1、1.1 命题及其关系 1.1.2 充分条件和必要条件,明目标、知重点,1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义. 2.会判断某些条件之间的关系,填要点记疑点,充分条件、必要条件 一般地，如果pq，那么称p是q的 条件，同时称q是p的 条件 如果pq，且qp，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件,充分,必要,如果pq，且q p，那么称p是q的 条件 如果p q，且qp，那么称p是q的 条件 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分又不必要条件,充分不必要,必要不充分,探要点究所然,探究点一 充分条件、必要条件 思考1 结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件
2、的理解 答 充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件就可得此结论或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了,必要条件可从命题等价性理解：pq等价于非q非p，q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件,思考2 判断命题“若x1，则 |x|1”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释 答 “x1”是“|x|1”的充分条件，“|x|1”是“x1”的必要条件 两个条件“x1”和“|x|1”都是变量的取值，和集合有关将“x1”对应集合记作A，“|x|1”对应集合记作B.显然AB.,例1 指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件
3、”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种) (1)p：x10，q：(x1)(x2)0；,解 因为x10(x1)(x2)0， (x1)(x2)0 x10， 所以p是q的充分不必要条件,(2)p：两直线平行，q：内错角相等；,解 因为两直线平行内错角相等， 所以p是q的充要条件,(3)p：ab，q：a2b2；,解 因为ab a2b2，a2b2 ab，,所以p是q的既不充分又不必要条件,(4)p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形 解 因为四边形的四条边相等 四边形是正方形， 四边形是正方形四边形的四条边相等， 所以p是q的必要不充分条件,反思与感悟 本例四个小题分别体现了定义法、集
4、合法、等价法一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p.,跟踪训练1 指出下列命题中，p是q的什么条件？,p是q的必要不充分条件,(2)p：a2b20，q：ab0；,解 a2b20ab0ab0，,ab0 a2b20，,p是q的充分不必要条件,p既是q的充分条件也是q的必要条件,(4)p：sin sin ，q：. 解 由sin sin 不能推出，反过来由也不能推出sin sin ， p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件,探究点二 充要条件的判断 思考
5、1 已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数 请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ 答 p是q的充分条件，p是q的必要条件,小结 pq，故p是q的充分条件； 又qp，故p是q的必要条件 此时，我们说，p是q的充要条件,思考2 说说你对充要条件的理解 答 我们可以从以下三个方面理解充要条件： (1)若pq，则p、q互为充要条件； (2)p是q的充要条件意味着“p成立，则q必成立，p不成立，则q必不成立” (3)“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”“q当且仅当p”等,例2 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：b0，q：函数f(x)ax2bxc是偶函数； (2)p：x0
6、，y0，q：xy0； (3)p：ab，q：acbc； (4)p：x5，q：x10； (5)p：ab，q：a2b2.,解 命题(1)和(3)中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要条件；,命题(2)中，pq，但q p，故p不是q的充要条件；,命题(4)中，p q，但qp，故p不是q的充要条件；,命题(5)中，p q，且q p，故p不是q的充要条件,反思与感悟 判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法,跟踪训练2 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是_ ab0；ab0；a2b20；a2b20.,解析 a2b20，则a、b不同时为零； a，b中至少有一个不为
7、零，则a2b20.,(2)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_,解析 函数没有零点，即方程x22xa0无实根， 所以有44a0，解得a1. 反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根， 即函数没有零点,a1,探究点三 有关充要条件的证明或求解 思考 如何证明充要条件？ 答 分清充分性和必要性,例3 求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2. 证明 必要性： 若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，,充分性：当k0. 设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2. 则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1 k22k11k(k2
8、)0. 又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10， x110，x210.x11，x21. 综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.,反思与感悟 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即pq.,跟踪训练3 求关于x的方程ax2x10至少有一个负实根的充要条件 解 当a0时，解得x1，满足条件； 当a0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a0； 若方程有两个负的实根，,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.“x22
9、 013”是“x22 012”的_条件,5,解析 由于“x22 013”时，一定有“x22 012”，反之不成立， 所以“x22 013”是“x22 012”的充分不必要条件,充分不必要,1,2,3,4,2.设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的_条件,5,解析 an为等比数列，ana1qn1， 由a10，q1或a10,0q1， 则数列an为递增数列反之也成立,充要,1,2,3,4,3.函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_ 解析 当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立， 所以f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条
10、件是m2.,5,m2,1,2,3,4,4.已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是_,5,解析 根据平面向量数量积的坐标运算及垂直的条件求解 a(x1,2)，b(2,1)， ab2(x1)212x. 又abab0，2x0，x0.,x0,1,2,3,4,5.已知直线l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，则l1l2的充要条件是a_.,5,解析 由13a(a2)0得a3或1， 而a3时，两条直线重合，所以a1.,1,呈重点、现规律,1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断 (2)等价法：“pq”表示p等价于q，要证pq，只需证它的逆否命题綈q綈p即可；同理要证pq，只需证綈q綈p即可所以pq，只需綈q綈p. (3)利用集合间的包含关系进行判断,2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解,
