的选法？思路点拨 先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和精解详析 从中选 1 人去献血的方法共有 4 类：第一类：从 O 型血的人中选 1 人去献血共有 29 种不同的方法；第二类：从 A 型血的人中选 1 人去献血共有 7 种不同的方法；第三类：从 B 型血的人中选 1
5、 人去献血共有 9 种不同的方法；第四类：从 AB 型血的人中选 1 人去献血共有 3 种不同的方法利用分类计数原理，可得选 1 人去献血共有 2979348 种不同的选法一点通 利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数1从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 1 种种植，不同的种植方法有_种解析：分 4 种品种种植，根据分类计数原理可知，共有 4 种不同的种植方法答案：42所有边长均为整数，且最大边长均为 11 的三角形的个数为_解析：假设另两边长分别
6、为 a， b(a， bZ)，不妨设 a b11，要构成三角形，必有a b12，因此 b6.当 b11 时， a 可取 1，2，3，11；当 b10 时， a 可取2，3，10；当 b6 时， a 只能是 6.4故所有三角形的个数为 119753136.答案：363在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到， A， B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学 B 大学生物学 数学化学 会计学数学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？解：这名同学可以选择 A， B 两所大学中的一所，在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中
7、有 4 种专业选择方法，因此根据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有549(种).例 2 要安排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班，共有 5 个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？思路点拨 该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步计数原理，分步进行精解详析 先排第一天，可排 5 人中任一人，有 5 种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有 4 种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有 4 种排法；同理，第四、五天各有 4 种排法由分步计数原理可得值班表不同的排法共有：N544441 280 (种
8、)一点通 利用分步计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事54. 用 6 种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要“眼睛”(如图 A， B 所示区域)用相同颜色，则不同的涂色方法共有_种解析：第 1 步涂眼睛有 6 种涂法，第 2 步涂鼻子有 6 种涂法，第三步涂嘴有 6 种涂法，所以共有 63216 种涂法答案：2165现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为_解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步，选上衣，从 4 件中
9、任选一件，有 4 种不同选法；第二步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条，有 3 种不同选法故共有 4312 种不同的配法答案：126已知集合 M3，2，1，0，1，2， P(a， b)(a， b M)表示平面上的点，问：(1)点 P 可表示平面上多少个不同的点？(2)点 P 可表示平面上多少个第二象限内的点？解：(1)确定平面上的点 P(a， b)，可分两步完成：第一步确定 a 的值，有 6 种不同方法；第二步确定 b 的值，也有 6 种不同方法根据分步计数原理，得到平面上点 P 的个数为 6636.(2)确定平面上第二象限内的点 P，可分两步完成：第一步确定 a 的值，由于 a0，所以有 2
10、 种不同方法由分步计数原理，得到平面上第二象限内的点 P 的个数为 326.例 3 有一项活动，需在 3 名老师，8 名男同学和 5 名女同学中选人参加6(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？思路点拨 (1)从老师、男、女同学中选 1 人，用分类计数原理(2)从老师、男、女同学中各选 1 人，用分步计数原理(3)分类计数原理与分步计数原理的综合精解详析 (1)有三类选人的方法：3 名老师中选一人，有 3 种方法；8 名男同学中选一人，有 8 种方法；5 名女同学中选一人，有 5 种
11、方法由分类计数原理，共有 38516 种选法(2)分三步选人：第一步选老师，有 3 种方法；第二步选男同学，有 8 种方法；第三步选女同学，有 5 种方法由分步计数原理，共有 385120 种选法(3)可分两类，每一类又分两步第一类：选一名老师再选一名男同学，有 3824种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，共有 3515 种选法由分类计数原理，共有 241539 种选法一点通 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步” ，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准在“分类”时要做到“不重不漏” ，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性7若直线方程 A
12、x By0 中的 A， B 可以从 0，1，2，3，5 这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有_条解析：解决这件事分两类完成：第 1 类，当 A 或 B 中有一个为 0 时，表示直线为 y0 或 x0，共 2 条；第 2 类，当 A， B 都不为 0 时，直线 Ax By0 被确定需分两步完成第 1 步，确定 A 的值，有 4 种不同的方法；第 2 步，确定 B 的值，有 3 种不同的方法由分步计数原理，共可确定 4312(条)直线所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有 21214(条)答案：148从 5 名医生和 8 名护士中选出 1 名医生和 1 名护士组成一个两人医
