1、1德阳五中高 2017 级高二秋期第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 函数 的定义域为 A. B. C. D. 2. 下列各组几何体中，都是多面体的一组是 A. 三棱柱、四棱台、球、圆锥B. 三棱柱、四棱台、正方体、圆台C. 三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥D. 圆锥、圆台、球、半球3. 在等差数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 的前 11 项的和为 A. 22 B. C. D. 114. 已知 且 ，则 k 的值为 A. 5 B. C. D. 2255. 已知 ，则函数 的值域为 A. B. C. D. 6. 已知 ，向量 在向量 上的投影为 ，则 与
2、 的夹角为 A. B. C. D. 7. 过点 ，且与原点距离最大的直线方程是 A. B. C. D. 8. 设数列 是单调递增的等差数列， 且 ， ， 成等比数列，则 A. 1008 B. 1010 C. 2016 D. 20179. 若实数 x， y 满足 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 10. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 2A. B. C. D. 211. 已知两点 ， ，过点 的直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率k 的取值范围是 A. B. C. D. 12. 已知两定点 ， ，若动点 P 满足 ，则 P 的轨迹为 A. 直线 B
3、. 线段 C. 圆 D. 半圆二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_ 14. 设 ， ，若 ，则 的最小值为_15. 函数 ， 的所有零点之和为_16. 若定义在 R 上的函数 满足 ， 是奇函数，现给出下列 4 个论断：是周期为 4 的周期函数；的图象关于点 对称；是偶函数；的图象经过点 其中正确论断的序号是_ 请填上所有正确论断的序号 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知直线 ： ， 过定点 P求定点 P 的坐标；若直线 与直线 ： 平行，求 k 的值并求此
4、时两直线间的距离318. 设 求 的单调递增区间；在锐角 中， A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，若 ，求 面积的最大值19. 设二次函数 的最小值为 ，且满足 求 的解析式；解不等式 20. 已知向量 ， ，记 求 的单调递减区间； 若 ，求 的值； 将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象，若函数 在上有零点，求实数 k 的取值范围21. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 是 与 2 的等差中项，数列 中， ，点在直线 上求 和 的值；求数列 ， 的通项 和 ；设 ，求数列 的前 n 项和 422. 已知直线 l： ，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上
5、且在直线 l 的上方求圆 C 的方程；设过点 的直线 被圆 C 截得的弦长等于 ，求直线 的方程；过点 的直线与圆 C 交于 A， B 两点 在 x 轴上方 ，问在 x 轴正半轴上是否存在点 N，使得 x 轴平分 ？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由5答案和解析【答案】1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. B 7. A8. B 9. B 10. B 11. D 12. C13. 14. 9 15. 8 16. 17. 解： 直线 ： ，可得 ， ， ， ；直线 与直线 ： 平行，则 ，解得 或 3，时，两条直线重合；时，直线 ： ，直线 ： ，两直线间的距离
6、18. 解： 化简可得：，由 ， 可得： ，函数 的单调递增区间是： ，由 ，即 ，可得 ，由余弦定理： ，可得 ，当且仅当 时等号成立，面积的最大值 故得三角形 ABC 面积最大值为 619. 解： ，函数的对称轴 ，由题意不妨设函数的表达式为：，将 代入表达式得：，解得： ，故 ；由 ，对称轴 ， 在 递增，而 ， ，解得： 或 20. 解： ，由 ，求得 ，)(438,2Zk所以 的单调递减区间是 ,k 由已知 得 ，则 ， 将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象，则函数 ，所以 ，若函数 在 上有零点，则函数 的图象与直线 在 上有交点，所以实数 k 的取值范围为 21. 解： 是
7、 与 2 的等差中项，解得 ，解得 ， ，又 ， ，即数列 是等比数列， ， 7点 在直线 上， ，即数列 是等差数列，又 ， ，因此： ，即： ，22. 解： 设圆心 ，直线 l： ，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，即 ，解得： 或 舍去 ，则圆 C 方程为 ；由题意可知圆心 C 到直线 的距离为 ，若直线 斜率不存在，则直线 ： ，圆心 C 到直线 的距离为 1；若直线 斜率存在，设直线 ： ，即 ，则有 ，即 ，此时直线 ： ，综上直线 的方程为 或 ；当直线 轴，则 x 轴平分 ，若 x 轴平分 ，则 ，即 ， ，整理得： ，即 ，解得： ，当点 ，能使得 总成立 【解析】1. 【
8、分析】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题 根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可【解答】解：函数 ，解得 且 ；函数 y 的定义域为 8故选 C2. 解：因为球与圆锥、圆台是旋转体，所以选项 A、 B、 D，都含有旋转体，所以不正确；选项 C：三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥，都是多面体，故选： C判断选项中没有旋转体的选项，并且满足多面体的定义的一组即可本题考查多面体的判断，旋转体与多面体的区别，是基本知识的考查3. 【分析】本题考查了等差数列和根与系数的关系应用问题，是基础题目 根据等差数列和根与系数的关系，求出 的值，再求 的前 11 项和【解
9、答】解：等差数列 中，若 ， 是方程 的两根，则 ，的前 11 项的和为故选： D4. 【分析】本题主要考查对数的运算性质、以及换底公式的应用，同时考查了运算求解能力先根据指数式与对数式互化关系表示出 m、 n，然后代入 ，利用对数的运算性质求解【解答】解： ， ，则 ，故选 B5. 解：由题意可得： ，因为 ，所以 ，所以 ，所以： 故选： B根据两角和与差的正弦公式可得： ，再根据题意可得 ，然后利用正弦函数的图象可得 ，进而得解9本题主要考查了正弦函数的有关性质，即值域与定义域 解题的关键是利用两角和与差的正弦公式，对函数解析式进行正确化简，以及对正弦函数的性质的熟练运用，属于基础题6.
