1、1单科标准(一)(时间：120 分钟，满分 150 分)第卷一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 A xN *|x23 x0，则满足条件 BA 的集合 B 的个数为( )A2 B3 C4 D8C A xN *|x23 x0 xN *|0 x31,2，又 BA，集合 B 的个数为224，故选 C.2已知 b2i( a， bR)，其中 i 为虚数单位，则a iia b( )A3 B2 C1 D1A 依题意得 1 ai b2i，因此 a2， b1， a b3，故选 A.3平面向量 a 与 b 的夹角为 60，
2、a(2,0)，| b|1，则| a2 b|( )A6 B36 C2 D123C a(2,0)，| a|2.又| b|1，向量 a 与向量 b 的夹角为 60，| a2 b|2( a2 b)2 a24 ab4 b24421cos 60412，| a2 b|2 ，故选 C.34若抛物线 y22 px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6，则抛物线的方程为( )A y24 x B y236 xC y24 x 或 y236 x D y28 x 或 y232 xC 因为抛物线 y22 px(p0)上一点到抛物线对称轴的距离为 6，若设该点为 P，则P(x0，6)因为点 P 到抛物
3、线焦点 F 的距离为 10，根据抛物线的定义得 x0 10 (p2， 0) p2.因为点 P 在抛物线上，所以 362 px0 .由解得 p2， x09 或 p18， x01，所以抛物线的方程为 y24 x 或 y236 x.52017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币如图 1 所示的是一枚 8 g 圆形金质纪念币，直径 22 mm，面额 100元为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻2落在军旗内，据此可估计军旗的面积是( )图 1A. mm2 B. mm27265 36310C.
4、 mm2 D. mm23635 36320B 设军旗的面积为 a mm2，则有 ，解得 a ，故选 B.a (222)2 30100 363106已知正项等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1a62 a3， a4与 2a6的等差中项为 ，32则 S5( )A36 B33 C32 D31D 设 an的公比为 q(q0)， a1a62 a3，而 a1a6 a3a4， a3a42 a3， a42.又 a42 a63， a6 ， q ， a116， S5 31.故选 D.12 12161 (12)51 127已知一几何体的三视图如图 2 所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )
5、图 2A1612 B3212C2412 D3220A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为 ，2底面对角线长为 4，球的半径为 2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为 2 ，该几何体23的表面积 S 42 2(2 22 2 )2 42 2 1216，故12 2 2 2 2 2 2选 A.8已知函数 f(x) ，则 y f(x)的图象大致为( )2x ln x 1A 法一：取特殊值 x ，e，e 2，即可排除 B，C，D 选项；1e法二：利用常见结论，由于 ln x x1( x0， x1)，可排除 B，D， x1 时， f(x)，可排除 C.9下列说法正确的个数是(
6、 )“若 a b4，则 a， b 中至少有一个不小于 2”的逆命题是真命题；命题“设 a， bR，若 a b6，则 a3 或 b3”是一个真命题；“ x0R， x x00”的否定是“ xR， x2 x0” ；20“ a1 b”是“ a b”的一个必要不充分条件A0 B1 C2 D3C 对于，原命题的逆命题为“若 a， b 中至少有一个不小于 2，则 a b4” ，而a4， b4 满足 a， b 中至少有一个不小于 2，但此时 a b0，故不正确；对于，此命题的逆否命题为“设 a， bR，若 a3 且 b3，则 a b6” ，为真命题，所以原命题也是真命题，故正确；对于， “x0R， x x00
7、”的否定是“ xR， x2 x0” ，20故不正确；对于，由 a b 可推得 a1 b，但由 a1 b 不能推出 a b，故正确故选 C.10已知 为圆周率，e2.718 28为自然对数的底数，则( )A e3 e Blog 3e3log eC3 e2 3 e2 Dlog elog 3eB 对于 A，函数 y xe是(0，)上的增函数，且 3， e3 e，A 错误；对于 B，log 3e3log e ln 3ln 3 3 3，B 正确；对于ln 3 3ln C,3e2 3 e2 3e3 e3 ，而函数 y xe3 是(0， )上的减函数，C 错误；对于D，log elog 3e ln ln 3
8、，而函数 yln x 是(0，)上的增函数，1ln 1ln 3D 错误综上，选 B.411已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，左、右顶点x2a2 y2b2分别为 A， B，虚轴的上、下端点分别为 C、 D，若线段 BC 与双曲线的渐近线的交点为 E，且 BF1E CF1E，则双曲线的离心率为( )A1 B16 5C1 D13 2C 依题意，双曲线 C： 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，因为x2a2 y2b2 baB(a,0)， C(0， b)，故由直线 BC： bx ay ab0，又 y x，联立解得baE ， E 为 BC 中点，又 BF1E