13、疗组，共有_种不同的选法7解析：完成这件事需分两步：第一步，从 5 名医生中选一名，有 5 种不同的选法；第二步，从 8 名护士中选一名，有 8 种不同的选法，故共有 5840 种不同的选法答案：409某公园休息处东面有 8 个空闲的凳子，西面有 6 个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息(1)若小明的爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明的爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有 8 种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有 6 种坐法根据分类计数原理，小明的爸爸共有 8614 种坐法(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
14、第一步，小明先就坐，从东西面共 8614 个凳子中选一个坐下，共有 14 种坐法；第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共 13 个空闲凳子中选一个坐下，(小明坐下后，空闲凳子数变成 13)共 13 种坐法由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有 1413182 种坐法1利用分类计数原理解题的步骤(1)分类：理解题意，确定分类标准，做到不重不漏；(2)计数：求出每一类中的方法数；(3)结论：将每一类中的方法数相加得最终结果2利用分步计数原理解题的步骤(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果8课下能力提升(一)一、填空题1
15、一项工作可以用 2 种方法完成，有 3 人会用第 1 种方法完成，另外 5 人会用第 2 种方法完成，从中选出 1 人来完成这项工作，不同选法有_种解析：由分类计数原理知，有 358 种不同的选法答案：82有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有_种解析：分四步完成：第一步：第 1 位教师有 3 种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有 3 种选法；第三步：第 3 位教师有 1 种选法；第四步：第 4 位教师有 1 种选法共有 33119 种监考的方法答案：933 名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小
16、组，每人选报一种，则不同的报名种数有_种解析：第 1 名学生有 4 种选报方法；第 2、3 名学生也各有 4 种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有 44464.答案：644某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_种(用数字作答)解析：分两类，第一棒是丙有 12432148(种)；第一棒是甲、乙中一人有21432148(种)，根据分类计数原理得：共有方案 484896(种)答案：965从集合 A1，2，3，4中任取 2 个数作为二次函数 y x2
17、bx c 的系数 b， c，9且 b c，则可构成_个不同的二次函数解析：分成两个步骤完成：第一步选出 b，有 4 种方法；第二步选出 c，由于 b c，则有 3 种方法根据分步计数原理得：共有 4312 个不同的二次函数答案：12二、解答题6从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？解：当公比为 2 时，等比数列可为 1，2，4；2，4，8；当公比为 3 时，等比数列可为1，3，9；当公比为 时，等比数列可为 4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1 和329，6，4 也是等比数列，共 8 个7已知 a3，4，6， b1，2，7，
18、8， r8，9，则方程( x a)2( y b)2 r2可表示多少个不同的圆？解：按 a， b， r 取值顺序分步考虑：第一步： a 从 3，4，6 中任取一个数，有 3 种取法；第二步： b 从 1，2，7，8 中任取一个数，有 4 种取法；第三步： r 从 8、9 中任取一个数，有 2 种取法；由分步计数原理知，表示的不同圆有N34224(个)8书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有 6种方法；第
19、二类方法是从下层取一本语文书，有 5 种方法根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是 6511.答：从书架上任取一本书，有 11 种不同的取法(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有 6 种取法；第二步取一本语文书，有 5 种取法根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是 6530.答：从书架上取数学书与语文书各一本，有 30 种不同的取法10第 2 课时 分类计数原理与分步计数原理的应用例 1 从 0，1，2，3，4，5 这些数字中选出 4 个，能组成多少个无重复数字且能被5 整除的四位数？思路点拨 能被 5 整除的数分为末位数字为 0 及末位数字为
20、 5 两类精解详析 满足条件的四位数可分为两类：第一类是 0 在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步：确定首位有 5 种方法；第二步，确定百位有 4 种方法；第三步，确定十位有 3 种方法所以第一类共有 54360(个)第二类是 5 在末位，前三位数也分三步完成第一步确定首位有 4 种方法，第二步，确定百位有 4 种方法，第三步确定十位有 3 种方法第二类共有 44348(个)所以，满足条件的四位数共有 6048108(个)一点通 对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解1.
