1、1第 3 章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧一、利用条件中的角表示目标中的角例 1 设 ， 为锐角，且满足 cos ，tan( ) ，求 cos 的值45 13分析 利用变换 ( )寻找条件与所求之间的关系解 ， 为锐角，且 tan( ) 0，(32， 2 ) 2 (34， )sin 0，故原式 sin . 2 12 12 1 cos 22 12 12cos sin2
2、 2 2点评 一般地，在化简求值时，遇到 1cos 2 ，1cos 2 ，1sin 2 ，1sin 2常常化为平方式：2cos 2 ，2sin 2 ，(sin cos )2，(sin cos )2.三、灵活变角例 3 已知 sin ，则 cos _.( 6 ) 13 (23 2 )解析 cos 2cos 2 1(23 2 ) ( 3 )2sin 2 12 21 .( 6 ) (13) 79答案 79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“ ”表示待求角“ 2 ”，善 6 23于发现前者和后者的一半互余四、构造齐次弦式比，由切求弦例 4 已知 tan ，则 的值是_12 cos21 sin
3、2解析 cos21 sin2 cos2 sin2cos2 sin2 2sin cos 3.1 tan21 tan2 2tan1 141 14 2( 12)3414答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“ ”化为关于 sin 和cos 21 sin 2cos 的二次齐次弦式比五、分子、分母同乘以 2nsin 求 cos cos2 cos4 cos8 cos2n1 的值例 5 求值：sin10sin30sin50sin70.6解 原式 cos 20cos 40cos 8012 4sin 20cos 20cos 40cos 808sin 20 2sin 40cos 40cos 808
4、sin 20 .sin 80cos 808sin 20 116 sin 160sin 20 116点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.4 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为 y Asin(x ) B 的形式求解例 1 求函数 f(x) 的最值sin4x cos4x sin2xcos2x2 sin2x解 原函数变形得： f(x)sin2x cos2x2 sin2xcos2x2 sin2x 1 14sin22x2 sin2x(1 12sin2x)(1 12sin2x)2(1 12sin2x) sin2x . f(x)max ， f(x)min .14 12 34 14
5、例 2 求函数 ysin 2x2sin xcosx3cos 2x 的最小值，并写出 y 取最小值时 x 的集合解 原函数化简得： ysin2 x2cos 2x1sin2 x1cos2 x1sin2 xcos2 x2 sin 2.当 2x 2 k ， kZ，2 (2x 4) 4 32即 x k ， kZ 时， ymin2 .58 2此时 x 的集合为 x|x k ， kZ58点评 形如 y asin2x bsinx cosx ccos2x d(a， b， c， d 为常数)的式子，都能转化成 y Asin(x ) B 的形式求最值二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例 3 求函数 y 的值域2si
6、nx 12sinx 1解 原函数整理得：sin x .y 12y 1|sin x|1， 1 ，解出 y 或 y3.|y 12y 1| 137例 4 求函数 y 的值域sinx 3cosx 4解 原函数整理得：sin x ycosx4 y3， sin(x )4 y3，y2 1sin( x ) . 4y 31 y2|sin( x )|1，解不等式 1 得：| 4y 31 y2| y . 12 2615 12 2615点评 对于形如 y 或 y 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有asinx bcsinx d asinx bccosx d界性去求最值三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例
7、5 设关于 x 的函数 ycos2 x2 acosx2 a 的最小值为 f(a)，写出 f(a)的表达式解 ycos2 x2 acosx2 a2cos 2x2 acosx(2 a1)2 2 .(cosxa2) (a22 2a 1)当 1，即 a2 时， f(a) ymin14 a，此时 cosx1.a2综上所述， f(a)Error!点评 形如 y acos2x bcosx c 的三角函数可转化为二次函数 y at2 bt c 在区间1,1上的最值问题解决例 6 试求函数 ysin xcos x2sin xcosx2 的最值解 设 sinxcos x t， t ， ，则 2sinxcosx t