9、CF1E，由三线合一知， BF1 CF1，即 a c ，(a2， b2) c2 b2故 c22 ac2 a20，即 e22 e20.因为 e1，解得 e1 .312记函数 ye x在 x n(n1,2,3，)处的切线为 ln，记切线 ln与 ln1 的交点坐标为( xn， yn)，那么( )A数列 xn与 yn都是等比数列B数列 xn与 yn都是等差数列C数列 xn是等比数列，数列 yn是等差数列D数列 xn是等差数列，数列 yn是等比数列D 由题意得 ye x，则切线 ln的方程为 ye ne n(x n)，切线 ln1 的方程为 ye n1 e n1 (x n1).由解得 xn n ， y
10、n ，所以数列 xn是以 为首项，1 为公差的等差1e 1 en 1e 1 ee 1数列，数列 yn是以 为首项，e 为公比的等比数列，故选 D.e2e 1第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选必题，考生根据要求作答二、填空题(本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在横线上)13已知 x， y 满足不等式组Error!则 z2 x y 的最大值为_6 作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，将 z2 x y 变形为y2 x z，则此式表示的直线为斜率为2 的动直线， z 视为动直线的纵截距，当动
11、直线经过点 A(2,2)时，动直线的纵截距最大，此时 z 取得最大值，最大值为 2226.514执行如图 3 所示的程序框图，当 A 时，输出的 k 的值为_2425图 324 程序框图中算法的功能是计算 1 1 ，执行程序框图112 123 1k k 1 12 12 13 1k 1k 1 1k 1S1 ， k2， S1 ， k3， S1 ， k24， S1 ，循环12 12 13 23 124 2324 125 2425结束，故输出的 k 的值为 24.15甲、乙、丙三人代表班级参加校运会的跑步、跳远、铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：甲不是最高的
12、；最高的没报铅球；最矮的参加了跳远；乙不是最矮的，也没参加跑步由此可以判断丙参加的比赛项目是_跑步 由可知，乙参加了铅球比赛，再由知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中，最后由可知甲是最矮的，参加了跳远比赛，所以丙是最高的，参加了跑步比赛16设点 M(x0,1)，若在圆 O： x2 y21 上存在点 N，使得 OMN45，则 x0的取值范围是_1,1 如图所示，点 M 在直线 y1 上， OM 1 ON，设 ONM .在x20 1OMN 中，45 135，则 sin 1.由正弦定理，得 ，即22 ONsin OMN OMsin ONM ， sin 1， ，解得1 x01，即 x0的取值范围是1s
13、in 45 x20 1sin x20 1 2 21,16三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) sin 2xcos 2x .32 12(1)求 f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x 的集合；(2)设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 c ， f(C)0，若 sin 3B2sin A，求 a， b 的值解 (1)原式 sin 2x 32 1 cos 2x2 12 sin 2x 132 cos 2x2sin 1.(2x 6)当 2x 2 k ，即 x k (kZ)时， f(x)取最小值为2.
14、6 2 6此时自变量 x 的集合为Error!.Error!(2)因为 f(C)0，所以 sin 10，又 0 C.(2C 6)所以 2C ，即 C . 6 2 3在 ABC 中，sin B2sin A，由正弦定理知 b2 a.又 c ，所以由余弦定理知( )2 a2 b22 abcos ，即 a2 b2 ab3，3 3 3联立，得Error!所以Error!18(本小题满分 12 分)如图 4，以 BD 为直径的圆 O 经过 A， C 两点，延长 DA， CB 交于 P 点，将 PAB 沿线段 AB 折起，使 P 点在底面 ABCD 上的射影恰好为 AD 的中点 Q.若AB BC1， BD2
15、.图 4(1)证明： PD AB；(2)求四棱锥 PABCQ 的体积解 (1)证明： BD 为圆 O 的直径，则 AB AD，且 AB AP，7又 AD AP A， AB平面 PAD，又 PD平面 PAD， PD AB.(2)由(1)知 AB平面 PAD， AB平面 ABCD，平面 ABCD平面 PAD，又 P 点在底面 ABCD 上的射影恰为 AD 的中点 Q， PQ AD， PQ 为四棱锥 PABCQ 的高， AB BC1， BD2， AD CD ， ADC ，3 3 APB ， 6 PD PA ， AQ QD ， PQ .332 32连接 AC，知 ACD 为等边三角形，连接 CQ，则
16、CQ AD， CQ ，32则 S 四边形 ABCQ ，12 (1 32) 32 538故 V 四棱锥 PABCQ .13 538 32 531619(本小题满分 12 分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制图如图 5：图 5每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元，超出35 件的部分每件 7 元8(1)根据图中数据写出甲公司员工 A 在这 10