21、将 1，2，3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有_种1 2 33 1 22 3 111解析：由于 33 方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起如图中的，当全为 1 时，有 2 种(即第一行第 2 列为 2 或 3，当第二列填 2 时，第三列只能填 3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定)，当全为 2 或 3 时，分别有 2种，共有 6 种；当分别为 1，2，3 时，也共有 6 种，共 12 种答案：122由 0，1，2，3，9 十个数字和一个虚数单位可以组成虚数的个数为_解析：复数 a bi(a， bR)为虚数，则
22、a 有 10 种选法， b 有 9 种选法，根据分步计数原理，共计 90 种选法答案：903从 1，2，3，4 中选三个数字，组成无重复数字的整数，问：满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位偶数解：(1)三位数有三个数位 ，故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从 1，2，3，4 中选 1 个数字，有 4 种方法；第二步，排十位，从剩下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；第三步，排百位，可以从剩下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法根据分步计数原理，共有 43224 个满足要求的三位数(2)分三个步骤完成：第一步，排个位，从 2，4 中选 1 个，有 2 种方法；第二步
23、，排十位，从余下的 3 个数字中选 1 个，有 3 种方法；第三步，排百位，只能从余下的 2 个数字中选 1 个，有 2 种方法故共有 23212 个三位偶数.12例 2 如图，要给地图 A， B， C， D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？思路点拨 根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行计算，注意分类讨论精解详析 按地图 A， B， C， D 四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂 A 区域，有 3 种选择；第二步，涂 B 区域，有 2 种选择；第三步，涂 C 区域，由于它与 A， B 区域颜色不同，有
24、1 种选择；第四步，涂 D 区域，由于它与 B， C 区域颜色不同，有 1 种选择所以根据分步计数原理，得到不同的涂色方案种数共有 32116.一点通 给区域涂色(种植)问题的一般思路：为了便于分析问题，先给区域(种植的品种)标上相应序号，然后按涂色(种植)的顺序分步或颜色(种植的品种)当选情况分类，最后利用两个原理计数4如图，一环形花坛分成 A， B， C， D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同种法的种数为_种解析：先种 A 地有 4 种，再种 B 地有 3 种，若 C 地与 A 地种相同的花，则 C 地有 1种 D 地有 3 种
25、；若 C 地与 A 地种不同花，则 C 地有 2 种， D 地有 2 种，即不同种法的种数为 N43(1322)84.答案：845如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成，我们称这样的图案为 L 型(每次旋转 90仍为 L 型图案)，那么在由 45 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 L型图案的个数是_13解析：因为每四个小方格(22 型)中有 L 型图案 4 个，共有 22 型小方格 12 个，所以共有 L 型图案 41248(个)答案：486. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解：当 B 与 D
26、 同色时，有 4321248 种不同的涂色方法； 当 B 与 D 不同色时，有 4321124 种不同的涂色方法故共有 482472 种不同的涂色方法.例 3 有四位同学参加三项不同的竞赛(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？思路点拨 (1)分四步，让每一位同学都选择一项竞赛；(2)分三步，每一项竞赛都有一名同学参加精解详析 (1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有 3 个不同的机会要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步而每位学生均有 3 个不同机会，所以用分步
27、计数原理可得33333 481 种不同结果(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选 4 位不同学生中的一位要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计数原理可得 4444 364 种不同结果一点通 解答此题，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因是对题意的理解不清，对事情完成的方式有错误的认识7保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，14则有_种不同结果解析：第一个项目可挑选 4 位学生中的一位，有 4 种不同的选法；第二个项目可从剩余的 3 位
28、学生中选一位，有 3 种不同的选法；第三个项目可从剩余的 2 位学生中选一位，有 2 种不同的选法故共有 43224 种不同结果答案：248(1)8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学，每人 1 本，有多少种不同的分法？(2)将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3 位旅客到 4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解：(1)分三步，每位同学取书一本，第 1，2，3 个同学分别有 8，7，6 种取法，因而由分步计数原理，不同分法共有 N876336(种)(2)完成这件事情可以分作四步，第一步，投第一封信，可以在 3 个邮筒中任选一个，因此有 3 种投法；第二步，投第二封
