1、1第 2 讲 平抛运动一、平抛运动1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动.2.性质：平抛运动是加速度为 g 的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线.3.平抛运动的条件(1)v00，沿水平方向；(2)只受重力作用.4.研究方法平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动.5.基本规律(如图 1 所示)图 1水平方向 vx v0， x v0t竖直方向 vy gt， y gt212大小 v v2x v2y v20 gt2合速度方向 与水平方向夹角的正切 tan vyvx gtv0大小 s x2 y2合位移方向 与水平方向夹角的正切 tan yx gt2v
2、0轨迹方程 y x2g2v20深度思考 从离水平地面某一高度的地方平抛的物体，其落地的时间由哪些因素决定？2其水平射程由哪些因素决定？平抛的初速度越大，水平射程越大吗？答案 运动时间 t ，取决于高度 h 和当地的重力加速度 g.水平射程 x v0t v0 ，2hg 2hg取决于初速度 v0、高度 h 和当地的重力加速度 g.当高度、重力加速度一定时，初速度越大，水平射程越大.二、斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)1.定义将物体以初速度 v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.2.性质加速度为重力加速度 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.3.研究方法斜抛运动可以看做水平方
3、向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动.1.判断下列说法是否正确.(1)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化.()(2)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动.()(3)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大.()(4)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大.()(5)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大.()2.(人教版必修 2P10 做一做改编)(多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图 2 所示的装置进行实验.小锤打击弹性金属片后， A 球水平抛出，同时 B 球被松
4、开，自由下落，关于该实验，下列说法中正确的有( )图 23A.两球的质量应相等B.两球应同时落地C.应改变装置的高度，多次实验D.实验也能说明 A 球在水平方向上做匀速直线运动答案 BC解析 小锤打击弹性金属片后， A 球做平抛运动， B 球做自由落体运动. A 球在竖直方向上的运动情况与 B 球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地.实验时，需 A、 B 两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行 35 次得出结论.本实验不能说明 A 球在水平方向上的运动性质，故选项 B、C 正确，选项 A、D 错误.3.(教科版必修 2P18 第 2 题)一
5、架投放救援物资的飞机在某个受援区域的上空水平地匀速飞行，从飞机上每隔 1s 投下 1 包救援物资，先后共投下 4 包，若不计空气阻力，则 4 包物资落地前( )A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的C.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的D.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点不是等间距的答案 C4.如图 3 所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为 0.8m，水平距离为 8m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为( g 取 10m/s2)( )图 3
6、A.0.5m/s B.2 m/sC.10m/s D.20 m/s答案 D命题点一 平抛运动的基本规律41.飞行时间：由 t 知，时间取决于下落高度 h 和当地的重力加速度 g，与初速度 v0无2hg关.2.水平射程： x v0t v0 ，即水平射程由初速度 v0、下落高度 h 和当地的重力加速度 g2hg共同决定，与其他因素无关.3.落地速度： v ，以 表示落地速度与 x 轴正方向间的夹角，有v2x v2y v20 2ghtan ，所以落地速度只与初速度 v0、下落高度 h 以及当地重力加速度 g 有关.vyvx 2ghv04.两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长
7、线一定通过此时水平位移的中点，如图 4 所示，即 xB .xA2推导：Error!xBxA2图 4(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为 ，位移方向与水平方向的夹角为 ，则 tan 2tan .如图 4 所示.推导：Error!tan 2tan 例 1 如图 5 所示， A、 B 两质点从同一点 O 分别以相同的水平速度 v0沿 x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为 P1； B 沿光滑斜面运动，落地点为 P2， P1和 P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )图 5A.A、 B 的运动时间相同5B.A、 B 沿 x 轴方向的位移相
8、同C.A、 B 运动过程中的加速度大小相同D.A、 B 落地时速度大小相同A 在竖直平面内运动， B 沿光滑斜面运动.答案 D解析 设 O 点与水平面的高度差为 h，由 h gt ， gsin t 可得：12 21 hsin 12 2t1 ， t2 ，故 t1vBvAB.若 A、 B 能在地面相遇，则 A、 B 在空中运动的时间之比为 21C.若 A、 C 在( x0,0)相遇，则一定满足 vA vCD.只要 B、 C 同时开始做平抛运动，二者绝不可能在空中相遇答案 CD命题点二 与斜面有关的平抛运动问题1.从斜面上平抛(如图 8)图 8已知位移方向，方法：分解位移x v0ty gt212ta
9、n yx可求得 t2v0tang2.对着斜面平抛(如图 9)7图 9已知速度的大小或方向，方法：分解速度vx v0vy gttan v0vy v0gt可求得 tv0gtan例 2 如图 10 所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从 O 点水平飞出，经过 3s 落到斜坡上的 A 点.已知 O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角 37，运动员的质量 m50kg，不计空气阻力(sin370.6，cos370.8， g 取 10m/s2).求：图 10(1)A 点与 O 点的距离 L；(2)运动员离开 O 点时的速度大小；(3)运动员从 O 点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间.经过 3s
