1、1,函数的极值,一、教学目标：1、知识与技能：理解函数极值的概念；会求给定函数在某区间上的极值。2、过程与方法：通过具体实例的分析，会求函数的极大值与极小值。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数极值的判定方法 教学难点：函数极值的判定方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程,2,一、复习:,利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为:,求函数的定义域;,求函数的导数 ;,解不等式 0得f(x)的单调递增区间;解不等式 0得f(x)的单调递减区间.,在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.,下面我们利用函数的导
2、数来研究函数的极 值问题.,3,二、新课探析1函数的极值:,一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.,4,请注意以下几点:,(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.,(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值
3、可以不止一个.,5,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)f(x1).,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.,6,求可导函数f(x)的极值,一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极小值.,7,如图，若寻找函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可? x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?,
4、解析：f(x)=3x2,当f(x)=0时，x =0，通过观察函数图像x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点,x0左右两侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值 点 f(x0) =0,注意：f(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,例1 求函数f（x）=2x3-3x2-36x+5的极值点.,解:这个函数的导函数为:,通过解方程 得到两个解x1=-2和x2=3,当x-2时， ，函数在（-，-2）上是增加 的；当-2x3时， ，函数在（-2,3）上是减 少的，因此，x1=-2是函数的极大值点.,当-23时， ，函数在（3，+）上是增加的，所以x2=3是函数
5、的极小值点.,这个判断过程可通过下表直观反映出来,总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:,(2).求导数,(3).求方程 的根.,(4)检查 在方程根左右的值的符号,如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值;,(1)求函数的定义域,11,例2 求函数f（x）=3x3-3x+1的极值.,解:首先求导函数，由导数公式表和求导法则可得,分析 的符号、f（x）的单调性和极值点.,+,0,-,0,+,极大值,f(x),x,极小值,根据表可知 为函数f（x）=3x3-3x+1的极大值点，函数在该点的极大值为,为函数f（x）=3x3-3x+1的极小值点，函数在该点的极小值为,x,y,o,函数图像
6、如下图,【变式练习】,求函数 的极值点.,通过解方程 得到两个解x1=-1和x2=1.,当-11时， ，函数在（1，+）上是减少的，因此，x2=1是函数的极大值点.,当x-1时， ，函数在（-，-1）上是减少的；当-1x1时， ，函数在（-1,1）上是增加的，因此，x1=-1是函数的极小值点.,解析:求这个函数的导函数,解析: 因为f(x)=x2- 4,由f(x) =0解得x1=2,x2=-2. 当x变化时, f(x) 、 f(x)的变化情况如下表：,所以当x=2时,f(x)的极小值为 ；当x=-2时, f(x)的极大值为,求函数 的极值,1.用导数来确定函数的极值步骤：,（1）先求函数的导数 f / (x)；,（2）再求方程 f /(x) = 0 的根；,（3）列出导函数值符号变化规律表；,（4）利用从+ 、0、- 判断函数极大值；利用从- 、0、+ 判断函数极小值；,极大值,极小值,四、本课总结:,17,2.函数的极值注意事项：,(4)函数的不可导点也可能是极值点;,(5)可导函数的极值点一定是使导函数为0的点;,(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值, 不唯一!,(3) 极大值不一定比极小值大!,(1) 导数为零的点不一定是极值点！,18,
