1、12.3.1 平面向量基本定理学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识点一 平面向量基本定理思考 1 如果 e1， e2是两个不共线的确定向量，那么与 e1， e2在同一平面内的任一向量 a能否用 e1， e2表示？依据是什么？答案 能依据是数乘向量和平行四边形法则思考 2 如果 e1， e2是共线向量，那么向量 a 能否用 e1， e2表示？为什么？答案 不一定，当 a 与 e1共线时可以表示，否则不能表示梳理 (1)平面向量基本
2、定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.(2)基底：不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点二 向量的正交分解思考 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力 G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力 F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？答案 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底梳理 正交分解的含义一个平面向量用一组基底 e1， e2表示成 a 1e1 2e2的形式，我们称它为向量 a 的分解当 e1， e2所在直线互相垂
3、直时，这种分解也称为向量 a 的正交分解1平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底( )提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底2零向量可以作为基向量( )提示 由于 0 和任意向量共线，故不可作为基向量3平面向量基本定理中基底的选取是唯一的( )提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底2类型一 对基底概念的理解例 1 如果 e1， e2是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是_(填序号) e1 e2( ， R)可以表示平面 内的所有向量；对于平面 内任一向量 a，使 a e1 e2的实数对( ， )有无穷多个；若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共
4、线，则有且只有一个实数 ，使得 1e1 1e2 ( 2e1 2e2)；若存在实数 ， 使得 e1 e20，则 0.答案 解析 由平面向量基本定理可知，是正确的；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当两向量的系数均为零，即 1 2 1 20 时，这样的 有无数个反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来跟踪训练 1 e1， e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是_ e1 e2， e
5、13 e2；3 e12 e2， 4e26 e1； e12 e2， e22 e1； e2， e1 e2；2 e1 e215， e1 e2.110答案 解析 由题意，知 e1， e2不共线，易知中，4 e26 e12(3 e12 e2)，即 3e12 e2与4e26 e1共 线 ， 不 能 作 基 底 中 ， 2e1 e2 2 ， 2e1 e2与 e1 e2共 线 ，15 (e1 110e2) 15 110 不能作基底类型二 用基底表示向量例 2 如图所示，在 ABCD 中， E， F 分别是 BC， DC 边上的中点，若 a， b，试以AB AD a， b 为基底表示 ， .DE BF 3解 四
6、边形 ABCD 是平行四边形， E， F 分别是 BC， DC 边上的中点， 2 ， 2 ，AD BC BE BA CD CF b， a.BE 12AD 12 CF 12BA 12AB 12 DE DA AB BE AD AB BE b a b a b，12 12 b a.BF BC CF AD CF 12引申探究若本例中其他条件不变，设 a， b，试以 a， b 为基底表示 ， .DE BF AB AD 解 取 CF 的中点 G，连结 EG. E， G 分别为 BC， CF 的中点， b，EG 12BF 12 a b.DG DE EG 12又 ，DG 34DC 34AB a b.AB 43D
7、G 43(a 12b) 43 23又 ，AD BC BF FC BF 12DC BF 12AB bAD BC 12(43a 23b) a b.23 43反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解4跟踪训练 2 如图所示，在 AOB 中， a， b， M， N 分别是边 OA， OB 上的点，且OA OB a， b，设 与 相交于点 P，用基底 a， b 表示 .OM 13 ON 12 AN BM OP 解 ， .OP OM MP OP ON NP 设 m
