1、第十一章 概率与统计 11.1 随机事件及其概率,高考理数,考点 事件与概率 1.事件的分类,2.频率与概率 (1)频数与频率:在相同条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现, 则称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;事件A出现 的比例fn(A)= 为事件A出现的频率. (2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数n的增加,事件A发生,知识清单,的频率fn(A)稳定在某个常数上,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概 率. 3.事件的关系与运算 (1)包含关系:一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定 发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事
2、件B),记作BA(或A B). (2)相等关系:一般地,若BA且AB,则事件A与事件B相等,记作A=B.,(3)几种运算的比较,4.概率的基本性质 (1)任何事件的概率都在01之间,即0P(A)1.必然事件的概率为1,不 可能事件的概率为0. (2)当事件A与事件B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B). (3)对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立,则P(A)+P(B)=1.,1.补全或列出频率分布表.可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率. 2.由频率估计概率.可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率. 3.由频率估计某部分的数值.可由频率估计概率,再由概率估算某部分的 数值.
3、,随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略,方法技巧,例1 (2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间 为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如 下:(1)求T的分布列与数学期望ET; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后 立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120分钟的概率.,解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为,以频率估计概率得T的分布列为,从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟).,(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互
4、独立,且与T的分布 列相同. 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50 分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. 解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35, T235)+P(T1=40,T230) =0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91. 解法二:P( )=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2= 40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09. 故P(A)=1-P( )=0.91.
5、,评析 (1)用频率估计概率求解;(2)将问题转化为求“刘教授在路途中 的时间不超过70分钟”的概率,可直接求解也可间接来求.,1.直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件 概率的加法公式计算. 2.间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( )求得, 即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求 法较简便. 提醒:应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互 斥.,互斥事件、对立事件的概率问题的解题方法,例2 (2017江苏南京高三综合复习)某银行柜台有从左到右编号依次为 1,2,3,4,5,6的六个服务窗口,其中
6、1,2,3,4,5号服务窗口办理A类业务,6号 服务窗口办理B类业务. (1)每天12:00至14:00,由于需要办理A类业务的顾客较少,现从1,2,3,4,5 号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务,求“1号窗口或2号窗口暂停 服务”的概率;(2)经统计,在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下:,求至少2人排队等候的概率.,解析 (1)由题意可知,随机选择2个窗口暂停服务有如下基本事件(i,j) 表示第i,j号窗口暂停服务):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3, 5),(4,5), 因此,共有10个基本事件. 记“1号窗口或2号窗口暂停服务”为事件A,事件A包括: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5), 因此,共有7个基本事件,故P(A)= . 答:1号窗口或2号窗口暂停服务的概率为 . (2)将事件“6号窗口办理B类业务的等候人数为k”记为Bk(kN),则事 件Bk两两互斥.,记事件“至少2人排队等候”为B,则“排队等候人数为0或1”为事件 ,所以P( )=P(B0)+P(B1)=0.1+0.16=0.26, 所以P(B)=1-P( )=1-0.26=0.74. 答:至少2人排队等候的概率为0.74.,