10、 落到斜坡上的 A 点.答案 (1)75m (2)20m/s (3)1.5s解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin37 gt2，12L 75m.gt22sin37(2)设运动员离开 O 点时的速度为 v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcos37 v0t，即 v0 20m/s.Lcos37t(3)解法一 运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为 v0cos37、加速度为 gsin37)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为 v0sin37、加速度为8gcos37).当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有 v0sin37 gcos37t
11、，解得t1.5s解法二 当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成 37角时，运动员离斜坡最远，有 tan37， t1.5s.gtv0平抛运动的分解方法与技巧1.如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度.2.如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移.3.两种分解方法：(1)沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；(2)沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动.3.如图 11 所示，小球以 v0正对倾角为 的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间 t 为(重力加速度为 g)( )图 11A.v0tan B. C. D.2v0tang v0gtan 2v0gtan
12、答案 D解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则小球落点与抛出点的连线应与斜面垂直，所以有 tan ，而 x v0t， y gt2，解得 t .xy 12 2v0gtan4.(多选)如图 12 所示，倾角为 的斜面上有 A、 B、 C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的 D 点，今测得 AB BC CD531，由9此可判断( )图 12A.A、 B、 C 处三个小球运动时间之比为 123B.A、 B、 C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为 111C.A、 B、 C 处三个小球的初速度大小之比为 321D.A、 B、 C 处三个小球的运
13、动轨迹可能在空中相交答案 BC解析 由于沿斜面 AB BC CD531，故三个小球在竖直方向运动的位移之比为941，运动时间之比为 321，A 项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角 满足 tan 2tan ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B 项正确；同时 tan ，所以三个小球的初速度之比等于运动时间之比，为gtv0321，C 项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在 D 点相交，因此不会在空中相交，D项错误.命题点三 平抛运动中的临界问题例 3 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图 13 所示. P 是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不
14、同的微粒.高度为 h 的探测屏 AB 竖直放置，离 P 点的水平距离为 L，上端 A 与 P 点的高度差也为 h.图 13(1)若微粒打在探测屏 AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间；(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围.水平向右，初速度不同.10答案 (1) (2) v L3hg L2gh g2h解析 (1)打在 AB 中点的微粒，则 h gt232 12解得 t3hg(2)设打在 B 点的微粒初速度为 v1，则v1 ，2 h gtLt1 12 21解得 v1L2gh同理，设打在 A 点的微粒初速度为 v2，则v2 Lg2h所以微粒初速度范围为 v L .L2gh g2h极限分析法在临界问
15、题中的应用分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件.5.(2015新课标全国18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图 14 所示.水平台面的长和宽分别为 L1和 L2，中间球网高度为 h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 3h.不计空气的作用，重力加速度大小为 g.若乒乓球的发射速率 v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 v 的最大取值范围是( )图 14A. v L1L12 g6h g6h11B. vL14 gh 4L2
16、1 L2g6hC. vL12 g6h 124L21 L2g6hD. vL14 gh 124L21 L2g6h答案 D解析 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动.当速度 v 最小时，球沿中线恰好过网，有：3h h gt212 v1t1 L12联立两式，得 v1L14 gh当速度 v 最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有 v2t2 L222 L213h gt 12 2联立两式，得 v2124L21 L2g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上， v 的最大取值范围为 v ，选项 DL14 gh 124L21 L2g6h正确.6.如图 15 所示，倾角为 37的粗糙斜面的底端有一质量 m1k
17、g 的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数 0.25.现小滑块以某一初速度 v 从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以 v0水平抛出，经过 0.4s，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中.已知 sin370.6，cos370.8， g 取 10m/s2.求：图 1512(1)小球水平抛出的速度大小 v0；(2)小滑块的初速度大小 v.答案 (1)3m/s (2)5.35 m/s解析 (1)设小球落入凹槽时竖直速度为 vy，则vy gt100.4m/s4 m/sv0 vytan373m/s(2)小球落入凹槽时的水平位移x v0t30.4m1.2m则滑块的位移为x m
