1、1培优点四 共点力的平衡一、考点分析1. 从历年命题看，对共点力平衡的考查，常以选择题的形式出现，以物体的平衡状态为背景，考查整体与隔离法、受力分析、正交分解与共点力平衡，同时对平衡问题的分析在后面的计算题中往往也有所涉及。2. 解决平衡问题常用方法：(1)静态平衡：三力平衡一般用合成法，合成后力的问题转换成三角形问题；多力平衡一般用正交分解法；遇到多个有相互作用的物体时一般先整体后隔离。(2)动态平衡：三力动态平衡常用图解法、相似三角形法等，多力动态平衡问题常用解析法，涉及到摩擦力的时候要注意静摩擦力与滑动摩擦力的转换。二、考题再现典例 1. (2017全国卷21)如图，柔软轻绳 ON 的一
2、端 O 固定，其中间某点 M 拴一重物，用手拉住绳的另一端 N。初始时， OM 竖直且 MN 被拉直， OM 与 MN 之间的夹角为 。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角 不变。在 OM 由竖直被拉到水平的( 2)过程中( )A MN 上的张力逐渐增大B MN 上的张力先增大后减小C OM 上的张力逐渐增大D OM 上的张力先增大后减小【解析】方法一 设重物的质量为 m，绳 OM 中的张力为 T ，绳 MN 中的张力为 TMN。开始OM时， T mg， TMN0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物OM的重力 mg 等大、反向。如图所示，已知角 不变，在绳 MN 缓慢拉
3、起的过程中，角 逐渐增大，则角( )逐渐减小，但角 不变，在三角形中，利用正弦定理得： ，( )由钝角变为锐角，则 TOM先TOMsin mgsin 2增大后减小，选项 D 正确；同理知 ，在 由 0 变为 的过程中， TMN一直TMNsin mgsin 2增大，选项 A 正确。方法二(此解法要求考生能够根据重物所受的两个拉力的夹角大小不变、合力不变这一特点联想到圆周上弦长恒定时所对的圆周角不变这一数学规律，从而作出力的三角形) 以重物为研究对象，受重力 mg， OM 绳上拉力F2， MN 上拉力 F1，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、 F2的夹角为(- )不变，在 F
4、2转至水平的过程中， MN 上的张力 F1逐渐增大， OM 上的张力 F2先增大后减小，所以 A、D 正确，B、C 错误。【答案】AD典例 2. (2016全国 I 卷19)如图，一光滑的轻滑轮用细绳 OO悬挂于 O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块 a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块 b。外力 F 向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若 F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块 b 仍始终保持静止，则( )A绳 OO的张力也在一定范围内变化B物块 b 所受到的支持力也在一定范围内变化C连接 a 和 b 的绳的张力也在一定范围内变化D物块 b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化【解析】
5、由于物体 a、 b 均保持静止，各绳角度保持不变，对 a 受力分析得，绳的拉力T mag，所以物体 a 受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b 受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C 选项错误； a、 b 受到绳的拉力大小、方向均不变，所以 OO的张力不变，A 选项错误；对 b 进行受力分析，如图所示。由平衡条件得：Tcos f Fcos ， Fsin FN Tsin mbg。其中 T 和 mbg 始终不变，当 F 大小在3一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B 选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D 选项正确。【答案】BD三、对点速练1. 如图所示，一只半径为