17、天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工 B 每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的劳务费记为 X(单位：元)，求 X182 的概率；(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费解 (1)甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数为 36，众数为 33.(2)设 a 为乙公司员工 B 每天的投递件数，则当 a35 时， X140，当 a35 时， X354( a35)7，令 X354( a35)7182，得 a41，则 a 的取值为 44,42，所以 X182 的概率为 .410 25(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月
18、所得劳务费为 4.536304 860(元)，易知乙公司员工 B 每天所得劳务费 X 的可能取值为 136,147,154,189,203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为(13611473154218932031)30165.5304 965(元)11020(本小题满分 12 分)已知抛物线 C： y22 px(p0)在第一象限内的点 P(2， t)到焦点 F 的距离为 .52(1)若 N ，过点 N， P 的直线 l1与抛物线相交于另一点 Q，求 的值；(12， 0) |QF|PF|(2)若直线 l2与抛物线 C 相交于 A， B 两点，与圆 M：( x a)2 y21 相交于 D，
19、 E 两点，O 为坐标原点， OA OB.试问：是否存在实数 a，使得| DE|为定值？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由解 (1)点 P(2， t)到焦点 F 的距离为 ，2 ，解得 p1，52 p2 52故抛物线 C 的方程为 y22 x， P(2,2) l1的方程为 y x ，45 25联立Error! 解得 xQ ，18又| QF| xQ ，| PF| ， .12 58 52 |QF|PF|5852 14(2)设直线 l2的方程为 x ny m(m0)，代入抛物线方程可得 y22 ny2 m0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y22 n， y1y22
20、m，由 OA OB 得，( ny1 m)(ny2 m) y1y20，9整理得( n21) y1y2 nm(y1 y2) m20.将代入解得 m2 或 m0(舍去)，满足 4 n28 m0，直线 l2： x ny2，圆心 M(a,0)到直线 l2的距离 d ，| DE|2 ，|a 2|1 n2 12 a 2 21 n2显然当 a2 时，| DE|2，存在实数 a2，使得| DE|为定值21(本小题满分 12 分)设函数 f(x)( ax1)e x(aR)(1)当 a0 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)对任意的 x0，)， f(x) x1 恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a0
21、 时， f( x) ae x( ax1)e x ae x ，(a 1a x)由于 e x0， a0，所以令 f( x)0 得， x .a 1a所以当 a0 时， f(x)的单调递增区间是 .( ，a 1a (2)令 h(x)( ax1)e x x1，则 f(x) x1 恒成立等价于 h(x)0 恒成立若 a0，则当 x0 时， ax11,0e x1 f(x)1.而 x11，即 f(x) x1 恒成立若 0 a2，则 h( x)e x(a1 ax)1.当 x0 时，令 t(x) a1 ax，由 t(x)是减函数，知 t(x)max a11，又 e x1，所以 h( x)0， h(x)在0，)上是
22、减函数，所以当 x0 时， h(x) h(0)0.若 a2，则 h(0)e 0 (a1 a0)1 a20，h(1)e 1 (a1 a)1e 1 10.所以 h( x)0 在(0,1)上有零点当 x(0,1)时，设 g(x) h( x)，则 g( x)e x(ax12 a)e x(1 a)0，所以 h( x)在 x(0,1)上是减函数，即 h( x)0 在(0,1)上有唯一的零点 x0，且在(0， x0)上， h( x)0，h(x)在(0， x0)上为增函数，即 x(0， x0)时， h(x) h(0)0，所以 f(x) x1，不符合题意综上可得，符合题意的 a 的取值范围是(，2请考生在第 2
23、223 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程10已知曲线 C 的极坐标方程为 2 ，以极点为平面直角坐标系的原点9cos2 9sin2O，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)A， B 为曲线 C 上两点，若 OA OB，求 的值1|OA|2 1|OB|2解 (1)由 2 得 2cos2 9 2sin2 9，9cos2 9sin2将 x cos ， y sin 代入得到曲线 C 的直角坐标方程是 y21.x29(2)因为 2 ，所以 sin 2 ，9cos2 9sin2 1 2 cos2
24、9由 OA OB，设 A( 1， )，则点 B 的坐标可设为 ，( 2， 2)所以 sin 2 cos 2 1 .1|OA|2 1|OB|2 1 21 1 2 cos29 sin29 19 10923(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知不等式| x| x3| x6 的解集为( m， n)(1)求 m， n 的值；(2)若 x0， y0， nx y m0，求证： x y16 xy.解 (1)由| x| x3| x6，得Error! 或Error!或Error!解得1 x9， m1， n9.(2)由(1)知 9x y1，又 x0， y0， (9x y)10 102 16，(1x 1y) yx 9xy yx9xy当且仅当 ，即 x ， y 时取等号，yx 9xy 112 14 16，即 x y16 xy.1x 1y