8、21，原函数变为2 2y t2 t1， t ， ，当 t 时， ymin ；当 t 时， ymax3 .2 212 34 2 2点评 一般地，既含 sinxcos x(或 sinxcos x)又含 sinxcosx 的三角函数采用换元法可以转化为 t 的二次函数解最值注意以下结论的运用，设 sinxcos x t，则sinxcosx (t21)；sin xcos x t，则 sinxcosx (1 t2)12 12四、利用函数的单调性求解例 7 求函数 y 的最值1 sinx3 sinx2 sinx8解 y sin2x 4sinx 3sinx 2 sinx 22 1sinx 2(sin x2)
9、 ，1sinx 2令 tsin x2，则 t1,3， y t .1t利用函数单调性的定义可证函数 y t 在1,3上为增函数1t故当 t1 即 sinx1 时， ymin0；当 t3 即 sinx1 时， ymax .83例 8 在 Rt ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边 BC 上，设 AB a， ABC ，ABC 的面积为 P，正方形面积为 Q.求 的最小值PQ解 AC atan ， P ABAC a2tan .设正方形边长为 x， AG xcos ， BC .12 12 acosBC 边上的高 h asin ， ，AGAB h xh即 ， x ，xcosa asin xasin
10、asin1 sin cos Q x2 .a2sin21 sin cos 2从而 PQ sin2cos 1 sin cos 2sin2 1 .2 sin2 24sin2 (sin24 1sin2 )设 tsin2 (00， B ，且 sinB .513 (0， 2) 1213由 sinA ，得 cosA ，35 45当 cosA 时，cos A .45 12 2311sin B ， B ， B .1213 32 (0， 2) 3故当 cosA 时， A B，与 A， B 是 ABC 的内角矛盾45cos A ，45cosCcos( A B)sin AsinBcos AcosB .1665温馨点评
11、 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和 A B C180这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现.四、忽略三角函数的定义域而致错例 4 判断函数 f(x) 的奇偶性1 sinx cosx1 sinx cosx错解 f(x)1 sinx cosx1 sinx cosx1 2sin x2cos x2 (1 2sin2x2)1 2sin x2cos x2 (2cos2x2 1) tan ，2sin x2(cos x2 sin x2)2cos x2(sin x2 cos x2) x2由此得 f( x)tan tan f(x)，(x2) x2因此函数 f(x)为奇函数剖析 运
12、用公式后所得函数 f(x)tan 的定义域为x2.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致x|x R， x 2k ， k Z错正解 事实上，由 1sin xcos x0 可得sinxcos x1，即 sin 1，从而 sin ，2 (x 4) (x 4) 22所以 x 2 k 且 x 2 k (kZ)， 4 54 4 74故函数 f(x)的定义域是12，x|x 2k 且 x 2k 32， k Z显然该定义域不关于原点对称因此，函数 f(x)为非奇非偶函数温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件
13、的考虑致错五、误用公式 asinx bcosx sin(x )而致错a2 b2例 5 若函数 f(x)sin( x )cos( x )， xR 是偶函数，求 的值错解 f(x)sin( x )cos( x )， f(0)sin cos sin .2 ( 4) f(x)sin( x )cos( x )是偶函数| f(0)| f(x)max . f(0) sin ，2 2 ( 4) 2sin 1， k ， kZ.( 4) 4 2即 k ， kZ. 4剖析 x 与 x 是不同的角函数 f(x)的最大值不是 ，上述解答把 f(x)的最大值误当作 来处理2 2正解 f(x)sin( x )cos( x )是偶函数 f(x) f( x)对一切 xR 恒成立即 sin(x )cos( x )sin( x )cos( x )恒成立sin( x )sin( x )cos( x )cos( x )0.2sin xcos 2sin xsin 0 恒成立即 2sinx(cos sin )0 恒成立cos sin sin 0.2 ( 4) k，即 k ， kZ. 4 4温馨点评 注意公式 asin x bcos x sinx 的左端是同角 x.当三角函数a2 b2式不符合这一特征时，不能使用该公式.例如：函数 fxsin x cosx xR的最大值不是 2.3