6、 R 的半球形碗倒扣在水平桌面上，处于静止状态。一质量为 m 的蚂蚁(未画出)在离桌面高度为 R 时恰能停在碗上，则蚂蚁受到的最大静摩擦力大小为( )45A0.6 mg B0.8 mgC0.4 mg D0.75 mg【答案】A【解析】蚂蚁受重力、支持力和最大静摩擦力，根据平衡条件有Fm mgsin ，而 cos 0.8，所以 Fm mg cos 0.6 mg，故A 正确。2. 如图所示，三根长度均为 L 的轻绳分别连接于 C、 D 两点， A、 B 两端被悬挂在水平天花板上，相距 2L，现在 C 点上悬挂一个质量为 m 的重物，为使 CD 绳保持水平，在 D 点上可施加力的最小值为( )A m
7、g B. mg C. mg D. mg33 12 14【答案】C【解析】由题图可知，要使 CD 水平，各绳均应绷紧，则 AC 与水平方向的夹角为 60；结点 C 受力平衡，受力分析如图所示，则 CD 绳的拉力 FT mgtan 30 mg； D 点受绳子拉力大小等于 FT，方向向33左；要使 CD 水平， D 点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对 D 点的拉力可分解为沿 BD 绳的 F1，及另一分力 F2，由几何关系可知，当力 F2与 BD 垂直时， F2最小，而 F2的大小即为拉力的大小，故最小力 F FTsin 60 mg。故 C 正确。123(多选)如图所示，小球 A 置于固定在水
8、平面上的光滑半圆柱体上，小球 B 用水平轻弹簧拉着系于竖直板上，两小球 A、 B 通过光滑滑轮 O 用轻质细线相连，两球均处于静止状态，4已知 B 球质量为 m， O 点在半圆柱体圆心 O1的正上方， OA 与竖直方向成 30角， OA 长度与半圆柱体半径相等， OB 与竖直方向成 45角，则下列叙述正确的是( )A小球 A、 B 受到的拉力 FTOA与 FTOB相等，且 FTOA FTOB mgB弹簧弹力大小为 mgC A 球质量为 mA m6D光滑半圆柱体对 A 球支持力的大小为 mg【答案】BC【解析】对 B 受力分析可知：细线的拉力 FTOB mg，则 FTOA FTOB mg，mgc
9、os 45 2 2选项 A 错误；弹簧弹力大小 F mgtan 45 mg，选项 B 正确；对 A 球受力分析可知：mAg2 FTOAcos 30，解得 mA m，选项 C 正确；光滑半圆柱体对 A 球支持力的大小为6FN FTOA mg，选项 D 错误。24. 如图所示，倾角为 的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体 a 放在斜面上，轻质细线一端固定在物体 a 上，另一端绕过光滑的滑轮固定在 c 点，滑轮 2 下悬挂物体 b，系统处于静止状态。若将固定点 c 向右移动少许，而 a 与斜劈始终静止，下列说法错误的是( )A斜劈对物体 a 的摩擦力一定减小 B斜劈对地面的压力一定不变C细线对物体 a
10、的拉力一定增大 D地面对斜劈的摩擦力一定增大【答案】A5. (多选)如图所示，两个相同的固定斜面上分别放有一个处于静止的三角形木块 A、 B，它们的质量相等。 A 木块左侧面沿竖直方向， B 木块左侧面垂直于斜面，在两斜面上分别放上一个相同的光滑球后，木块仍保持静止，则放上球后( )A A 木块受到的摩擦力等于 B 木块受到的摩擦力B A 木块受到的摩擦力小于 B 木块受到的摩擦力C A 木块对斜面的压力等于 B 木块对斜面的压力D A 木块对斜面的压力小于 B 木块对斜面的压力【答案】AD【解析】设小球的质量为 m， A、 B 的质量为 M，斜面的倾角为 。以小球与 A 整体为研究对象，由平
11、衡条件可得： A 木块受5到的摩擦力 fA( M m)gsin ，同理，以小球与 B 整体为研究对象，得到 B 木块受到的摩擦力 fB( M m)gsin ，则 fA fB，故 A 正确，B 错误。以 A 为研究对象，分析受力，如图所示，由平衡条件得：斜面对 A 的支持力 NA Mgcos N1sin ，以 B 为研究对象，分析受力，由平衡条件得：斜面对 B 的支持力 NB Mgcos ，则得 NANB。由牛顿第三定律可知， A 木块对斜面的压力小于 B 木块对斜面的压力，故 C 错误、D 正确。6. 如图所示，倾角 30的斜面体 A 静止在水平地面上，一根轻绳跨过斜面体顶端的小滑轮，绳两端系
