1、1培优点十二 数列求和1错位相减法例 1：已知 na是等差数列，其前 n项和为 nS， b是等比数列，且 12ab，427b，0S（1）求数列 na与 b的通项公式；（2）记 121nTaL， N，求证： 120nnTab【答案】 （1） 3na， b；（2）见解析【解析】 （1）设 的公差为 d， n的公比为 q，则 34112727ababq， 34110460Sbadbq，即3860dq，解得：d，1na， 2nb（2） 234nTL，23+11nn， 得123124231 31nnnnT nL02，所证恒等式左边 10231n，右边 21023102nnab，即左边 右边，所以不等式得
2、证2裂项相消法例 2：设数列 na，其前 项和 23nS， nb为单调递增的等比数列， 1235b，13ab2（1）求数列 na， b的通项公式；（2）若 21nncb，求数列 nc的前 项和 nT【答案】 （1） 63na，12nb；（2） 12n【解析】 （1） 2时， 363Sn，当 n时， 13a符合上式， 6na， b为等比数列 3251b， 28b，设 n的公比为 q，则1328,q，而 315a，135ab，解得 或 2， n单调递增， 2q， 21nnb（2） 1112nn nnnc，11223 1nn nnT L L112nn对点增分集训一、单选题1已知等差数列 na中 91
3、8S， 240n， 439na，则项数为（ ）A10 B14 C15 D17【答案】C【解析】1995182aS， 52a，315423042nnnaaS， 15n，故选 C2在等差数列 n中，满足 47，且 1a， nS是 a前 项的和，若 nS取得最大值，则 （ ）A7 B8 C9 D10【答案】C【解析】设等差数列首项为 1a，公差为 d，由题意可知 1430ad， 1，211352ndaSan，二次函数的对称轴为5874n.，开口向下，又 nN，当 9时， nS取最大值故选 C3对于函数 yfx，部分 与 y的对应关系如下表：1 2 3 4 5 6 7 8 9y3 7 5 9 6 1
4、8 2 4数列 nx满足： 1，且对于任意 nN，点 nx,都在函数 yfx的图象上，则12205（ ）A7554 B7549 C7546 D7539【答案】A【解析】由题意可知： 13f， 5f， 6f， 1f， 3fL，点 1nx,都在函数 yfx的图象上，则 1x， 23， 5x， 46， 51x，则数列 是周期为 4 的周期数列，由于 20153，且 123415xx，故 2015 7xx 故选 A44设等差数列 na的前 项和 nS， 4a， 51S，若数列 1na的前 m项和为10，则 m（ ）A8 B9 C10 D11【答案】C【解析】 nS为等差数列 na的前 项和，设公差为
5、d， 4a， 51S，则4531aS，解得 1d，则 4nan由于 1na，则111023mSmL，解得 0m故答案为 10故选 C5在等差数列 na中，其前 项和是 nS，若 90， 1S，则在1Sa，2， L，9Sa中最大的是（ ）A1SaB8aC5aD9Sa【答案】C【解析】由于199502aS，1015602aSa，可得 50a， 6，这样1S，2， L，50Sa，6， L，90Sa，而 125SL，125aaL，在 1S， 2， ，9S中最大的是5Sa故选 C6设数列 n的前 项和为 n，则对任意正整数 n， S（ ）5A12nB12nC12nD12n【答案】D【解析】数列 1n是首
6、项与公比均为 1的等比数列其前 n项和为2nnnS故选 D7已知数列 na满足 1， 11nnaa，124nnnaab，12nTb，若 nmT恒成立，则 m的最小值为（ ）A0 B1 C2 D12【答案】D【解析】由题意知，12nnab，由 11nnaa，得 111222nnann ，12 1113522nnTb n LL， n恒成立，m，故 最小值为12，故选 D8数列 a的前 n项和为 nS，若 nna，则 2018S（ ）A2018 B1009 C2019 D1010【答案】B【解析】由题意，数列 na满足 1nn， 20182342017823420178SaLL09，故选 B9已知数