18、1.5m1.2cos37滑块上滑时， mgsin37 mg cos37 ma解得 a8m/s 2根据公式 x vt at212解得： v5.35m/s.处理平抛运动的临界和极值问题的两种妙法一、极端分析法所谓极端分析法，是指两个变量之间的关系，若是单调上升或单调下降的函数关系，可以通过连续地改变某个变量甚至达到变化的极端，来对另一个变量进行判断的研究方法.典例 1 (教科版必修 2P12 发展空间改编)如图 16 所示，排球场总长为 18m，设球网高度为 2m，运动员站在离网 3m 的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出.(不计空气阻力，取 g10m/s 2)图 1613(1)设击球点
19、在 3m 线正上方高度为 2.5m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？(2)若击球点在 3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度.答案 见解析解析 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移 x13m，竖直位移 y1 h2 h1(2.52) m0.5m，根据位移关系 x vt， y gt2，可得 v x ，代12 g2y入数据可得 v13 m/s，即所求击球速度的下限10设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移 x212m，竖直位移 y2 h22.5m，代入上面的速度公式 v x ，可求得 v21
20、2 m/s，即所求击球速度的上限g2y 2欲使球既不触网也不越界，则击球速度 v 应满足3 m/st1B.t3t2C.t4t3D.t1t4答案 BD解析 由 gsin t 可得 t1 ，而 t4 t3 ，故有 C 错误，D 正确；hsin 12 21 2hgsin2 2hg由 t2t2， t3t2，A 错误，B 正确.2hg9.如图 9 所示，滑板运动员从倾角为 53的斜坡顶端滑下，滑下的过程中他突然发现在斜面底端有一个高 h1.4m、宽 L1.2m 的长方体障碍物，为了不触及这个障碍物，他必须在距水平地面高度 H3.2m 的 A 点沿水平方向跳起离开斜面(竖直方向的速度变为 0).已知运动员
21、的滑板与斜面间的动摩擦因数 0.1，忽略空气阻力，重力加速度 g 取10m/s2.(已知 sin530.8，cos530.6)求：20图 9(1)运动员在斜面上滑行的加速度的大小；(2)若运动员不触及障碍物，他从斜面上起跳后到落至水平面的过程所经历的时间；(3)运动员为了不触及障碍物，他从 A 点沿水平方向起跳的最小速度.答案 (1)7.4m/s 2 (2)0.8 s (3)6.0 m/s解析 (1)设运动员连同滑板的质量为 m，运动员在斜面上滑行的过程中，根据牛顿第二定律有mgsin53 mg cos53 ma，解得运动员在斜面上滑行的加速度 a7.4m/s 2.(2)运动员从斜面上起跳后沿
22、竖直方向做自由落体运动，根据自由落体运动规律有 H gt2，解得 t0.8s.12(3)为了不触及障碍物，运动员以速度 v 沿水平方向起跳后竖直下落高度为 H h 时，他沿水平方向运动的距离为 L，设该段时间为 t，则Htan53H h gt 2， L vt，12 Htan53解得 v6.0m/s.题组 3 平抛运动中的临界问题10.如图 10 所示，可视为质点的小球，位于半径为 m 半圆柱体左端点 A 的正上方某处，3以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于 B 点.过 B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为 60，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度 g 取 10m/s
23、2)( )图 10A. m/sB.4 m/sC.3 m/sD. m/s553 3 5 152答案 C21解析 小球飞行过程中恰好与半圆柱体相切于 B 点，可知在 B 点的速度与水平方向的夹角为 30，设位移与水平方向的夹角为 ，则有 tan .因为 tan ，tan302 36 yx y32R则竖直位移为 y R， v 2 gy gR，又有 tan30 ，联立以上各式解得 v034 2y 32 vyv0 m/s3 m/s，故选 C.332gR 332 103 511.如图 11 所示，水平屋顶高 H5m，围墙高 h3.2m，围墙到房子的水平距离 L3m，围墙外空地宽 x10m，为使小球从屋顶水
24、平飞出落在围墙外的空地上， g 取 10m/s2.求：图 11(1)小球离开屋顶时的速度 v0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度.答案 (1)5m/s v013 m/s (2)5 m/s5解析 (1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为 v01，则小球的水平位移：L x v01t1小球的竖直位移： H gt12 21联立两式得 v01( L x) 13m/sg2H设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为 v02，则此过程中小球的水平位移： L v02t2小球的竖直位移： H h gt12 2联立两式得： v02 L 5m/sg2H h小球离开屋顶时的速度大小为 5m/s v01
25、3 m/s(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小.竖直方向： v 2 gH2y又有： vmin v20 v2y22代入数据解得： vmin5 m/s512.一探险队在探险时遇到一山沟，山沟的一侧 OA 竖直，另一侧的坡面 OB 呈抛物线形状，与一平台 BC 相连，如图 12 所示.已知山沟竖直一侧 OA 的高度为 2h，平台在离沟底 h 高处，C 点离 OA 的水平距离为 2h.以沟底的 O 点为原点建立直角坐标系 xOy，坡面的抛物线方程为 y .质量为 m 的探险队员在山沟的竖直一侧从 A 点沿水平方向跳向平台.人视为
26、质点，x22h忽略空气阻力，重力加速度为 g.求：图 12(1)若探险队员从 A 点以速度 v0水平跳出时，掉在坡面 OB 的某处，则他在空中运动的时间为多少？(2)为了能跳在平台上，他在 A 点的初速度应满足什么条件？请计算说明.答案 (1) (2) v02hv20 gh gh 2gh解析 (1)设探险队员在 OB 坡面上的落点坐标为( x， y)，由平抛运动规律可得：x v0t,2h y gt2.12又 y ，联立以上三式得 t .x22h 2hv20 gh(2)将 y h 代入 y ，解得 xB h，x22h 2由平抛运动规律得xB vOBt1， xC vOCt1,2h h gt12 21解得 vOB ， vOC .所以为了能跳到平台上，他在 A 点的初速度应满足 v0gh 2gh gh.2gh
