1、1规范练(五)(时间：45 分钟 满分：46 分)1(12 分)若数列 an的前 n 项和为 Sn，首项 a10 且 2Sn a an(nN *)2n(1)求数列 an的通项公式；(2)若 an0(nN *)，令 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.1an an 2规范解答及评分标准 (1) a10,2Sn a an，当 n1 时，2 S1 a a1，则2n 21a11.当 n2 时， an Sn Sn1 ，a2n an2 a2n 1 an 12即( an an1 )(an an1 1)0， an an1 或 an an1 1， an(1) n1 或 an n.(6 分)(2) an0，
2、 an n， bn .1n n 2 12(1n 1n 2) Tn12(1 13) (12 14) (1n 1n 2) .(12 分)12(1 12 1n 1 1n 2) 34 2n 32 n 1 n 22(12 分)如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA FC，且 DAB DBF60.(1)求证： AC平面 BDEF；(2)求直线 AD 与平面 ABF 所成角的正弦值规范解答及评分标准 (1)证明：设 AC 与 BD 相交于点 O，连接 FO.四边形 ABCD 为菱形， AC BD，且 O 为 AC 的中点 FA FC， AC FO.又 FO BD O， AC平面 BDEF.(
3、5 分)(2)2如图，设 AC 与 BD 相交于点 O，连接 FO， DF.四边形 BDEF 为菱形，且 DBF60， DBF 为等边三角形 O 为 BD 的中点， FO BD.又 AC FO， AC BD O， FO平面 ABCD.则 OA， OB， OF 两两互相垂直以 O 为原点，分别以 OA， OB， OF 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示(7 分)设 AB2.四边形 ABCD 为菱形， DAB60， BD2， AC2 .3 DBF 为等边三角形， OF .3 A( ，0,0)， B(0,1,0)， D(0，1,0)， F(0,0， )，3 3
4、 ( ，1,0)， ( ，0， )， ( ，1,0)AD 3 AF 3 3 AB 3设平面 ABF 的法向量为 n( x， y， z)，则Error!取 x1，得平面 ABF 的一个法向量为 n(1， ，1)3设直线 AD 与平面 ABF 所成角为 ，(10 分)则 sin |cos ， n| .AD |AD n|AD |n| 155即直线 AB 与平面 ABF 所成角的正弦值为 .(12 分)1553(12 分)通过随机询问 100 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下 22列联表：男 女 总计爱好 403不爱好 25总计 45 100(1)将题中的 22 列联表补充完整；(2)能否
5、有 99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取 6 人组建“运动达人社” ，现从“运动达人社”中选派 3 人参加某项校际挑战赛，记选出 3 人中的女大学生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望附：P(K2 k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2 ，其中 n a b c d.n ad bc 2 a b c d a c b d规范解答及评分标准 (1)补充完整表格如下表：男 女 总计爱好 40 20 60不爱好 15 25 40总计 55 45 100(2 分)(2)因为
6、K2 8.256.635，100 4025 2015 255456040所以有 99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关(6 分)(3)由(1)知，爱好该项运动的男、女生比例为 402021，所以，按性别分层抽样，抽取的 6 人中包括男生 4 名，女生 2 名，记选出 3 人中的女大学生人数为 X，则 X 的可能取值为 0,1,2，P(X0) ， P(X1) ， P(X2) .C34C36 15 C24C12C36 35 C14C2C36 15所以 X 的分布列为X 0 1 2P 15 35 15(10 分)所以 E(X)0 1 2 1.(12 分)15 35 15选考题：共 10 分请考生
7、在第 4、5 题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分44选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 C1过点 P(a,1)，其参数方程为Error!( t 为参数，aR)以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0.(1)求直线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)已知直线 C1与曲线 C2交于 A， B 两点，且| PA|2| PB|，求实数 a 的值规范解答及评分标准 (1)直线 C1的参数方程为Error!直线 C1的普通方程为 x y a10.(2 分)曲线 C2的极坐标方程
8、为 cos2 4cos 0， 2cos2 4 cos 20. x24 x x2 y20，曲线 C2的直角坐标方程为 y24 x.(4 分)(2)设 A， B 两点所对应的参数分别为 t1， t2.由Error! 得 t22 t28 a0.2 (2 )24(28 a)0，解得 a0.2 t1 t22 ， t1t228 a.(6 分)2根据参数方程的几何意义可知| PA| t1|， PB| t2|，由| PA|2| PB|得 t12 t2或 t12 t2，当 t12 t2时，有Error!解得 a 0，符合题意；(8 分)136当 t12 t2时，有Error!解得 a 0，符合题意94综上所述，
9、 a 或 a .(10 分)136 945选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)|2 x1|， xR.(1)解不等式 f(x)|x|1；(2)若对 x， yR，有| x y1| ，|2 y1| ，求证： f(x)1.13 16规范解答及评分标准 (1) f(x)|x|1，|2 x1| x|1，(1 分)即Error! 或Error!或Error!(2 分)解得 x2 或 0x 或.12 12故不等式的解集为 x|0x2(5 分)(2)证明： f(x)|2 x1|2( x y1)(2 y1)|2( x y1)5|2 y1|2| x y1|2 y1|2 1.(10 分)13 16 56