8、 n ，则MP MB NP NA m m( )OP OM MB 13OA OB OM a m (1 m)a mb，13 (b 13a) 13 n n( )OP ON NA 12OB OA ON b n (1 n)b na.12 (a 12b) 12 a， b 不共线，Error! 即Error! a b.OP 15 25类型三 平面向量基本定理的应用例 3 在梯形 ABCD 中，已知 AB CD， AB2 CD， M， N 分别为 CD， BC 的中点，若 ，求 的值AB AM AN 解 方法一 (基向量法)由 ，AB AM AN 得 ( ) ( )，AB 12AD AC 12AC AB 则
9、 0，( 2 1)AB 2AD ( 2 2)AC 得 0，( 2 1)AB 2AD ( 2 2)(AD 12AB )得 0.(14 34 1)AB ( 2)AD 5又因为 ， 不共线，所以由平面向量基本定理得AB AD Error!解得 Error!所以 .45方法二 (待定系数法)如图所示，连结 MN并延长交 AB 的延长线于点 T，由已知易得 AB AT，所以， ，即 45 45AT AB AM AN AT .因为 T， M， N 三点共线，所以 1，所以 .54 AM 54 AN 54 54 45反思与感悟 当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系
10、式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得跟踪训练 3 已知向量 e1， e2是平面 内所有向量的一组基底，且a e1 e2， b3 e12 e2， c2 e13 e2，若 c a b( ， R)，试求 ， 的值解 将 a e1 e2与 b3 e12 e2代入 c a b，得 c (e1 e2) (3e12 e2)( 3 )e1( 2 )e2.因为 c2 e13 e2，且向量 e1， e2是平面 内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组Error!解得Er
11、ror!1已知 a， b， C 为线段 AO 上距 A 较近的一个三等分点， D 为线段 CB 上距 C 较近OA OB 的一个三等分点，则 _.(用 a， b 表示)OD 答案 a b49 132已知向量 e1， e2不共线，实数 x， y 满足(2 x3 y)e1(3 x4 y)e26 e13 e2，则x_， y_.答案 15 126解析 向量 e1， e2不共线，Error! 解得Error!3如图所示，在正方形 ABCD 中，设 a， b， c，则当以 a， b 为基底时， 可AB AD BD AC 表示为_，当以 a， c 为基底时， 可表示为_AC 答案 a b 2 a c解析 由
12、平行四边形法则可知， a b，以 a， c 为基底时将 平移，使点 B 与AC AB AD BD 点 A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到4设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD AB， BE BC，若12 23 1 2 ( 1， 2为实数)，则 1 2的值为_DE AB AC 答案 12解析 DE DB BE 12AB 23BC ( )12AB 23AC AB ，16AB 23AC 又 与 不共线，AB AC 1 ， 2 ， 1 2 .16 23 16 23 121向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据2对基底的理解
13、7(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底3准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决一、填空题1已知 e1， e2是两个不共线向量， a k2e1 e2与 b2 e13 e2共线，则实数(15k2)k_
14、答案 2 或132设 e1， e2是平面内的一组基底，且 a e12 e2， b e1 e2，则e1 e2_ a_ b.答案 23 13解析 由方程组Error!解得Error!所以 e1 e2 a b.(13a 23b) (13a 13b) 23 ( 13)3设点 O 是 ABCD 两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是_ 与 ； 与 ； 与 ； 与 .AD AB DA BC CA DC OD OB 答案 解析 寻找不共线的向量组即可，在 ABCD 中， 与 不共线， 与 不共线，而AD AB CA DC ， ，故可作为基底DA BC OD O
15、B 4已知 e1， e2不共线， a e12 e2， b2 e1 e2，要使 a， b 能作为平面内的一组基底，则实数 的取值范围为_答案 (，4)(4，)8解析 若能作为平面内的一组基底，则 a 与 b 不共线a e12 e2， b2 e1 e2，由 a kb，即得 4.5设向量 e1和 e2是某一平面内所有向量的一组基底，若 3xe1(10 y)e2(4 y7)e12 xe2，则实数 y 的值为_答案 4解析 因为 3xe1(10 y)e2(4 y7) e12 xe2，所以(3 x4 y7) e1(10 y2 x)e20，又因为 e1和 e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以Error!
