1、1培优点十八 离心率1离心率的值例 1：设 1F， 2分别是椭圆 2:10xyCab的左、右焦点，点 P在椭圆 C上，线段 P的中点在 y轴上，若 123PF，则椭圆的离心率为（ ）A 3B 6C 13D 16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形 12PF ，由线段 1PF的中点在 y轴上， O为 12F中点可得2PFy轴，从而 12，又因为 1230，则直角三角形 12 中，1:，且 122aPF， 12cF，所以 123FceaP，故选 A2离心率的取值范围例 2：已知 F是双曲线21xyab0,b的左焦点， E是该双曲线的右顶点，过点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A， B两点，若 A
2、 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e的取值范围为（ ）A 1,B 1,2C 1,2D 2,1【答案】B【解析】从图中可观察到若 AE 为锐角三角形，只需要 AEB为锐角由对称性可得只需 0,4AEF即可且 F， 均可用 a， b， c表示， F是通径的一半，得：22bAFa， Ec，所以 22tn112bcacaea，即 1,2，故选 B对点增分集训一、单选题1若双曲线 2:10,xyCab的一条渐近线经过点 2,1，则该双曲线 C的离心率为（ ）A 0B 5C 132D 52【答案】D【解析】 双曲线的渐近线过点 2,1， 代入 byxa，可得： 1ba，即 12ba，2251cbea，故
3、选 D2倾斜角为 4的直线经过椭圆 210xyab右焦点 F，与椭圆交于 A、 B两点，且 AFB，则该椭圆的离心率为（ ）A 3B 2C 3D 32【答案】A【解析】设直线的参数方程为2xcty，代入椭圆方程并化简得22410abtctb，所以212t，4122ta，由于 2AFB，即 12t，代入上述韦达定理，化简得 228cab，即29c， 3故选 A3 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股” ，讲述了“勾股定理”3及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾” “股” “弦” 设1F、 2分别是双曲线 20,xyab，的左、右焦点， P是该
4、双曲线右支上的一点，若 1PF， 2分别是 12RtP 的“勾” “股” ，且 124Fab，则双曲线的离心率为（ ）A B 3C2 D 5【答案】D【解析】由双曲线的定义得 12PFa，所以 214PFa，即 221124PF，由题意得 2，所以 222114PFc，又 124ab，所以 228cab，解得 ba，从而离心率 5cea，故选 D4已知双曲线 210,:xyC的一个焦点 F与抛物线 20:Cypx的焦点相同，它们交于 A， B两点，且直线 AB过点 ，则双曲线 1的离心率为（ ）A 2B 3C 2D2【答案】C【解析】设双曲线 1C的左焦点坐标为 ,0Fc，由题意可得： ,0F
5、c， 2p，则 ,2pA， ,Bp，即 ,2A， ,B，又： Fa， 2222FFcc，据此有： 2c，即 1ca，则双曲线的离心率： 2cea本题选择 C 选项5已知点 0,Pxy在椭圆 2:10xyCab上，若点 M为椭圆 C的右顶点，且 OM（ 为坐标原点） ，则椭圆 的离心率 e的取值范围是（ ）4A 30,B 0,1C 2,1D 20,【答案】C【解析】由题意 POM，所以点 P在以 OM为直径的圆上，圆心为 ,02a，半径为 2a，所以圆的方程为：224axy，与椭圆方程联立得：2210bxab，此方程在区间 0,a上有解，由于 a为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要
6、介于 2a与 之间，所以 21ab，结合 22bc，解得21ac，根据离心率公式可得 12e故选 C6已知椭圆 20xyab，点 A， B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 P，使得 10APB，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）A 2B 32C 63D 34【答案】C【解析】设 M为椭圆短轴一端点，则由题意得 120AMBP，即 60AMO，因为 tanOAb，所以 tan603， ab， 3ac， 23ac，23e， 6，故选 C7已知双曲线21xyab的左，右焦点分别为 1F， 2，点 P在双曲线的右支上，且124PF，则此双曲线的离心率 e的最大值为（ ）5A 43B 53C2 D 73【
7、答案】B【解析】由双曲线的定义知 12PFa ；又 124PF， 联立解得 183a， 23，在 12PF 中，由余弦定理，得22212641799cos883acFPe，要求 e的最大值，即求 12s的最小值，当 12cosFP时，解得 53e，即 的最大值为 53，故选 B解法二：由双曲线的定义知 12PFa ，又 124PF， ，联立解得183a， 23a，因为点 在右支所以 2ca，即 3ca故 53c，即e的最大值为 5，故选 B8已知椭圆 210xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，点 P在椭圆上， O为坐标原点，若 12OPF，且 21PF，则该椭圆的离心率为（ ）A 34B
8、3C 12D 2【答案】D【解析】由椭圆的定义可得， 12PFa，又 21PFa，可得 ，即 为椭圆的短轴的端点，Ob，且 12c，即有 2bac，即为 2ac， 2ea故选D9若直线 yx与双曲线 210xyab有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A 1,5B ,5C 5,D 5,6【答案】D【解析】双曲线 210xyab的渐近线方程为 byxa，由双曲线与直线 有交点，则有 2，即有21+45ce，则双曲线的离心率的取值范围为 5,，故选 D10我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线” 已知 1F，2F是一对相关曲线的焦点， 1e， 2分别是椭圆和双曲线的离