10、 【分析】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，基础题目利用平面向量投影的定义，列出方程求出 与 夹角的余弦值，即可得出夹角大小【解答】解：记向量 与向量 的夹角为 ，在 上的投影为 在 上的投影为 ，故选 B7. 解：根据题意得，当与直线 OA 垂直时距离最大，因直线 OA 的斜率为 2，所以所求直线斜率为 ，所以由点斜式方程得： ，化简得： ，故选： A数形结合得到所求直线与 OA 垂直，再用点斜式方程求解本题考查直线方程的求解，要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程，属基础题8. 解： 数列 是单调递增的等差数列，且 ， ， 成等比数列，解得 舍 或 ，故选： B利用等差数列通
11、项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出结果本题考查等差数列的第 2017 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用109. 【分析】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则设 ，则 z 的几何意义是区域内的 P点与点 的斜率 k；如图所示 ，则 的取值范围是故选 B10. 解：由三视图可得直观图，再四棱锥 中，最长的棱为 PA，即，故选： B根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为 PA，根据勾股定理求出即可本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于
12、基础题1111. 解： 点 ， ，过点 的直线 L 与线段 AB 有公共点，直线 l 的斜率 或 ，的斜率为 ， PB 的斜率为 ，直线 l 的斜率 或 ，故选： D根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础12. 解：设 P 点的坐标为 ，、 ，动点 P 满足 ，平方得 ，即 的轨迹为圆故选： C设 P 点的坐标为 ，利用两点间的距离公式表示出 、 ，代入等式 ，化简整理得答案本题考查动点的轨迹的求法，着重考查了两点间的距离公式、圆的标准方程，属于中档题13. 解：长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶
13、点都在球 O 的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径，所以球的半径为： 则球 O 的表面积为： 故答案为： 求出球的半径，然后求解球的表面积本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力14. 【分析】由题意可得 且 ，整体代入可得 ，由基本不等式可得 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题【解答】解： ， ，且 ，且 ，当且仅当 时取等号，结合 可解得 且 ，12故所求最小值为 9故答案为 915. 【分析】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题设 ，则 ，原函数可化为 ，由于 是
14、奇函数，观察函数 与的图象可知，在 上，两个函数的图象有 8 个不同的交点，其横坐标之和为 0，从而 的值【解答】解：设 ，则 ，原函数可化为： ，其中， ，因 ，故 是奇函数，观察函数 红色部分 与曲线 蓝色部分 的图象可知，在 上，两个函数的图象有 8 个不同的交点，其横坐标之和为 0，即 ，从而 ，故答案为 816. 解：由 可知函数周期为 4，由 是奇函数关于原点对称，13可知 关于 对称，即 ，所以函数为偶函数， ，无法判断其值综上，正确的序号是： 故答案为： 求出函数 的周期，判断出函数的奇偶性，从而求出答案即可本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查函数平移变换等知识 在阅读题目的
15、时候，采用逐句转化的方法，即读到“ ”时，将其转化为函数的周期为 4，这个要记住小结论，即若， ，则函数 为周期函数，且周期为 向左平移 1 个单位后得到 ，这是函数变换的知识17. 直线 ： ，可得 ，即可求定点 P 的坐标；利用两条直线平行的条件，求出 k，利用两直线间的距离公式可得结论本题考查直线过定点，考查两条直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题18. 利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为 的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；根据 ，求出 ，可得 ，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出 bc的值，可得 面积的最
16、大值本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键 同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题19. 求出 的对称轴，设出函数的表达式，由待定系数法求出函数的解析式即可；根据函数的单调性结合 和 的范围得到关于 t 的不等式，解出即可本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题20. 两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，求 的单调递减区间； 由题意 ，利用诱导公式求得 的值 利用 的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，求得实数 k 的取值范围本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，
17、正弦函数的单调性，的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题21. 先利用 是 与 2 的等差中项把 1 代入即可求 ，再把 2 代入即可求 的值；利用 ，可得 ，两式作差即可求数列 的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列 ，直接利用点 在直线 上，代入得数列 是等差数列即可求通项；先把所求结论代入求出数列 的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和本题考查了数列求和的错位相减法 错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列 考查计算能力22. 设出圆心 C 坐标，根据直线 l 与圆 C 相切，得到圆心到直线 l 的距离 ，确定出圆心 C 坐标，即可得出圆 C 方程；根据垂径定理及勾股定理，由过点 的直线 被圆 C 截得的弦长等于 ，分直线14斜率存在与不存在两种情况求出直线 的方程即可；当直线 轴，则 x 轴平分 ，当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 方程为 ，联立圆与直线方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若 x 轴平分 ，则 ，求出 t 的值，确定出此时 N 坐标即可此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及斜率的计算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键