16、 解得Error!6已知非零向量 ， 不共线，且 2 x y ，若 ( R)，则 x， y 满足的OA OB OP OA OB PA AB 关系是_答案 x y207若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且 4 r s ，则 3r s 的值为_CD DB AB AC 答案 85解析 4 r s ，CD DB AB AC ( ) r s ，CD 45CB 45AB AC AB AC r ， s .45 453 r s .125 45 858设 e1与 e2是两个不共线向量， a3 e14 e2， b2 e15 e2，若实数 ， 满足 a b5 e1 e2，则 ， 的值分别为_答案 1，1解
17、析 由题设 a b(3 e14 e2)(2 e15 e2)(3 2 )e1(4 5 )e2.又 a b5 e1 e2，由平面向量基本定理，知Error!解得 1， 1.9在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O， E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 a， b，则 _.AC BD AF 9答案 a b23 13解析 如图，设 ， ，CF CD AE AF 则 b a，CD OD OC 12 12故 a b.AF AC CF (1 12 ) 12 ( ) a b，AF 1 AE 1 AO OE 1 (12a 14b) 12 14由平面向量基本定理，得
18、Error!Error! a b.AF 23 1310.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 ，AC AE AF 其中 ， R，则 _.答案 43解析 设 a， b，AB AD 则 a b， a b，AE 12 AF 12又 a b，AC ( )，即 ， .AC 23AE AF 23 43二、解答题11判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若 ae1 be2 ce1 de2(a， b， c， dR)，则 a c， b d；(2)若 e1和 e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1 e2， e1 e2表示出来解 (1)错
19、当 e1与 e2共线时，结论不一定成立(2)正确，假设 e1 e2与 e1 e2共线，则存在实数 ，使 e1 e2 (e1 e2)，即(1 )e1(1 )e2.10因为 1 与 1 不同时为 0，所以 e1与 e2共线，这与 e1， e2不共线矛盾所以 e1 e2与 e1 e2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1 e2， e1 e2表示出来12.如图，平面内有三个向量 ， ， .其中 与 的夹角为 120， 与 的夹角为 30，OA OB OC OA OB OA OC 且| | |1，| |2 ，若 ( ， R)，求 的值OA OB OC 3 OC OA OB 解 如图，
20、以 OA， OB 所在射线为邻边， OC 为对角线作平行四边形 ODCE，则 .OC OD OE 在 Rt OCD 中，| |2 ，OC 3 COD30， OCD90，| |4，| |2，故 4 ，OD CD OD OA 2 ，即 4， 2， 6.OE OB 13在梯形 ABCD 中， ， M， N 分别是 DA， BC 的中点，且 k.设 e1， e2，AB CD DCAB AD AB 以 e1， e2为基底表示向量 ， ， .DC BC MN 解 方法一 如图所示， e2，且 k，AB DCAB k ke2.DC AB 又 0，AB BC CD DA BC AB CD DA AB DC A
21、D e1( k1) e2.又 0，MN NB BA AM 11且 ， ，NB 12BC AM 12AD MN AM BA NB 12AD AB 12BC e2.k 12方法二 如图所示，过 C 作 CE DA，交 AB 于点 E，交 MN 于点 F.同方法一可得 ke2.DC 则 ( ) e1( k1) e2，BC BE EC AB DC AD ( )MN MF FN DC 12EB DC 12AB DC e2.k 12方法三 如图所示，连结 MB， MC.同方法一可得 ke2， e1( k1) e2.DC BC 由 ( )，得 ( ) ( ) e2.MN 12MB MC MN 12MA AB
22、 MD DC 12AB DC k 12三、探究与拓展14 A， B， C 是圆 O 上不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D，若 ( R， R)，则 的取值范围是_OC OA OB 答案 (1，)解析 设 k (01.1k15设 e1， e2是不共线的非零向量，且 a e12 e2， b e13 e2.(1)证明： a， b 可以作为一组基底；(2)以 a， b 为基底，求向量 c3 e1 e2的分解式；(3)若 4e13 e2 a b，求 ， 的值(1)证明 若 a， b 共线，则存在 R，使 a b，则 e12 e2 (e13 e2)由 e1， e2不共线，得Error! Error! 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底(2)解 设 c ma nb(m， nR)，则3e1 e2 m(e12 e2) n(e13 e2)( m n)e1(2 m3 n)e2.Error! Error! c2 a b.(3)解 由 4e13 e2 a b，得4e13 e2 (e12 e2) (e13 e2)( )e1(2 3 )e2.Error! Error!故所求 ， 的值分别为 3 和 1.