12、有质量均为 m 的小物块 a、 b，整个装置处于静止状态。现给物块 b 施加一个水平向右的力 F，使 b 缓慢移动直到轻绳与竖直方向成 30角(不计绳与滑轮间的摩擦)，对此过程说法正确的是( )A b 受到绳的拉力先增大再减小B小物块 a 受到的摩擦力先增大再减小C水平拉力 F 逐渐增大D小物块 a 一定沿斜面缓慢上移【答案】C【解析】 b 受力平衡，对 b 受力分析，如图甲所示。设绳与竖直方向的夹角为 ， b 缓慢移动直到与竖直方向成 30角的过程中， 变大，根据平行四边形定则可知， T 逐渐增大， F 逐渐增大，故 A 错误，C 正确；对 a 受力分析，如图乙所示。刚开始 T mg， a
13、处于静止状态，则f T mgsin 30 mg，方向向下， T 增大时， f 增大，摩擦力增大，由于不知道最大静摩擦12力的具体值，所以不能判断 a 是否会滑动，故 B、D 错误。7一铁球通过 3 段轻绳 OA、 OB、 OC 悬挂在天花板上的 A 点，轻绳 OC 拴接在轻质弹簧测力计上。第一次，保持结点 O 位置不变，某人拉着轻质弹簧测力计从水平位置缓慢转动到竖直位置，如图甲所示，弹簧测力计的示数记为 F1。第二次，保持轻绳 OC 垂直于 OA，缓慢移动轻绳，使轻绳 OA 从竖直位置缓慢转动到如图乙所示位置，弹簧测力计的示数记为 F2。则( )A F1先增大后减小， F2逐渐减小B F1先增
14、大后减小， F2逐渐增大6C F1先减小后增大， F2逐渐减小D F1先减小后增大， F2逐渐增大【答案】D【解析】对图中的 O 点受力分析，两根绳的合力等于铁球的重力，其大小和方向不变，如图所示。a 图中 F1先减小，后增大；b 图中 F2逐渐增大，选项 D 正确。8. (多选)如图所示，木板 P 下端通过光滑铰链固定于水平地面上的 O 点，物体 A、 B 叠放在木板上且处于静止状态，此时物体 B 的上表面水平。现使木板 P 绕 O 点缓慢旋转到虚线所示位置，物体 A、 B 仍保持静止，与原位置的情况相比( )A A 对 B 的作用力减小 B B 对 A 的支持力减小C木板对 B 的支持力增
15、大 D木板对 B 的摩擦力增大【答案】BC【解析】设木板与水平地面的夹角为 。以 A 为研究对象， A 原来只受到重力和支持力而处于平衡状态，所以 B 对 A 的作用力与 A 的重力大小相等，方向相反；当将 P 绕 O 点缓慢旋转到虚线所示位置， B 的上表面不再水平， A 受力情况如图 1， A 受到重力和 B 对 A 的支持力、摩擦力三个力的作用，其中 B 对 A 的支持力、摩擦力的合力仍然与 A 的重力大小相等，方向相反，则 B 对 A 的作用力保持不变。根据牛顿第三定律可知， A 对 B 的作用力也不变，故 A 错误；当将 P 绕 O 点缓慢旋转到虚线所示位置时，设 B 的上表面与水平
16、方向之间的夹角是 ，由于支持力与摩擦力相互垂直，则 N1 GAcos ，所以 A 受到的支持力一定减小了，故 B 正确；以 AB 整体为研究对象，分析受力情况如图 2，总重力 GAB、木板的支持力 N2和摩擦力 f2， N2 GABcos ， f2 GABsin ， 减小， N2增大， f2减小，故 C 正确，D 错误。9. 表面光滑、半径为 R 的半球固定在水平地面上，球心 O 的正上方 O处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为 L12.4 R 和 L22.5 R，则这两个小球的质量之比为 ，小球m1m2与半球
17、之间的压力之比为 ，则以下说法正确的是( )N1N27A. B. m1m2 2425 m1m2 2524C. 1 D. N1N2 N1N2 2425【答案】B【解析】先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力 m1g、绳子的拉力 T 和半球的支持力 N1，作出受力示意图。由平衡条件得知，拉力 T 和支持力 N1的合力与重力 m1g 大小相等、方向相反。设 OO h，根据三角形相似得： TL1 m1gh N1R同理，对右侧小球，有： TL2 m2gh N2R解得： m1g ， m2g ， N1 ， N2 ThL1 ThL2 m1gRh m2gRh由得： m1 m2 L2 L12524由得： N1 N2 m1 m2 L2 L12524故 A、C、D 错误，B 正确。
