1、1专题研究2 数学归纳法1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )12A1 B2C3 D0答案 C解析 边数最少的凸n边形是三角形2(2017山东德州一模)用数学归纳法证明122 22 n2 2 n3 1，在验证n1时，左边的式子为( )A1 B12C122 2 D122 22 3答案 D解析 当n1时，左边122 22 3.故选D.3用数学归纳法证明不等式1 (nN *)成立，其初始值至少应取( )12 14 12n 112764A7 B8C9 D10答案 B解析 1 ，整理得2 n128，解得n7.12 14 12n 11 12n1 121
2、2764初始值至少应取8.4设f(n)1 (nN *)，那么f(n1)f(n)等于( )12 13 13n 1A. B. 13n 2 13n 13n 1C. D. 13n 1 13n 2 13n 13n 1 13n 2答案 D5用数学归纳法证明3 4n1 5 2n1 (nN)能被8整除时，当nk1时，对于3 4(k1)1 5 2(k1)1 可变形为( )A563 4k1 25(3 4k1 5 2k1 ) B3 434k1 5 252kC3 4k1 5 2k1 D25(3 4k1 5 2k1 )答案 A解析 因为要使用归纳假设，必须将3 4(k1)1 5 2(k1)1 分解为归纳假设和能被8整除
3、的两部分所以应变形为5634k1 25(3 4k1 5 2k1 )26若数列a n的通项公式a n ，记c n2(1a 1)(1a 2)(1a n)，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推1（ n 1） 2测c n_答案 n 2n 1解析 c 12(1a 1)2(1 ) ，14 32c22(1a 1)(1a 2)2(1 )(1 ) ，14 19 43c32(1a 1)(1a 2)(1a 3)2(1 )(1 )(1 ) ，14 19 116 54故由归纳推理得c n .n 2n 17设数列a n的前n项和为S n，且对任意的自然数n都有：(S n1) 2a nSn.(1)求S 1，S 2，S
4、3；(2)猜想S n的表达式并证明答案 (1)S 1 ，S 2 ，S 3 (2)Sn ，证明略12 23 34 nn 1解析 (1)由(S 11) 2S 12，得S 1 ；12由(S 21) 2(S 2S 1)S2，得S 2 ；23由(S 31) 2(S 3S 2)S3，得S 3 .34(2)猜想：S n .nn 1证明：当n1时，显然成立；假设当nk(k1且kN *)时，S k 成立kk 1则当nk1时，由(S k1 1) 2a k1 Sk1 ，得S k1 .12 Sk 12 kk 1 k 1k 2从而nk1时，猜想也成立综合得结论成立8已知函数f(x)xsinx，数列a n满足：00，所以
5、f(x)在(0，1)上是增函数3又f(x)在0，1上连续，从而f(0)0，所以a ka k1 2(n1)n.故 1a1 b1 1a2 b2 1an bn ( )16 12 123 134 1n（ n 1） ( )16 1212 13 13 14 1n 1n 1 ( ) .16 1212 1n 1 16 14 5121用数学归纳法证明不等式 的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增1n 1 1n 2 1n n 1324加的式子是_答案 1（ 2k 1） （ 2k 2）解析 不等式的左边增加的式子是 ，故填 .12k 1 12k 2 1k 1 1（ 2k 1） （ 2k 2） 1（ 2k 1）
6、 （ 2k 2）2用数学归纳法证明：对任意的nN *， .113 135 1（ 2n 1） （ 2n 1） n2n 1答案 略解析 (1)当n1时，左边 ，右边 ，左边右边，所以等式成立113 13 121 1 13(2)假设当nk(kN *且k1)时等式成立，即有 ，113 135 1（ 2k 1） （ 2k 1） k2k 1则当nk1时， 113 135 1（ 2k 1） （ 2k 1） 1（ 2k 1） （ 2k 3） k2k 1 1（ 2k 1） （ 2k 3） k（ 2k 3） 1（ 2k 1） （ 2k 3） ，2k2 3k 1（ 2k 1） （ 2k 3） k 12k 3 k 1
7、2（ k 1） 1所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN *等式都成立3(2017湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x) x3x，数列a n满足条件：a 11，a n1 f(a n1)试比13较 与1的大小，并说明理由11 a1 11 a2 11 a3 11 an答案 111 a1 11 a2 11 a3 11 an6解析 f(x)x 21，a n1 f(a n1)，a n1 (a n1) 21.函数g(x)(x1) 21x 22x在区间1，)上单调递增，于是由a 11，得a 2(a 11) 212 21，进而得a 3(a 21) 212 412 31.由此猜想：a n2 n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a 12 111，结论成立；假设nk(k1且kN *)时结论成立，即a k2 k1，则当nk1时，由g(x)(x1) 21在区间1，)上单调递增知，ak1 (a k1) 212 2k12 k1 1，即nk1时，结论也成立由、知，对任意nN *，都有a n2 n1.即1a n2 n， .11 an 12n 1( )n1.11 a1 11 a2 11 a3 11 an 12 122 123 12n 12
