1、1培优点二十 带电粒子在匀强磁场中运动一、考点分析1. 本知识点是高考的重点，近几年主要是结合几何知识考查带电粒子在有界匀强磁场及复合场、组合场中的运动。2. 注意“运动语言”与“几何语言”间的翻译，如：速度对应圆周半径；时间对应圆心角或弧长或弦长等。二、考题再现典例 1. (2018 全国 I 卷 25)如图，在 y0 的区域存在方向沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E，在 y 0)的粒子以速率 v0从y 轴上的 M(OM = d)点垂直于 y 轴射入匀强电场，该粒子恰好能够垂直于 OL 进入匀强磁场，不计粒子重力。(1)求此电场的场强大小 E；(2)若粒子能在 OL 与 x 轴所围区
2、间内返回到虚线 OL 上，求粒子从M 点出发到第二次经过 OL 所需要的最长时间。【解析】(1)粒子在电场中运动，只受电场力作用： FqE电 ， ma电沿垂直电场线方向 X 和电场线方向 Y 建立坐标系，则在 X 方向位移关系有：dsin = v0cos t该粒子恰好能够垂直于 OL 进入匀强磁场，所以在 Y 方向上，速度关系有： 0sinvat联立解得：20mvEqd(2)根据(1)可知粒子在电场中运动的时间 0dtv粒子在磁场中只受洛伦兹力的作用，在洛伦兹力作用下做圆周运动，设圆周运动的周期为T。粒子能在 OL 与 x 轴所围区间内返回到虚线 OL 上，则粒子从 M 点出发到第二次经过 O
3、L在磁场中运动了半个圆周，所以，在磁场中运动时间为 12TC1O2Q1P5粒子在磁场中运动，洛伦兹力作为向心力，所以有2vqBmR根据(1)可知，粒子恰好能够垂直于 OL 进入匀强磁场，速度 v 就是初速度 v0在 X 方向上的分量，即 002cosvv粒子在电场中运动，在 Y 方向上的位移 012sin24Yvtd所以，粒子进入磁场的位置在 OL 上距离 O 点 3col粒子能在磁场中返回 OL，则： cosRl，即 (2)4d所以 023(1)RdTv所以，粒子从 M 点出发到第二次经过 OL 所需要的最长时间maxax013(21)2dtTv。5如图，以竖直向上为 y 轴正方向建立直角坐
4、标系，该真空中存在方向沿 x 轴正向、场强为 E 的匀强电场和方向垂直 xOy 平面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场，原点 O 处的离子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量为 m、电荷量为- q（ q 0）的粒子束，粒子恰能在 xOy 平面内做直线运动，重力加速度为 g，不计粒子间的相互作用。(1)求粒子运动到距 x 轴为 h 时所用的时间；(2)若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下、场强大小变为 mgEq，求从 O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的影响） ；(3)若保持 E、 B 初始状态不变，仅将粒子束的初速度变为原来的 2 倍，求运动过程中
5、，粒子速度大小等于原来初速度的点所在直线方程。【解析】( 1)粒 子 恰 能 在 xOy 平 面 内 做 直 线 运 动 ， 则 粒 子 在 垂 直 速 度 方 向 上 所 受 合 外 力 一 定 为零 ，又 有 电 场 力 和 重 力 为 恒 力 ， 其 在 垂 直 速 度 方 向 上 的 分 量 不 变 ， 而 要 保 证 该 方 向 上 合 外 力 为 零 ，则 洛 伦 兹 力 大 小 不 变 ， 因 为 洛 伦 兹 力 FqvB洛 ，所以受到大小不变，即粒子做匀速直线运动，重力、电场力和磁场力三个力的合力为零。设重力与电场力合力与- y 轴夹角为 ，粒子受力如图所示，则：222()()
6、qvBEmg，22()qEmgvB6则 v 在 y 方向上分量大小 sinyqEvvB因为粒子做匀速直线运动，根据运动的分解可得，粒子运动到距 x 轴为 h 处所用的时间yhBtvE。(2)若在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向下，电场强度大小变为 mgEq，则电场力 Fqmg电 ，电场力方向竖直向上。所以粒子所受合外力就是洛伦兹力，则有，洛伦兹力充当向心力，即：2vqBr所以22()qEgvrB如图所示，由几何关系可知，当粒子在 O 点就改变电场时，第一次打在 x 轴上的横坐标最小： 22min 22()2si ()qEmgqEmrBBg当改变电场时粒子所在处与粒子第一次打在 x 轴上的
7、位置之间的距离为 2r 时，第一次打在x 轴上的横坐标最大： 22max3()2sinqEmgrB所以从 O 点射出的所有粒子第一次打在 x 轴上的坐标范围为2223()mqEgxqBB。(3)粒子束的初速度变为原来的 2 倍，则粒子不能做匀速直线运动，粒子必发生偏转，而洛伦兹力不做功，电场力和重力对粒子所做的总功必不为零那么设离子运动到位置坐标（ x， y）满足速率 v，则根据动能定理有：221()qExmgyv所以 23qEmgB。6. 如图所示， xOy 平面内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度 B = 0.1 T，在原点 O 有一粒子源，它可以在 xOy 平面内向各个方向发射出质量
8、m = 6.410-27 7kg、电荷量 q = 3.210-19 C、速度 v = 1.0106 m/s 的带正电的粒子。一感光薄板平行于 x 轴放置，其中点 O 的坐标为(0， a)，且满足 a 0。不考虑粒子的重力以及粒子之间的相互作用，结果保留三位有效数字。(1)若薄板足够长，且 a = 0.2 m，求感光板下表面被粒子击中的长度；(2)若薄板长 l = 0.32 m，为使感光板下表面全部被粒子击中，求 a 的最大值；(3)若薄板长 l = 0.32 m， a = 0.12 m，要使感光板上表面全部被粒子击中，粒子的速度至少为多少? 【解析】(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛
9、伦兹力提供向心力。有： 2vqBmr解得： r = 0.2 m如图 1，沿 y 轴正向发射的粒子击中薄板的最左端 D 点，有 x1= r = 0.2 m而击中簿板的最右端的粒子恰好运动了半个圆周，由几何关系 20.3= 0.346 m所以，感光板下表面被粒子击中的长度 L = 0.546 m。(2)如图 2，粒子恰能击中薄板的最左端 D 点，由几何关系 2()0.12mlOFr解得： 10.32maOFr如图 3，若粒子恰能击中薄板的最右端 E 点，由几何关系 22()0.821lar 0.320 m综上可得，为使感光板下表面全部被粒子击中， a 的最大值： m0.3a8(3)如图 4，粒子恰能沿水平方向击中薄板最右端的 E 点，由几何关系3tanOE， 1m2sin6Er如图 5，恰能击中薄板最右端的 D 点，由几何关系 26 1()(m6lrODra综上可得，要使感光板上表面被击中，必须满足 1m6r而 mvrqB解得粒子的速度 68.310m/s。
