1、13.2 回归分析1线性回归模型(1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值 x、 y， y 的值不能由 x 完全确定，可将 x， y 之间的关系表示为 y a bx ，其中 a bx 是确定性函数， 称为随机误差(2)随机误差产生的主要原因所用的确定性函数不恰当引起的误差；忽略了某些因素的影响；存在观测误差(3)线性回归模型中 a， b 值的求法y a bx 称为线性回归模型a， b 的估计值为 a ， b ，则(4)回归直线和线性回归方程直线 y_ a_ b_ x 称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程， a 称为回归截距， b 称为回归系数， y 称为回归值2样本相关系数 r 及其性
2、质(1)r (2)r 具有以下性质| r|1| r|越接近于 1， x， y 的线性相关程度越强| r|越接近于 0， x， y 的线性相关程度越弱3对相关系数 r 进行显著性检验的基本步骤(1)提出统计假设 H0：变量 x， y 不具有线性相关关系(2)如果以 95%的把握作出判断，那么可以根据 10.950.05 与 n2 在教材附录 2中查出一个 r 的临界值 r0.05(其中 10.950.05 称为检验水平)(3)计算样本相关系数 r(4)作出统计推断：若| r|r0.05，则否定 H0，表明有 95%的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关关系；若| r| r0.05，则没有理由拒
3、绝原来的假设 H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为 y 与 x 之间有线性相关关系21在线性回归方程中， b 既表示回归直线的斜率，又表示自变量 x 的取值增加一个单位时，函数值 y 的改变量2通过回归方程 y a b x 可求出相应变量的估计值3判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断例 1 假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若
4、由数据可知， y 对 x 呈现线性相关关系(1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？思路点拨 代入数值求线性回归方程，然后把 x10 代入，估计维修费用精解详析 (1)列表如下：i 1 2 3 4 5xi 2 3 4 5 6yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0x2i 4 9 16 25 36经计算得： x4， y5，5 ,i1 x 90，5 ,i1 xiyi112.3，2ia y b x0.08，所以线性回归方程为 y a b x0.081.23 x.(2)当 x10 时， y 0.081.23101
5、2.38(万元)，即若估计使用年限为 10 年时，维修费用为 12.38 万元一点通 线性回归分析的步骤：(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；(2)计算 x， y， n,i1 x ， n,i1 y ， n,i1 xiyi；2i 2i3(3)代入公式求出 y b x a 中参数 b ， a 的值；(4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计1 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析，所得数据如下表：x 6 8 10 12y 2 3 5 6则 y 对 x 的线性回归方程为_解析： 9， 4，x 6 8 10 124 y 2 3 5 64故 y 对 x 的
6、线性回归方程为 y 0.7 x2.3.答案： y 0.7 x2.32某班 5 名学生的数学和物理成绩如表：学生学科 A B C D E数学成绩( x) 88 76 73 66 63物理成绩( y) 78 65 71 64 61(1)画出散点图；(2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是 96，试预测他的物理成绩解：(1)散点图如图(2) x (8876736663)73.2.15y (7865716461)67.8.15xiyi8878766573716664636125 054.5 i 1又 x 88 276 273 266 263 227 174.5
7、i 12i4 y 对 x 的线性回归方程是 y 0.625 x22.05.(3)当 x96 时， y 0.6259622.0582.可以预测他的物理成绩是 82.例 2 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生，他们入学时的数学成绩( x)与入学后第一次考试的数学成绩( y)如下：学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71请问：这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？思路点拨 可先计算线性相关系数 r 的值，然后与 r0.05比较，进而对
8、x 与 y 的相关性作出判断精解详析 x (12010899108)107.8， y (84645771)110 11068.所以相关系数为r73 796 10107.868（ 116 584 10107.82） （ 47 384 10682）0.751.由检验水平 0.05 及 n28，在附录 2 中查得 r0.050.632，因为 0.7510.632，由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系一点通 利用相关系数 r 进行判断相关关系，需要应用公式计算出 r 的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算时应该特别细心，避免出现计算错误53对于回归分析，有下列叙述：(1)
9、在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能自由变量惟一确定(2)线性相关系数可以是正的或是负的(3)回归分析中，如果 r21 或 r1，说明 x 与 y 之间完全线性相关(4)样本相关系数 r(，)判断其说法是否正确解：由回归模型及其性质易知(1)，(2)，(3)是正确的相关系数的取值范围应为|r|1，所以(4)是错误的4一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速 x(转/秒) 16 14 12 8每小时生产有缺点的零件数 y(件) 11 9 8 5对变
10、量 y 与 x 进行线性相关性检验解：由题中数据可得 12.5， 8.25， xiyi438，x y 4 4 412.5， x 660， y 291，所以x y 4 2i 4 2i438 412.5（ 660 625） （ 291 272.25） 0.995.25.5656.25由检验水平 0.05 及 n22 在教材附录表 2 中查得 r0.050.950，因为 rr0.05，所以y 与 x 具有线性相关关系对两个相关变量进行线性回归分析时，首先判断两个变量是否线性相关，可以通过散点图和相关系数判断，然后再求线性回归方程，对问题进行预测，否则求出的回归方程无意义，预测也无价值6课下能力提升(
11、十九)一、填空题1下列命题中正确的是_(填所有正确命题的序号)任何两个变量都具有相关关系；圆的周长与圆的半径具有相关关系；某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究解析：显然是错误的；而中，圆的周长与圆的半径的关系为 C2 R，是一种确定性的函数关系答案：2已知 x， y 的取值如下表：x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7从所得的散点图分析， y 与 x 线性相关，且 y 0.95 x a ，则 a _解析： 2， 4.5.又回归直线恒过定点(
12、， )，代入得 a 2.6.x y x y 答案：2.63从某大学随机选取 8 名女大学生，其身高 x(cm)和体重 y(kg)的线性回归方程为 y 0.849 x85.712，则身高 172 cm 的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为_解析： y 0.84917285.71260.316.答案：60.316 kg4有下列关系：人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；学生与其学号之间的关系其中有相关关系的是_(填序号)解析：由相关关系定义分析答案：5某产品的广告费用 x 与销售额
13、 y 的统计数据如下表：广告费用 x(万元) 4 2 3 5销售额 y(万元 ) 49 26 39 54根据上表可得线性回归方程 y b x a 中的 b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为_万元解析：样本中心点是(3.5，42)，7答案：65.5二、解答题6下面是水稻产量与施肥量的一组观测数据：施肥量 15 20 25 30 35 40 45水稻产量 320 330 360 410 460 470 480(1)将上述数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量
14、由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系7在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格 x(万元)和需求量 y(t)之间的一组数据为1 2 3 4 5价格 x 1.4 1.6 1.8 2 2.2需求量 y 12 10 7 5 3已知5 ,i1 xiyi62，5 ,i1 x 16.6.2i(1)画出散点图；(2)求出 y 对 x 的线性回归方程；(3)如价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少？(精确到 0.01 t)解：(1)散点图如下图所示：(2)因为 x 91.8， y 377.4，15 1588为了分析某个高三学
15、生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析下面是该生 7 次考试的成绩：数学( x) 88 83 117 92 108 100 112物理( y) 94 91 108 96 104 101 106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到 115 分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议解：(1) 100 100；x 12 17 17 8 8 127100 100；y 6 9 8 4 4 1 67 142， ，2数 学9947 2物 理 2507从而 ，物理成绩更稳定2数 学 2物 理(2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系，因为xiyi70 497， x 70 994，7 7 2i所以根据回归系数公式得到当 y115 时， x130，即该生物理成绩达到 115 分时，他的数学成绩大约为 130 分建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.