29、信，同样有 3 种投法；第三步，投第三封信，也同样有 3 种投法；第四步，投第四封信，仍然有 3 种投法由分步计数原理，可得出不同的投法共有 N333381 种(3)分三步，每位旅客都有 4 种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N44464 种两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法15课下能力提升(二)一、填空题1用 1，2，3，4 可组成_个三位数解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第一步，确定百位，共有 4 种选择方法；第二步，确定十位，共有 4 种选择方法；第三步，确定个位，共有 4 种选择方法，由分步计数原理可知，可组成 44464 个三位数答案：642若在登录某网站时弹出一个 4
30、 位的验证码：XXXX(如 2a8t)，第一位和第三位分别为 0 到 9 这 10 个数字中的一个，第二位和第四位分别为 a 到 z 这 26 个英文字母中的一个，则这样的验证码共有_个解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有 10 种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有 26 种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有 10 种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有 26 种方法由分步计数原理可得，这样的验证码共有 1026102667 600 个答案：67 6003集合 P x，1， Q y，1，2，其中 x， y1，2，3，9，且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对
31、( x， y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是_解析：当 x2 时， x y，点的个数为 177；当 x2 时， x y，点的个数为717，则共有 14 个点答案：144某人有 3 个不同的电子邮箱，他要发 5 封电子邮件，不同发送方法的种数为_解析：每封电子邮件都有 3 种不同的发法，由分步计数原理可得，共有 35243 种不同的发送方法16答案：2435. 如图，用 6 种不同的颜色把图中 A， B， C， D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_种解析：从 A 开始，有 6 种方法， B 有 5 种， C 有 4 种， D， A 同色 1 种， D， A 不同
32、色 3种，故不同涂法有 654(13)480(种)答案：480二、解答题6某校学生会由高一年级 5 人，高二年级 6 人，高三年级 4 人组成(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选 1 人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有 5 种选择；第二类，从高二年级选一人，有 6 种选择；第三类，从高三年级选一人，有 4 种选择由分类计数原理，共有56415 种选法(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有 5 种选择；第二步，从高二年级选一人，有 6 种
33、选择；第三步，从高三年级选一人，有 4 种选择由分步计数原理，共有564120 种选法(3)分三类：高一、高二各一人，共有 5630 种选法；高一、高三各一人，共有5420 种选法；高二、高三各一人，共有 6424 种选法；由分类计数原理，共有30202474 种选法7用 0，1，9 这十个数字，可以组成多少个(1)三位整数？(2)无重复数字的三位整数？(3)小于 500 的无重复数字的三位整数？解：由于 0 不可在最高位，因此应对它进行单独考虑(1)百位的数字有 9 种选择，十位和个位的数字都各有 10 种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有 91010900 个17(2)由于数字不
34、可重复，可知百位的数字有 9 种选择，十位的数字也有 9 种选择，但个位数字仅有 8 种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有 998648 个(3)百位只有 4 种选择，十位可有 9 种选择，个位数字有 8 种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有 498288 个8.编号为 A， B， C， D， E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且 A 球不能放在 1，2 号， B 球必须放在与 A 球相邻(有公共边)的盒子中，求不同的放法有多少种解：根据 A 球所在位置分三类：(1)若 A 球放在 3 号盒子内，则 B 球只能放在 4 号盒子内，余下的三个盒子放球C， D， E，则根据分步计数原理得，有 3216 种不同的放法；(2)若 A 球放在 5 号盒子内，则 B 球只能放在 4 号盒子内，余下的三个盒子放球C， D， E，则根据分步计数原理得，有 3216 种不同的放法；(3)若 A 球放在 4 号盒子内，则 B 球可以放在 2 号、3 号、5 号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球 C， D， E，有 6 种不同的放法，根据分步计数原理得，有332118 种不同的放法综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有 661830 种
