1、1培优点十一 数列求通项公式1.累加、累乘法例 1：数列 na满足： 1，且 12nna，求 na【答案】 2【解析】 1nna， 12nna， L， 12a，累加可得：1211 3nn nnL，2na2 nS与 的关系的应用例 2：在数列 na中， 1，21nnSa，则 na的通项公式为_【答案】,23,nn【解析】当 N时， 1naS，22 21 1nnnnnSS S ，整理可得： 112nnS， 1nS，nS为公差为 2 的等差数列，121nn，1n，1,3,na3构造法例 3：数列 na中， 1， 132na，求数列 na的通项公式2【答案】123na【解析】设 1nna即 132na
2、，对比 132na，可得 1，13na， 是公比为 3 的等比数列，1nn， 12na对点增分集训一、单选题1由 1a，13nna给出的数列 na的第 34 项是（ ）A 0B100 C3410D14【答案】A【解析】由 1a，13nna，则 2314a，317，4103a，501，6163a， L，由此可知各项分子为 1，分母构成等差数列 nb，首项 1，公差为 3d， 34130bd， 50a，故选 A2数列 na满足 12，1nna，则 2018等于（ ）A1B C2 D3【答案】B3【解析】 1n时， 21a， 312a， 412a， 51a，数列的周期是 3， 0827故选 B3在数
3、列 na中，若 12，且对任意正整数 m、 k，总有 mkka，则 na的前n项和为 S（ ）A 31B32nC 1nD312n【答案】C【解析】递推关系 mkka中，令 1可得： 11mmaa，即 12ma恒成立，据此可知，该数列是一个首项 12a，公差 2d的等差数列，其前 n项和为：1 11n nS n故选 C4数列 na的前 项和为 n，若 2nSN，则 2017a的值为（ ）A2 B3 C2017 D3033【答案】A【解析】 20172016aS，故选 A5已知数列 n是递增数列，且对 nN，都有2na，则实数 的取值范围是（ ）A72,B 1,C 2,D 3,【答案】D【解析】
4、na是递增数列， 1na，2n恒成立，即 22n， 1对于 nN恒成立，而 1n在 时取得最大值 3，4 3，故选 D6在数列 na中，已知 12a，12na， ，则 na等于（ ）A21B nC3D31【答案】B【解析】将等式12na两边取倒数得到 12na， 12na，1na是公差为 2的等差数列， 12a，根据等差数列的通项公式的求法得到122nna，故 na故选 B7已知数列 na的前 项和 nS，若 1， 13nSa，则 7（ ）A 4B 534C 64D 641【答案】B【解析】由 13nSa，可得 13nnSa， 2两式相减可得：1na， 2即 4n， 数列 na是从第二项起的等
5、比数列，公比为 4，又 13Sa， 23， 1S72543a故选 B8已知Fxf是 R上的奇函数，110n nffffL，nN则数列 na的通项公式为（ ）A B 21nC 1naD23na【答案】B【解析】由题已知2Fxf是 R上的奇函数，5故 Fx，代入得：142fxfx， R，函数 f关于点,对称，令12tx，则1t，得到 14ftt，0n naffffL，10nnaf ffnL，倒序相加可得 241na，即 21n，故选 B9在数列 n中，若 10， 1na，则 231naaL的值（ ）A1B CnD 1【答案】A【解析】由题意，数列 na中，若 10， 12na， 则 1122 1n
6、na n LL， 11nan， 2311123n nanLL，故选 A10已知数列 n的首项 1，且满足12nnaN，如果存在正整数 n，使得 10na成立，则实数 的取值范围是（ ）A2,B213,C12,D2536,【答案】C【解析】由题意 2n时，621121321123nnn naaa LL，由 10nna，即 10nna， 221kk且 21kka， N，22 21133kk k，其中最小项为234，121 21kk ka ，其中最大项为 1a，因此故选 C11已知数列 n满足 1， *12nnaN， nS是数列 na的前 项和，则（ ）A2018aB10920183C数列 21n是
7、等差数列 D数列 na是等比数列【答案】B【解析】数列数列 na满足 1， *12nnaN，当 2n时，12nn两式作商可得： 1n，数列 a的奇数项 1a， 3， 5， L，成等比，偶数项 2a， 4， 6， L，成等比，对于 A 来说，201810892018 2a，错误；对于 B 来说， 301742018SaaLL10910910922，正确；对于 C 来说，数列 21na是等比数列，错误；对于 D 来说，数列 不是等比数列，错误，7故选 B12已知数列 na满足： 1，12nnaN设112nnbaN，215b，且数列 n是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ）A 2,B312,C
8、1,D 12,【答案】B【解析】数 na满足： 1，12nnaN12na，化为 12nn，数列 n是等比数列，首项为 12a，公比为 2，12na，12nnnb，215b，且数列 n是单调递增数列， 2， 25，解得 12，由 21nb，可得1，对于任意的 nN恒成立，3，故答案为32故选 B二、填空题13已知数列 na的前 项和为 nS，且2n，则 na_【答案】 21【解析】数列 n的前 项和为 n，且2n，8211nSn，两式想减得到 21na此时 ，检验当 时， 13符合题意，故 n故答案为 21na14数列 na中，若 1， nna，则 na_【答案】1【解析】 1a， 1nna，则
9、 11na， n故答案为 15设数列 na满足12nnaN， 12a， n_【答案】2【解析】12nna，1 12n， n，213a，累加可得 12na， 12a，1， n故答案为21na16已知数列 n满足 1， 4513nna，则123naa_【答案】1n【解析】令 4nba，则 114nnba，由题意可得 13n，即 130nnbb，整理可得 1nb，令ncb，则 13nc，由题意可得1132nncc，9且 114cba， 1324c，故1324nnc，即32nnc， 3nnbc，13nnba，321nna，据此可知121231 3nnaa LL三、解答题17已知各项均为正数的数列 na
10、的前 项和为 nS，且24nnaS（1）求 nS；（2）设 1nnbS，求数列1nb的前 项和 nT【答案】 （1）2nS；（2） 1nT【解析】 （1）由题意得2114nnaS，两式作差得 1120nnaa，又数列 na各项均为正数， 20n，即 2，当 1时，有2114Sa，得 1，则 1a，故数列 na为首项为 2 公差为 2 的等差数列，21nSdn（2） 111nnbS， 1()1nniiTi18在数列 na中， 14， 21nna（1）求证：数列是等差数列；10（2）求数列1na的前 项和 nS【答案】 （1）见解析；（2） 21nS【解析】 （1） 21nna的两边同时除以 1n，得12naN，数列n是首项为 4，公差为 2 的等差数列 （2）由（1） ，得na，2na，故211 12nnn，131nSn 112222nn
