1、二 一般形式的柯西不等式,1.三维形式的柯西不等式 设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),则 (a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当,共线时,即=0,或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立. 做一做 若a,b,c,x,y,zR,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的取值范围是 . 解析：由三维形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2,即(ax+by+cz)249=36,所以-6ax+by+cz6. 答案：-6,6,2.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,
2、bn是实数,则(a1b1+a2b2+anbn)2, 当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立.,名师点拨一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.,探究一,探究二,思维辨析,利用三维形式的柯西不等式解决问题 分析：结合柯西不等式,将不等式左边添乘(a+b+c)进行证明.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟应
3、用柯西不等式证明不等式的方法与技巧 应用柯西不等式证明不等式的关键是首先根据待证不等式的结构特点,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式进行证明.构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法,(1)巧拆常数;(2)重新安排各项的次序;(3)改变式子的结构;(4)添项等.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练1 已知x,y,z为实数,求证(x+2y+3z)214(x2+y2+z2). 证明：由柯西不等式可知(12+22+32)(x2+y2+z2)(x+2y+3z)2,探究一,探究二,思维辨析,【例2】 已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 . 分析：
4、由a+2b+3c与a2+4b2+9c2的关系是前者各项平方和为后者,则可将a2+4b2+9c2添乘(12+12+12),从而构造三维形式的柯西不等式进行求解. 解析：由柯西不等式可得(a2+4b2+9c2)(12+12+12)=a2+(2b)2+(3c)2(12+12+12)(a1+2b1+3c1)2=(a+2b+3c)2=62=36,即3(a2+4b2+9c2)36,则a2+4b2+9c212,当且仅当 时,等号成立.又a+2b+3c=6,可得a=2,b=1,c= ,故a2+4b2+9c2的最小值为12. 答案：12,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟应用柯西不等式求最值的方法与技巧 应用柯
5、西不等式求最值的关键首先是根据已知条件,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式求解最值.构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法,(1)巧乘常数;(2)添项;(3)改变式子的结构;(4)重新安排各项的次序等.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练2 已知x,y,z为实数,且 +z2=2,求x+y+z的最大值.,探究一,探究二,思维辨析,利用一般形式的柯西不等式解决问题 【例3】若ai,biR+(i=1,2,n),分析：首先将a1b1+anbn改写为 ,同时,将不等式左边第二项也进行类似改写,然后利用一般形式的柯西不等式即可证明.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟运用一般形式的
6、柯西不等式解决问题的关键是首先将所给代数式进行整理变形,使之符合柯西不等式的基本形式,然后运用柯西不等式.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练3 已知a,b,c,d为实数,求证(a+b+c+d)24(a2+b2+c2+d2). 证明：由柯西不等式可得4(a2+b2+c2+d2)=(12+12+12+12)(a2+b2+c2+d2)(1a+1b+1c+1d)2=(a+b+c+d)2(当且仅当a=b=c=d时,等号成立),故原不等式成立.,探究一,探究二,思维辨析,忽视柯西不等式等号成立的条件致错 典例已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+czt,求t的最小值. 错解求t的最
7、小值,即求u=ax+by+cz的最大值.故u=ax+by+cz的最大值为5,从而t的最小值为5.,正解求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.由柯西不等式,得 u2=(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=19=9,u=ax+by+cz3,当且仅当 时,等号成立,此时u=ax+by+cz的最大值为3,从而t的最小值为3.,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得本题错误在于利用基本不等式求最值时,忽视了等号成立的条件从而得到错误结果.有些求最值问题,如果无法利用基本不等式求最值,可考虑采用柯西不等式求最值,本题利用柯西不等式很容易求最值.,探究一,探究二,思维辨析,答
8、案：4,1 2 3 4 5,1.若a,b,c,x,y,zR,则下列不等式中不正确的是( ) A.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2 B.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ay+bz+cx)2 C.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(az+bx+cy)2解析：对照柯西不等式可知,选项D错误. 答案：D,1 2 3 4 5,2.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( ) A.1 B.n C.n2 D.,答案：C,1 2 3 4 5,3.已知a2+b2+c2+d2=10,则ab+bc+cd+ad的最小值为 ( ) A.10 B.-10 C.100 D.-100 解析：由柯西不等式得(ab+bc+cd+ad)2(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)=100,当且仅当 ,即|a|=|b|=|c|=|d|时,等号成立.所以|ab+bc+cd+ad|10,即-10ab+bc+cd+ad10. 答案：B,1 2 3 4 5,4.若x2+y2+z2=5,则2x+y+2z的最大值为 . 解析：由柯西不等式可得(22+12+22)(x2+y2+z2)(2x+y+2z)2,当且仅,1 2 3 4 5,