9、心率，若 为它们在第一象限的交点， 1260P，则双曲线的离心率 2e（ ）A B2 C 3D3【答案】C【解析】设 1,0Fc， 2,，椭圆的长半轴长为 a，双曲线的实半轴长为 m，可得 2Pa， 1PFm，可得 1PFm， 2，由余弦定理可得 22cos60，即有 22 24 3camaa，由离心率公式可得 2134e， 12e，即有 420e，解得 23e，故选 C11又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了已知直线 :10lkxy与椭圆21:0xyCab交于 A、 B两点，与圆 222:1Cx交于 、 D两点若存在 ,1k，使得 CD，则椭圆 1的离心率的取值范围是（ ）A 1
10、0,2B ,2C 20,D 2,1【答案】C【解析】直线 :10lkxy，即 210kxy，直线 l恒过定点 2,， 直线 l过圆 2C的圆心，7ACDB， 2CB， 2的圆心为 A、 B两点中点，设 1,xy， 2,xy，12yab，上下相减可得： 12121212xyyab，化简可得 1212xybkyx， 2ka，2,bka，20,ea，故选 C12已知点 P为双曲线 21xyb右支上一点，点 1F， 2分别为双曲线的左右焦点，点 I是 12F 的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 12123IPIFIFSS 成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A 1,2B ,C 0,3D ,【答案
11、】D【解析】设 12PF 的内切圆半径为 r，由双曲线的定义得 12PFa， 12Fc，1Sr， 221PFS ， 12PFScr ，由题意得 123rc，故 233a，故 3cea，又 e，所以，双曲线的离心率取值范围是 1,，故选 D二、填空题813已知抛物线 20ypx与双曲线 210,xyabb有相同的焦点 F，点 A是两曲线的一个交点，若直线 AF的斜率为 3，则双曲线的离心率为 _【答案】 723【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为 1F，由于 AF的斜率为 3，所以 60BAF，且 AB，所以 F 是等边三角形，所以 10B，所以 123c， 4c，所以 2264os028
12、c，所以 17AF，由双曲线的定义可知 74ac，所以双曲线的离心率为 72314已知双曲线 210,xyab，其左右焦点分别为 1F， 2，若 M是该双曲线右支上一点，满足 123MF，则离心率 e的取值范围是_【答案】 ,【解析】设 点的横坐标为 x， 123MF， 在双曲线右支上 xa，根据双曲线的第二定义，可得223aexexcc， exa， ， a， 2， 1e， 2e，故答案为 1,2915已知椭圆 210xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，过 1的直线与椭圆交于A， B的两点，且 2AF轴，若 P为椭圆上异于 A， B的动点且 14PABPFS ，则该椭圆的离心率为_【答案】
13、 3【解析】根据题意，因为 2AFx轴且 2,0c，假设 A在第一象限，则2,bAca，过 B作 Cx轴于 ，则易知 121BFC ，由 14PAPBFS 得 3，所以 3A， 1213CF，所以25,3bca，代入椭圆方程得259cba，即 259cba，又 22，所以 2c，所以椭圆离心率为 3ea故答案为 316在平面直角坐标系 xOy中，记椭圆 210xyba的左右焦点分别为 1F， 2，若该椭圆上恰好有 6 个不同的点 P，使得 12FP 为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是_【答案】 1,32【解析】椭圆上恰好有 6 个不同的点 P，使得 12FP 为等腰三角形， 6 个不同
14、的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设 P在第一象限， 1PF，当 12Fc时， 212PFac，即 2ac，解得 2e，又因为 1e，所以 1，当 21PFc时， 12PFac，10即 2ac且 2ac，解得： 132e，综上 1e或 13三、解答题17已知双曲线 2:10,xyCab的的离心率为 3，则（1）求双曲线 的渐进线方程（2）当 a时，已知直线 xym与双曲线 C交于不同的两点 A， B，且线段 A的中点在圆 25xy上，求 的值【答案】 （1） x；（2） 1【解析】 （1）由题意，得 3cea， 2ca， 22bca，即2b
15、，所求双曲线 C的渐进线方程 2yxa（2）由（1）得当 1a时，双曲线 C的方程为21y设 A， B两点的坐标分别为 1,xy， 2,，线段 AB的中点为 0,Mxy，由210yxm，得 20m（判别式 0） ， 120， 0yx，点 0,Mx在圆 25上， 225， 1m18已知椭圆 2:10xyCab的左焦点为 1,0F，离心率 2e11（1）求椭圆 C的标准方程；（2）已知直线 l交椭圆 于 A， B两点若直线 经过椭圆 的左焦点 F，交 y轴于点 P，且满足 AF， PB求证：为定值；若 OAB，求 A 面积的取值范围【答案】 （1）21xy；（2）见解析， 322OABS 【解析】
16、 （1）由题设知， ca， 1，所以 a， 1c， 2b，所以椭圆 C的标准方程为2xy（2）由题设知直线 l斜率存在，设直线 l方程为 1ykx，则 0,Pk设 1,Axy， 2,Bxy，直线 l代入椭圆2x得 2240x，所以 24k，21k，由 PAF， B知1x， 2x， 22121222441kx k当直线 OA， B分别与坐标轴重合时，易知 OABS 当直线 ， 斜率存在且不为 0 时，设 :ykx， 1:yxk，设 1,xy， 2,xy，直线 kx代入椭圆 C得到 220，12所以 212xk，21ky，同理221kx， 212yk2425OABS kk，令 21tk，则22 22115194OABttSt tt ，因为 10,t，所以299244t，故 3OABS ，综上 322OABS