7、列 na中， 12321naaN，则22213naa等于（ ）6A143nB123nC 41nD 21n【答案】A【解析】设 1231nnSaaN，由1,nna，解得1n，令214nb，故22213413nnaa故选 A10已知函数2sinf，且 nf，则 12320aaL（ ）A20100 B20500 C40100 D10050【答案】A【解析】 naf，当 n为偶数时，223sinf n，当 为奇数时，223sif，故2221232014190aaLL-90319201故选 A11已知数列 na满足： 12， a， 112nnaN,，则132435a2018的整数部分为（ ）A0 B1
8、C2 D3【答案】B【解析】1111 111nn nnnn naaaaa1111nnnnnaaa，原式 123201892012019aL，7当 3n时，20192019,naaa，整数部分为 1，故选 B12对于任意实数 x，符号 表示不超过 x的最大整数，例如 3， 12 ，12已知数列 na满足 2logn，其前 n项和为 nS，若 0是满足 08nS的最小整数，则 0的值为（ ）A305 B306 C315 D316【答案】D【解析】由题意， 2logna，当 1n时，可得 10a， （1 项）当 12n时，可得 3， （2 项）当 23时，可得 457aaL， （4 项）当 34n时
9、，可得 89153， （8 项）当 452时，可得 16734aaL， （16 项）L当 1nn时，可得 1212n n， （ n项）则前 项和为1342nSL，2345112nn ，两式相减得32nSL， 1122018nn，此时 n，当 8时，对应的项为 83162a，即 06，故选 D二、填空题13已知数列 na满足 12nna，记 nS为 a的前 n项和，则840S_【答案】440【解析】由 12nna可得：当 2k时，有 2k， 当 1n时，有 121kka， 当 2k时，有 kk， 有 241ka， 有 21kka，则 4013573946840S aLL0712故答案为 4401
10、4 n表示不超过 n的最大整数若 123S，2456780S，391012314521 ，L，则 nS_【答案】 21， nN【解析】第一个等式，起始数为 1，项数为 2341， 13S，第二个等式，起始数为 2，项数为 259， 25，第三个等式，起始数为 3，项数为 71643， 7S，L第 n个等式，起始数为 n，项数为 211n， 21nS， nN，故答案为 21nS，N15已知函数13sin2fxx，则91220182099fff_；【答案】2018【解析】1113sin3sin22fafaa2sinsin2，设12018099Sfff， 则2871201fff， 得804369Sf
11、f， 218故答案为 201816定义 12nppL为 个正整数 1p， 2， L， np的“均倒数” ，若已知数列na的前项的 “均倒数 ”为15n，又 5nab，则 12310bbL_；【答案】02【解析】数列 na的前 项的“均倒数”为 5n，15nS，解得25nS， 1aS，当 2时， 215105an，当 1n时，上式成立，则 0na，25nab， 11122nbn，则 12310103571922 LL10故答案为102三、解答题17正项等差数列 na中，已知 0na， 1235a，且 12a， 5， 31a构成等比数列 nb的前三项（1）求数列 a， n的通项公式；（2）求数列
12、b的前 项和 nT【答案】 （1） 21na，152n；（2） 521nnT【解析】 （1）设等差数列的公差为 d，则由已知得： 123215aa，即 2，又 52310d，解得 2或 （舍去） ， 13d， 12nan，又 5b， 2510ba， 2q，152nb；（2） 2137nnT ，2352，两式相减得 21 2512nnnnT，则 521n18已知 nS为数列 na的前 项和，且 12a， 0n，263nnSa， N（1）求数列 的通项公式；（2）若对 nN，2(1)nnba，求数列 nb的前 2项的和 2nT【答案】 （1） 3a；（2）2283nT【解析】 （1） 6nnS， N，当 2n时， 221133nnaaa，化为111130nnaa， 0， ，当 1n时，21163a，且 12a，解得 1a数列 n是等差数列，首项为 1，公差为 3 312nn；（2）22(1)()3nba 1265)173621n n， nb的前 项的和223 183n nT nL
